単位ダミー力法

単位ダミー力法は、構造システムの変位を計算するための便利な手段を提供します。^{[1]この方法は、線形および非線形の材料挙動と環境の影響を受けるシステムの両方に適用できるため、}カスチリアーノの第二定理よりも汎用的です。

離散システム

トラス、梁、フレームなどの離散系を考えます。これらの系は節点で相互接続された部材を有します。部材の一貫した変形集合は で与えられ、これは部材の柔軟性関係を用いて計算できます。これらの部材の変形によって、節点変位 が生じます。この変位を求めます。 ${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{N\times 1}}$

まず、必要なrごとに 1 つずつ、 N個の仮想ノード力を適用し、次の値と平衡状態にある仮想メンバー力を見つけます。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}^{*}}$

$${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}=\mathbf {B} _{M\times N}\mathbf {R} _{N\times 1}^{*}}$$

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不静定システムの場合、節点平衡を満たす集合は無限にあるため、行列Bは一意ではない。これは、元のシステムから導出された任意 の一次システムの節点平衡行列の逆行列として計算できる。${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}}$

内部の仮想力と外部の仮想力がそれぞれ実際の変形と変位を受けると想像してください。仮想的な仕事は次のように表すことができます。

• 外部仮想作業:${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} }$
• 内部仮想作業:${\displaystyle \mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q} }$

仮想仕事の原理によれば、2 つの仕事の表現は等しくなります。 $${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q} }$$

（１）を代入すると $${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} .}$$

には任意の仮想力が含まれているので、上記の式は ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} }$$

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(2)式の計算は、システムの複雑さに関わらず積分を必要とせず、Bの主システムの選択に関わらず結果が一意であることは注目に値する。したがって、これは、システムの種類や外的影響によって変化する従来のダミーユニットロード法よりもはるかに簡便で汎用的である。一方、式(2)はノードの変位または回転のみを計算することに注意する必要がある。これは制約ではない。なぜなら、必要に応じて任意の点をノードにすることができるからである。

最後に、単位荷重という名称は、行列Bの係数が式(1)に従って 単位節点力と平衡している部材力であるという解釈から生じています。${\displaystyle B_{i,j}}$ ${\displaystyle R_{j}^{*}=1}$

一般的なシステム

一般的なシステムでは、単位ダミー力法は仮想仕事原理から直接導かれます。図(a)は、実際の変形量が既知のシステムを示しています。これらの変形は、一定であると想定されますが、システム全体に変位を引き起こします。例えば、点AがA'に移動したとします。図中の方向におけるAの変位rを計算したいとします。この特定の目的のために、図(b)に示す仮想力システムを選択します。これは以下の式を示しています。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

• 単位力R *はAにあり、 rの方向に作用するので、 R *によって行われる外部仮想仕事は、(a)の変位がゼロであるため(b)の仮想反応によって行われる仕事がゼロであることに注意する。これは、望ましい変位である。$${\displaystyle R^{*}\times r=1\times r}$$
• 仮想応力によって行われる内部仮想仕事は、仮想応力がどこでも平衡を満たさなければならない場所です。$${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}}$

2 つの作業式を等しくすると、目的の変位が得られます。 $${\displaystyle 1\times r=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV}$$

参考文献

1. Reddy, JN (1984). 応用力学におけるエネルギー法と変分法. ニューヨーク: Wiley . pp.  135– 136. ISBN 978-0-471-89673-9。