ジョスト関数

散乱理論において、ヨスト関数は微分方程式の正規解のロンスキアンと（非正規）ヨスト解です。 ${\displaystyle -\psi ''+V\psi =k^{2}\psi }$

これはRes Jostによって導入されました。

背景

我々は、次の場合の放射状シュレーディンガー方程式の解を求めている。 ${\displaystyle \psi (k,r)}$ ${\displaystyle \ell =0}$

${\displaystyle -\psi ''+V\psi =k^{2}\psi .}$

規則的な解決策と不規則な解決策

正規解と は境界条件を満たす解であり、 ${\displaystyle \varphi (k,r)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (k,0)&=0\\\varphi _{r}'(k,0)&=1.\end{aligned}}}$

の場合には、解はボルテラ積分方程式として与えられ、 ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r|V(r)|<\infty }$

${\displaystyle \varphi (k,r)=k^{-1}\sin(kr)+k^{-1}\int _{0}^{r}dr'\sin(k(r-r'))V(r')\varphi (k,r').}$

漸近挙動を示す2つの不規則解（ヨスト解と呼ばれることもある）が存在する。これらはボルテラ積分方程式で与えられる。 ${\displaystyle f_{\pm }}$ ${\displaystyle f_{\pm }=e^{\pm ikr}+o(1)}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle f_{\pm }(k,r)=e^{\pm ikr}-k^{-1}\int _{r}^{\infty }dr'\sin(k(r-r'))V(r')f_{\pm }(k,r').}$

ならば、は線形独立です。これらは二階微分方程式の解なので、すべての解（特に）はそれらの線形結合として表すことができます。 ${\displaystyle k\neq 0}$ ${\displaystyle f_{+},f_{-}}$ ${\displaystyle \varphi }$

ジョスト関数の定義

ジョスト関数は

${\displaystyle \omega (k):=W(f_{+},\varphi )\equiv \varphi _{r}'(k,r)f_{+}(k,r)-\varphi (k,r)f_{+,r}'(k,r)}$ 、

ここで、W はWronskianです。 はどちらも同じ微分方程式の解なので、Wronskian は r に依存しません。したがって、 で評価し、 の境界条件を用いると が得られます。 ${\displaystyle f_{+},\varphi }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \omega (k)=f_{+}(k,0)}$

アプリケーション

ジョスト関数は、グリーン関数を構築するため に使用できます。

${\displaystyle \left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+V(r)-k^{2}\right]G=-\delta (r-r').}$

実際には、

${\displaystyle G^{+}(k;r,r')=-{\frac {\varphi (k,r\wedge r')f_{+}(k,r\vee r')}{\omega (k)}},}$

ここで、および。 ${\displaystyle r\wedge r'\equiv \min(r,r')}$ ${\displaystyle r\vee r'\equiv \max(r,r')}$

粒子運動量におけるヨスト関数の解析性により、一方では無限大およびゼロ運動量による散乱位相差と、他方では束縛状態の数、ジャッフェ- ロープリミティブの数、およびカスティリェホ -ダリズ-ダイソン極の数と の間の関係を確立することができます (レビンソンの定理)。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n_{b}}$ ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle n_{\text{CDD}}}$

${\displaystyle \delta (+\infty )-\delta (0)=-\pi ({\frac {1}{2}}n_{0}+n_{b}+n_{p}-n_{\text{CDD}})}$ 。

ここでは散乱位相であり、= 0 または 1 です。この値は、エネルギーがゼロの束縛状態が存在する場合の - 波散乱 の例外的なケースに対応します。${\displaystyle \delta (k)}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n_{0}=1}$ ${\displaystyle s}$

参考文献

• ニュートン、ロジャー・G. (1966). 『波動と粒子の散乱理論』 ニューヨーク：マグロウヒル.書誌コード:1966stwp.book.....N. OCLC  362294.
• ヤファエフ, DR (1992). 『数学的散乱理論』 プロビデンス: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-4558-6。