上がったり下がったり

数学の一分野である可換代数において、「上がる」と「下がる」は、整式拡大における素イデアルの連鎖の特定の性質を指す用語です。

「上へ進む」という表現は、チェーンが「上方向の包含」によって拡張できる場合を指し、「下へ進む」という表現は、チェーンが「下方向の包含」によって拡張できる場合を指します。

主要な結果は、アーヴィン・S・コーエンとエイブラハム・ザイデンバーグによって証明されたコーエン・ザイデンバーグ定理である。これらは上昇定理と下降定理として知られている。

上がったり下がったり

上昇定理と下降定理は、 Bの素イデアルの連鎖(各メンバーはAのより長い素イデアルの連鎖のメンバー上に存在します)が、 Aの素イデアルの連鎖の長さまで拡張可能であるための十分な条件を与えます。

横たわりと比類なきもの

まず、いくつかの用語を定義する。とがそれぞれAとBの素イデアルであり、 ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$

{\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}

（は自動的にAの素イデアルとなることに注意）ならば、はの下にあり、はの上にあると言える。一般に、可換環の環拡大A ⊆ Bは、Aのすべての素イデアルがBの何らかの素イデアルの下にあるとき、の上にあるという性質を満たすと言われる。 ${\mathfrak {q}}\cap A$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$

拡張A ⊆ Bは、とがAの素数の上にあるBの異なる素数であるときはいつでも、 ⊈ および ⊈ である場合に、比較不可能性を満たすと言われます。 ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}'$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}'$ ${\mathfrak {q}}'$ ${\mathfrak {q}}$

上昇中

環拡大A⊆Bは、次の条件が満たされるとき、上昇性を満たすという。

{\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\subseteq {\mathfrak {p}}_{n}

はAの素イデアルの連鎖であり、

{\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}

がBのm < nの素イデアルの連鎖であり、1 ≤ i ≤ mに対してが成り立つ場合、後者の連鎖は連鎖 ${\mathfrak {q}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$

{\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}

1 ≤ i ≤ nのそれぞれに対してが成り立つようなもの。 ${\mathfrak {q}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$

（Kaplansky 1970 ）では、拡張A⊆B が上昇特性を満たす場合、横たわる特性も満たすことが示されています。

下る

環拡大A⊆Bは、次の条件が満たされるとき、 下降性を満たすという。

{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \!\!\;\cdots \cdots \cdots \!\!\,\supseteq {\mathfrak {p}}_{n}

はAの素イデアルの連鎖であり、

{\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}

がBのm < nの素イデアルの連鎖であり、1 ≤ i ≤ mに対してが成り立つ場合、後者の連鎖は連鎖 ${\mathfrak {q}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$

{\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}

1 ≤ i ≤ nのそれぞれに対してが成り立つようなもの。 ${\mathfrak {q}}_{i}$ ${\mathfrak {p}}_{i}$

環拡大の場合の環射による一般化がある。f : A → B を（単位）環準同型とし、B をf ( A )の環拡大とする。このとき、Bにおける f ( A )に対して上昇性（going-up property）が成り立つとき、fは上昇性（going-up property）を満たすという。

同様に、B がf ( A )の環拡大である場合、 Bにおいてf ( A )の下降特性が成り立つとき、f は下降特性を満たすと言われます。

A ⊆ Bのような通常の環拡張の場合、包含写像が適切な写像である。

上昇定理と下降定理

上昇定理と下降定理の通常の記述は、環拡大A ⊆ Bを参照します。

(上へ向かって) BがAの整拡張である場合、拡張は上へ向かう性質(したがって、上を横切る性質)と、比較不可能な性質を満たします。
(下降) B がAの整拡大であり、Bが定義域であり、A が分数体において整閉である場合、拡大は (上昇、横たわり、比較不可能性に加えて) 下降特性を満たします。

下降特性にはもう一つ十分な条件があります。

A⊆Bが可換環の平坦拡大であれば、下降性は成り立つ。^[¹^]

証明: ^{[ 2 ]} p ₁ ⊆ p _2をAの素イデアルとし、q _{2 を}Bの素イデアルとしてq ₂ ∩ A = p _{2とする。}q ₂に含まれるBの素イデアルq _{1が存在し、}q ₁ ∩ A = p ₁となることを証明したい。A ⊆ Bは環の平坦拡大なので、A _p_₂ ⊆ B _q_₂も環の平坦拡大となる。実際、包含写像A _p_₂ → B _q_₂は局所準同型なので、 A _p_₂ ⊆ B _q_₂は環の忠実に平坦な拡大である。したがって、スペクトル上の誘導写像 Spec( B _q_₂ ) → Spec( A _p_₂ ) は射影的であり、 B _q_₂の素イデアルが存在し、これはA _p_₂の素イデアルp ₁A _p_₂に縮約される。このB _q_₂の素イデアルのBへの縮約は、q ₂に含まれるBの素イデアルq _{1であり、これは}p ₁に縮約される。証明は完了である 。QED

参考文献

^これは、Bruns-Herzog の 415 ページの Lemma A.9 にある、より一般的な補題から導かれます。
^松村、33ページ、(5.D)、定理4

アティヤ、MF、IGマクドナルド、『可換代数入門』、Perseus Books、1969年、ISBN 0-201-00361-9MR 0242802
ヴィンフリート・ブルンス、ユルゲン・ヘルツォク『コーエン・マコーレー環』ケンブリッジ高等数学研究39、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1993年、xii+403頁、ISBN 0-521-41068-1
Cohen, I.S.; Seidenberg, A. (1946). 「素イデアルと積分依存性」 . Bull. Amer. Math. Soc . 52 (4): 252– 261. doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08552-3 . MR 0015379 .
カプランスキー、アーヴィング(1970).可換環. アリンとベーコン.
松村英之（1970）。可換代数。 WAベンジャミン。ISBN 978-0-8053-7025-6。
シャープ, RY (2000). 「13 部分環への積分の依存性 (13.38 上昇定理, pp. 258–259; 13.41 下降定理, pp. 261–262)」.可換代数の手順. ロンドン数学会学生用テキスト. 第51巻 (第2版). ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. pp. xii+355. ISBN 0-521-64623-5. MR 1817605 .

[1] これは、Bruns-Herzog の 415 ページの Lemma A.9 にある、より一般的な補題から導かれます。

[2] 松村、33ページ、(5.D)、定理4

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