中心単純代数

環論および関連する数学の分野において、体K上の中心単純代数( CSA )は、有限次元の結合K代数Aであり、これは単純であり、その中心はKとまったく同じです。

例えば、複素数 C はそれ自身に対しては CSA を形成しますが、実数 Rに対しては CSA を形成しません（ Cの中心はRだけでなくC全体です）。四元数HはRに対して4次元 CSA を形成し、実数のブラウアー群の唯一の非自明な元を表します（下記参照）。有限次元性は定義において不可欠です。例えば、標数 0 の体Fに対して、ワイル代数は中心Fを持つ単純代数ですが、F加群として無限次元を持つため、F上の中心単純代数ではありません。 ${\displaystyle F[X,\partial _{X}]}$

アルティン・ウェダーバーンの定理により、有限次元単純代数A は、何らかの分環Sに対して行列代数M ( n , S )と同型である。同じ体F上の2つの中心単純代数A ~ M ( n , S ) とB ~ M ( m , T ) が与えられ、それらの分環SとTが同型である場合、AとBは類似（またはブラウアー同値）と呼ばれる。この同値関係の下で、与えられた体F上の中心単純代数のすべての同値類の集合は、代数のテンソル積によって与えられる群演算を備えることができる。結果として得られる群は、体Fのブラウアー群Br( F )と呼ばれる。^[1] これは常に捩れ群である。^[2]

プロパティ

• アルティン・ウェダーバーン定理によれば、有限次元単純代数A は、ある除算環Sに対して行列代数M ( n , S )と同型である。したがって、各ブラウアー同値類には、一意の除算代数が存在する。^[3]
• 中心単純代数のすべての自己同型は内部自己同型である（これはスコーレム・ノイマン定理に従う）。
• 中心単純代数の次元はその中心上のベクトル空間としては常に平方であり、次数はこの次元の平方根である。^[4]中心単純代数の シュアー指数は、同値な除算代数の次数である。^[5]それは代数のブラウアー類のみに依存する。 ^[6]
• 中心単純代数の周期または指数は、ブラウアー群の元としてのブラウアー類の位数である。これは指数の約数であり、^[7] 2つの数は同じ素因数で構成される。^{[8] [9] [10]}
• Sが中心単純代数Aの単純部分代数である場合、 dim _F Sは dim _F Aを割り切ります。  
• 体F上のすべての 4 次元中心単純代数は四元数代数と同型です。実際、これは 2 行 2 列の行列代数か除算代数のいずれかです。
• DがK上の中心分割代数であり、その指数が素因数分解できる場合

${\displaystyle \mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\ }$

するとDはテンソル積分解を持つ

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

ここで各成分D _iは指数の中心分割代数であり、成分は同型性を除いて一意に決定される。^[11]${\displaystyle p_{i}^{m_{i}}}$

分割フィールド

A ⊗ E がE上の行列環に同型であるとき、体EをA上のKの分解体と呼ぶ。すべての有限次元 CSA には分解体が存在する。実際、 A が除算環である場合、 Aの極大部分体は分解体となる。一般に、ウェダーバーンとケーテの定理により、 Kの可分拡大でAの添え字に等しい次数の分解体が存在し、この分解体はAの部分体に同型である。^{[12] [13]} 例として、体C は四元数代数H をR上で 分解する。

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\-y+zi&t-xi\end{array}}\right).}$

分割体の存在を利用して、CSA Aの縮小ノルムと縮小トレースを定義することができる。^[14] A を分割体上の行列環に 写像し、縮小ノルムと縮小トレースを、それぞれこの写像と行列式とトレースの合成として定義する。例えば、四元数代数Hにおいて、上記の分割は、元t + x i + y j + z kが縮小ノルムt ² + x ² + y ² + z ²と縮小トレース t 2 を持つことを示す。

被約ノルムは乗法性を持ち、被約トレースは加法性を持つ。Aの元aが逆元となるのは、その被約ノルムが非零のときのみである。したがって、CSAが除算代数となるのは、非零元上の被約ノルムが非零のときのみである。^[15]

一般化

K体上の CSA は、 K上の拡大体の非可換な類似体である。どちらの場合も、非自明な両側イデアルを持たず、中心に特別な体を持つ。ただし、CSA は非可換となる場合もあり、逆体を持つ必要はない（除算代数である必要はない）。これは、数体（有理数Qの拡大）の一般化としての非可換数論において特に興味深い。非可換数体を参照のこと。

参照

• アズマヤ代数、CSAの一般化。ここで基底体は可換局所環に置き換えられる。
• セヴェリ・ブラウアー多様体
• ポズナーの定理

参考文献

1. ローレンツ (2008) p.159
2. ローレンツ (2008) p.194
3. ローレンツ (2008) p.160
4. ジル＆ザムエリ (2006) p.21
5. ローレンツ (2008) p.163
6. ジル＆ザムエリ (2006) p.100
7. ジェイコブソン（1996）p.60
8. ジェイコブソン（1996）p.61
9. ジル＆ザムエリ (2006) p.104
10. コーン、ポール・M. (2003). Further Algebra and Applications. Springer-Verlag . p. 208. ISBN 1852336676。
11. ジル＆ザムエリ (2006) p.105
12. ジェイコブソン（1996）pp.27-28
13. ジル＆ザムエリ (2006) p.101
14. ジル＆サミュエリ（2006）pp.37-38
15. ジル＆ザムエリ (2006) p.38

• コーン, PM (2003). Further Algebra and Applications (第2版). Springer. ISBN 1852336676. Zbl  1006.00001.
• ジェイコブソン、ネイサン(1996). 体上の有限次元除算代数. ベルリン:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-57029-2. Zbl  0874.16002。
• ラム、ツィット・ユエン(2005).体上の二次形式入門.数学大学院研究. 第67巻. アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.
• ロレンツ、ファルコ (2008). 代数学 第2巻：構造を持つ体、代数、そして高度な話題. シュプリンガー. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001。

さらに読む

• アルバート, AA (1939). 『代数の構造』 . コロキウム出版. 第24巻（第7改訂復刻版）. アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl  0023.19901。
• ジル, フィリップ; サミュエリ, タマス (2006).中心単純代数とガロアコホモロジー. ケンブリッジ高等数学研究. 第101巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001。