g期待値

確率論において、g期待値は、 Shige Pengによって最初に開発された後方確率微分方程式（BSDE）に基づく非線形期待値です。^[1]

意味

確率空間が与えられ、その空間上では（d次元）ウィーナー過程となる。によって生成される濾過、すなわち が与えられ、が測定可能であるとする。次式で与えられる BSDE を考える。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle (W_{t})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (W_{s}:s\in [0,t])}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=g(t,Y_{t},Z_{t})\,dt-Z_{t}\,dW_{t}\\Y_{T}&=X\end{aligned}}}$

すると、 のg期待値はで与えられます。がm次元ベクトルの場合、（ の各時点について）はm次元ベクトル、は行列であることに注意してください。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X]:=Y_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle m\times d}$

実際、条件付き期待値は で与えられ、条件付き期待値の正式な定義と同様に、任意の に対してが成り立ちます（関数 は指示関数です）。^[1]${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]:=Y_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[1_{A}\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} ^{g}[1_{A}X]}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle 1}$

存在と唯一性

次を満たすものとします 。 ${\displaystyle g:[0,T]\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}\to \mathbb {R} ^{m}}$

1. ${\displaystyle g(\cdot ,y,z)}$ あらゆるニーズに適応したプロセスです${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle (y,z)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}}$
2. ${\displaystyle \int _{0}^{T}|g(t,0,0)|\,dt\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{T},\mathbb {P} )}$ L2空間（ はのノルム）${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
3. ${\displaystyle g}$ は においてリプシッツ連続である、すなわち任意の に対してであり、したがってある定数に対して${\displaystyle (y,z)}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times d}}$ ${\displaystyle |g(t,y_{1},z_{1})-g(t,y_{2},z_{2})|\leq C(|y_{1}-y_{2}|+|z_{1}-z_{2}|)}$ ${\displaystyle C}$

すると、任意の確率変数に対して、確率微分方程式を満たす適応プロセスの一意のペアが存在する。 ^[2]${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} ;\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle (Y,Z)}$

特に、さらに次の条件を満たす場合: ${\displaystyle g}$

1. ${\displaystyle g}$ 時間的に連続している（）${\displaystyle t}$
2. ${\displaystyle g(t,y,0)\equiv 0}$ すべての人のために${\displaystyle (t,y)\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{m}}$

すると、終端確率変数に対して、解の過程は二乗積分可能であることが分かる。したがって、はすべての時間に対して二乗積分可能である。^[3]${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} ;\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle (Y,Z)}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{g}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$ ${\displaystyle t}$

参照

• 期待値
• ショケ期待値
• リスク尺度– ほぼすべての時間一貫性のある 凸リスク尺度は次のように表される^[4]${\displaystyle \rho _{g}(X):=\mathbb {E} ^{g}[-X]}$

参考文献

1. Philippe Briand; François Coquet; Ying Hu; Jean Mémin; Shige Peng (2000). 「BSDEの逆比較定理とg期待値の関連特性」(PDF) . Electronic Communications in Probability . 5 (13): 101– 117.
2. Peng, S. (2004). 「非線形期待値、非線形評価、およびリスク尺度」. ファイナンスにおける確率的手法(PDF) . 数学講義ノート. 第1856巻. pp.  165– 138. doi :10.1007/978-3-540-44644-6_4. ISBN 978-3-540-22953-7. 2016年3月3日時点のオリジナル（pdf）からアーカイブ。2012年8月9日閲覧。
3. Chen, Z.; Chen, T.; Davison, M. (2005). 「ショケ期待値とペンのg期待値」. The Annals of Probability . 33 (3): 1179. arXiv : math/0506598 . doi :10.1214/009117904000001053.
4. Rosazza Gianin, E. (2006). 「g期待値によるリスク測定」.保険：数学と経済学. 39 : 19–65 . doi :10.1016/j.insmatheco.2006.01.002.