部分環

数学において、環Rの部分環とは、R上の二項加法と乗法の演算がその部分集合に制限されているときにそれ自体が環となるRの部分集合であり、 Rと同じ乗法単位元を共有する。^{[ a ]}

意味

環( R , +, *, 0, 1)の部分環は、環の構造を保存するRの部分集合S 、つまりS ⊆ Rを満たす環( S , +, *, 0, 1)である。これは、 ( R , +, 0)の部分群であると同時に、 ( R , *, 1)のサブモノイドでもある。

同様に、Sが部分環であるための必要十分条件は、 Rの乗法単位元を含み、かつ乗法と減法に関して閉じていることである。これは部分環テストと呼ばれることもある。^{[ 1 ]}

バリエーション

一部の数学者は、乗法単位元の存在を必要とせずに環を定義します（環（数学）§ 歴史を参照）。この場合、Rの部分環は、 Rの演算に対する環であるRの部分集合です（これは、 Rの加法単位元を含むことを意味します）。この代替定義は、乗法単位元を持つ環であっても、すべてのイデアルが部分環になり、 Rとは異なる乗法単位元を持つ可能性があるという点で、厳密に弱い条件を与えます。この記事の残りの部分で使用される、乗法単位元を必要とする定義では、 Rの部分環であるRのイデアルはR自体のみ です

例

• 整数環は 実数体と多項式環の両方の部分環である。^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ そしてその商は完全環以外に（乗法単位元を持つ）部分環を持たない。^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

• 任意の環には、 nが非負整数である環と同型な、唯一の最小部分環が存在する（特性 を参照）。この整数は、が と同型であるため、この文におけるn = 0に対応する。^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /0\mathbb {Z} }$

• 環Rの中心はRの部分環であり、Rはその中心上の結合的代数である。

集合によって生成される部分環

環Rの特別な種類の部分環は、部分集合Xによって生成される部分環であり、これはRのすべての部分環のうちXを含むものの共通部分として定義される。^{[ 3 ]} Xによって生成される部分環は、加法単位元（「空結合」）と乗法単位元（「空積」）を含む、 Xの元の積の整数係数を持つすべての線型結合の集合でもある。^{[ 4 ]}

Rの部分環の任意の交差は、それ自体がRの部分環である。したがって、 Xによって生成される部分環（ここではSと表記）は、Rの部分環である。この部分環Sは、 Xを含むRの最小の部分環である。つまり、T がXを含むRの他の部分環である場合、S ⊆ Tとなる。

R自体はRの部分環なので、RがXによって生成される場合、環RはXによって生成される と言えます。

環拡大

部分環は体拡大のいくつかの側面を一般化します。Sが環Rの部分環である場合、同値としてRはSの環拡大^{[ b ]}であると言われています

隣接

Aが環であり、TがR∪Sによって生成されるAの部分環（Rは部分環）である場合、Tは環拡大であり、Rに隣接したS環（ R [ S ]と表記）と呼ばれます。個々の元は部分環に隣接していることもあり、R [ a ₁ , a ₂ , ..., a _n ]と表記されます。^{[ 5 ] [ 3 ]}

例えば、ガウス整数 環はによって生成されるの部分環であり、したがってへの虚数単位iの付加である。^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

プライムサブリング

環Rのすべての部分環の共通部分は、素体との類推によりRの素部分環と呼ぶことができる部分環である。

環Rの素部分環は、 Rの中心の部分環であり、整数環またはnを法とする整数環と同型です。ここで、nは1のn個の合計が0になるような最小の正の整数です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

参照

• 積分拡張
• 群拡張
• 代数拡張
• 鉱石拡張子

注釈

1. 一般に、環Rの部分集合のすべてが環であると
2. 群拡張の環理論的類似物と混同しないでください。

参考文献

1. ダミット、デイビッド・スティーブン、フット、リチャード・マーティン (2004).抽象代数（第3版）. ホーボーケン、ニュージャージー州: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 228. ISBN 0-471-43334-9。
2. ラング、セルジュ (2002).代数学(第3版). ニューヨーク. pp.  89– 90. ISBN 978-0387953854。
3. ラヴェット、スティーブン (2015). 「環」.抽象代数：構造と応用. ボカラトン: CRCプレス. pp.  216– 217. ISBN 9781482248913。
4. ロビンソン、デレク・JS (2022).抽象代数：応用入門（第3版）. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. p. 109. ISBN 9783110691160。
5. グーヴェア、フェルナンド・Q. (2012). 「環と加群」.群、環、体へのガイド. ワシントンD.C.: アメリカ数学協会. p. 145. ISBN 9780883853559。

一般参考文献

• アダムソン、イアン・T. (1972).初等環と加群. 大学数学テキスト. オリバー＆ボイド. pp.  14– 16. ISBN 0-05-002192-3。
• シャープ、デイヴィッド (1987).環と因数分解.ケンブリッジ大学出版局. pp.  15–17 . ISBN 0-521-33718-6。