整数値多項式

数学において、整数値多項式（数値多項式とも呼ばれる）とは、任意の整数nに対して値が整数となる多項式である。整数係数を持つすべての多項式は整数値であるが、その逆は成り立たない。例えば、多項式 ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle P(n)}$

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)}$

tが整数のときは常に整数値をとります。これは、 tとt のいずれかが偶数でなければならないためです。（この多項式がとる値は三角数です。） ${\displaystyle t+1}$

整数多項式は代数学においてそれ自体が研究対象であり、代数的位相幾何学にも頻繁に登場する。^{[ 1 ]}

分類

整数値多項式の類は、ジョージ・ポリア （1915）によって完全に記述された。有理数係数を持つ多項式環 の内部において、整数値多項式の部分環は自由アーベル群である。その基底は多項式 である。${\displaystyle \mathbb {Q} [t]}$

${\displaystyle P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!}$

の場合、すなわち二項係数 です。言い換えれば、すべての整数値多項式は、二項係数の整数線形結合として、正確に1つの方法で表すことができます。証明は離散テイラー級数の方法によって行われます。二項係数は整数値多項式であり、逆に整数級数の離散差分は整数級数であるため、多項式によって生成される整数級数の離散テイラー級数は整数係数を持ちます（そして有限級数です）。 ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

固定素因数

整数値多項式は、多項式の固定約数に関する問題を解くのに効果的に用いられる。例えば、常に偶数値をとる整数係数を持つ多項式Pは、まさに整数値をとる多項式である。そして、それらは二項係数の偶整数係数を持つ線型結合として表すことができる多項式である。 ${\displaystyle P/2}$

シンツェルの仮説Hやベイトマン・ホーン予想といった素数論の問題においては、Pが固定された素因数を持たない場合を理解することが基本的に重要である（これはヴィクトル・ブニャコフスキーにちなんでブニャコフスキーの性質と呼ばれている）。Pを二項係数で表すと、最大の固定された素因数は、そのような表現における係数の最大の素公約数でもあることがわかる。したがって、ブニャコフスキーの性質は互いに素な係数と等価である。

例えば、多項式と対は、この条件を で破ります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

は3で割り切れる。これは次の表現からわかる。

${\displaystyle n(n^{2}+2)=6{\binom {n}{3}}+6{\binom {n}{2}}+3{\binom {n}{1}}}$

二項基底に関しては、係数の最大公約数（つまり、 の最大固定約数）は3 です。 ${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

その他のリング

数値多項式は他の環や体上で定義することができ、その場合、上記の整数値多項式は古典数値多項式と呼ばれます。

アプリケーション

BU( n )のK理論は数値（対称）多項式です。

k + 1 変数の多項式環のヒルベルト多項式は 数値多項式です。 ${\displaystyle {\binom {t+k}{k}}}$

参考文献

1. ジョンソン、キース（2014年）「安定ホモトピー理論、形式群法則、整数値多項式」、フォンタナ、マルコ、フリッシュ、ソフィー、グラズ、サラ（編）、可換代数：可換環、整数値多項式、多項式関数の最近の進歩、シュプリンガー、pp.  213– 224、ISBN 9781493909254特に213～214ページを参照。

代数

• Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997),整数値多項式, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 48, Providence, RI: American Mathematical Society , MR  1421321
• ジョージ・ポーリャ（1915年）、「Über ganzwertige ganze Funktionen」、パレルモレンド。 (ドイツ語)、40 : 1–16、doi : 10.1007/BF03014836、ISSN  0009-725X、JFM  45.0655.02

代数的位相幾何学

• ベイカー、アンドリュー；クラーク、フランシス；レイ、ナイジェル；シュワルツ、ライオネル（1989）「クンマー合同とBUの安定ホモトピーについて」アメリカ数学会誌、316（2）：385–432、doi：10.2307/2001355、JSTOR  2001355、MR  0942424

• Ekedahl, Torsten (2002)、「積分ホモトピー理論における極小モデルについて」、ホモロジー、ホモトピーとその応用、4 (2): 191– 218、arXiv : math/0107004、doi : 10.4310/hha.2002.v4.n2.a9、MR  1918189、Zbl  1065.55003

• エリオット, ジェシー (2006). 「二項環、整数値多項式、そしてλ環」.純粋・応用代数ジャーナル. 207 (1): 165– 185. doi : 10.1016/j.jpaa.2005.09.003 . MR  2244389 .

• ハバック、ジョン・R.（1997）「数値形式」、ロンドン数学会誌、シリーズ2、55 （ 1）：65-75、doi：10.1112/S0024610796004395、MR  1423286

さらに読む

• ナルキェヴィチ、ヴワディスワフ (1995)。多項式マッピング。数学の講義ノート。 Vol. 1600年。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-59435-3。ISSN  0075-8434。Zbl  0829.11002。