マルチマジックスクエア

Type of magic square

数学において、P多重魔法方陣（サタニック方陣とも呼ばれる）は、1 ≤ k ≤ P の k 乗でそのすべての数字を置き換えても魔法のままである魔法方陣です。2多重魔法方陣はバイマジック、 3多重魔法方陣はトライマジック、 4多重魔法方陣はテトラマジック、5 多重魔法方陣はペンタマジックと呼ばれます。

通常の平方数の定数

平方が正規分布の場合、累乗平方の定数は次のように決定できます。

バイマジックスクエアのバイマジックシリーズの合計は、正方形ピラミッドの数のシーケンスにもリンクされています。シーケンスは次のとおりです :-
スクエア 0、1、4、9、16、25、36、49、.... ( OEISのシーケンスA000290 ) スクエアの合計 0、1、5、14、30、55、91、140、204、285、... ( OEISのシーケンスA000330 ) ) 正方形ベースのピラミッドの単位の数) バイマジックシリーズは、このシリーズの 1 番目、4 番目、9 番目 (1、2、3、nで割った値) などです。したがって、順序 1、順序 2、順序 3 のバイマジックスクエアの行と列の値は 1、15、95、374、 1105、2701、5775、11180、…（OEISの配列A052459）

トリマジックシリーズは、入れ子になった立方体の超ピラミッド型シーケンスと同様の関係があります。
立方体0、1、8、27、64、125、216、…（OEISのシーケンスA000578）立方体0、1、9、36、100、…の合計（OEISのシーケンスA000537）トリマジックの正方形1、50、675、4624、…の値（OEISのシーケンスA052460）

同様に、テトラマジックのシーケンス
4-Power 0、1、16、81、256、625、1296、... ( OEISのシーケンスA000583 ) 4-Power 0、1、17、98、354、979、2275、... の合計 ( OEISのシーケンスA000538 ) テトラマジックの正方形 0、1、177、... の合計 ( OEISのシーケンスA052461 )

バイマジックスクエア

二重魔方陣とは、その中の数字をすべてその平方数に置き換えても魔法のままである魔方陣のことです。

最初に知られているバイマジックスクエアは、次数が8、マジック定数が260、バイマジック定数が 11180 です。

ベンセンとヤコビーは、8以下の位数の非自明な^[^{説明が必要}^{]双魔方陣は存在しないと}予想した。これは、ボイヤーとトランプによって、1からn ²までの元を含む魔方陣について示された。

しかし、J.R.ヘンドリックスは1998年に、同じ数が9回出現する自明なバイマジックスクエアを除いて、位数3のバイマジックスクエアは存在しないことを証明しました。証明は非常に単純です。次のものをバイマジックスクエアとします。

1つの	b	c
d	e	f
グラム	h	私

魔方陣の性質として、であることはよく知られています。同様に、です。したがって、となります。中心を通るすべての線について、同じことが当てはまります。 $a+i=2e$ $a^{2}+i^{2}=2e^{2}$ $(a-i)^{2}=2(a^{2}+i^{2})-(a+i)^{2}=4e^{2}-4e^{2}=0$ $a=e=i$

4×4の正方形については、ルーク・ピーボディは同様の方法で、対称性を除いて4×4の双魔方陣は次の形式のみであることを示すことができた。

1つの	b	c	d
c	d	1つの	b
d	c	b	1つの
b	1つの	d	c

または

1つの	1つの	b	b
b	b	1つの	1つの
1つの	1つの	b	b
b	b	1つの	1つの

8 × 8 のバイマジックスクエア。

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

非自明なバイマジックスクエアは現在 (2010 年)、8 から 64 までの任意の次数で知られています。中国の Li Wen は、最後の未知の次数のギャップを埋める、次数 34、37、38、41、43、46、47、53、58、59、61、62 の最初の既知のバイマジックスクエアを作成しました。

2006 年に、Jaroslaw Wroblewski は、次数 6 の非正規な二重魔方陣を構築しました。非正規とは、連続しない整数を使用することを意味します。

また、2006 年に Lee Morgenstern は、次数 7 の非正規な二重魔方陣をいくつか構築しました。

トライマジックスクエア

三魔方陣とは、その数字をすべてその立方体に置き換えても魔法の力が残る魔方陣です。

これまでに、12、32、64、81、128 の位数の三魔方陣が発見されています。以下に示す唯一知られている 12 の位数の三魔方陣は、2002 年 6 月にドイツの数学者Walter Trumpによって発見されました。

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

高次の

最初の 4 魔方陣は 1983 年に Charles Devimeux によって構築され、256 次元の魔方陣でした。

2001年5月にアンドレ・ヴィリセルとクリスチャン・ボイヤーによって、512次の4魔方陣が構築された。^[1]

最初の5魔方陣（1024次）は、約1か月後の2001年6月に、再びヴィリセルとボイヤーによって完成しました。彼らはまた、2003年1月に、より小さな4魔方陣（256次）を発表しました。さらに、5魔方陣（729次）は、2003年6月にリー・ウェンによって完成しました。

参照

参考文献

^ Weisstein, Eric W. 「テトラマジックスクエア」. mathworld.wolfram.com . 2025年2月7日閲覧。

ワイスタイン、エリック・W.「バイマジックスクエア」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「トリマジックスクエア」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「テトラマジックスクエア」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「ペンタマジック・スクエア」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「マルチマジックスクエア」。MathWorld。

外部リンク

マルチマギー
パズルド.nl

[1] Weisstein, Eric W. 「テトラマジックスクエア」. mathworld.wolfram.com . 2025年2月7日閲覧。

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23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

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9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
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132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

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38	3	10	47	49	24	29	60
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61	28	17	56	42	15	6	35

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132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
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52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94