三角数
最初の6つの三角数（T 0ではなく、T 1から始まる）
三角数プロット

三角数（さんかくすう、英: triangular number ）は、正三角形に配置された物体の数を表します。三角数は図形数の一種で、他の例としては平方数や立方数などがあります。n番目の三角数は、各辺にn個の点がある三角形の配置における点の数であり、 1からnまでのn個の自然数の合計に等しくなります。0番目の三角数から始まる最初の100項の三角数列は、以下のようになります。

0、1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171、190、210、231、253、276、300、325、351、378、406、435、465、496、528、561、595、630、666、703、741、780、820、861、903、946、990、1035、1081、1128、1176、1225、1275、 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240, 3321, 3403, 3486, 3570, 3655, 3741, 3828, 3916, 4005, 4095, 4186, 4278、4371、4465、4560、4656、4753、4851、4950、5050...

（ OEISの配列A000217）

式

左揃えのパスカルの三角形から三角数を導出します。
  自然数
  三角数
  四面体数
  ペンタトープ数
  5単体数
  6単体数
  7単体数

三角数は次のような明示的な式で与えられます。

Tn＝∑け＝1nけ＝1+2+⋯+n＝n2+n（n+1）2＝n（n+1）2＝（n+12）{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n{\vphantom {(n+1)}}}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}

ここで、 は二項係数の表記です。これはn + 1個のオブジェクトから選択できる異なるペアの数を表し、「 n + 1 から2つを選ぶ」と読み上げられます。 （n+12）{\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}

三角数が に等しいという事実は、視覚的な証明を用いて説明することができます。[ 1 ]すべての三角数 について、下図のように、その三角数に対応するオブジェクトの「半長方形」配置を想像してください。この配置をコピーして回転させて長方形を作成すると、オブジェクトの数が2倍になり、寸法 の長方形が作成されます。これは、長方形内のオブジェクトの数でもあります。明らかに、三角数自体は常に、そのような図形内のオブジェクトの数のちょうど半分、つまり です。例を以下に示します。 n{\displaystyle n}n（n+1）/2{\displaystyle n(n+1)/2}Tn{\displaystyle T_{n}}n×（n+1）{\displaystyle n\times (n+1)}Tn＝n（n+1）2{\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}T4{\displaystyle T_{4}}

2T4=4(4+1)=20{\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}(緑＋黄色) は(緑) を意味します。    T4=4(4+1)2=10{\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}

この式は数学的帰納法を用いて正式に証明することができる。[ 2 ]これは明らかに次の式が成り立つ。 1{\displaystyle 1}

T1=∑k=11k=1(1+1)2=22=1.{\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}

ここで、ある自然数 に対して が成り立つと仮定します。に対してこれを検証できます。 m{\displaystyle m}Tm=∑k=1mk=m(m+1)2{\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}m+1{\displaystyle m+1}∑k=1m+1k=∑k=1mk+(m+1)=m(m+1)2+m+1=m2+m2+2m+22=m2+3m+22=(m+1)(m+2)2,{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m+1}k&=\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)\\&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m^{2}+m}{2}}+{\frac {2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}

したがって、式が に対して真であれば、 に対しても真です。 に対して明らかに真であるため、 、、そして最終的には帰納法によりすべての自然数に対しても真となります。 m{\displaystyle m}m+1{\displaystyle m+1}1{\displaystyle 1}2{\displaystyle 2}3{\displaystyle 3}n{\displaystyle n}

伝説によると、ドイツの数学者ガウスは若い頃にこの関係を発見したとされている。n/2⁠合計における数のペアの数を、各ペアの値n + 1で割る。 [ 3 ]いずれにせよ、ガウスがこの公式を発見した最初の人物ではなく、その起源は紀元前 5 世紀のピタゴラス学派にまで遡ると考える人もいる。 [ 4 ]この 2 つの公式は、816 年頃にアイルランドの修道士ディクイルが著書『コンピュトゥス』の中で説明している。 [ 5 ]ディクイルの記述の英語訳が利用可能である。 [ 6 ]

場合によっては、標準の公式では2 で最終的に割る前に整数オーバーフローt = n*(n+1)/2が発生してしまうような大きな三角数を計算しなければならないことがあります。たとえば、T 20 = 210 < 256 なので は8 ビット バイトに収まりますが、中間の積 420 は収まりません。これは、乗算の前にnまたはn+1のいずれかを 2 で割ってから偶数にすることで解決できます。として実装されている場合、条件分岐は必要ありません。が奇数の場合、2 項 OR演算は効果がありません。したがって、これは と等価であり、正しいです。が偶数の場合、 で下位ビットを設定することは1 を追加することと同じですが、除算の前に追加された 1 は で切り捨てられるため、これは と等価であり、これも正しいです。 t = (n|1) * ((n+1)/2)nn|1t = n * ((n+1)/2)nn|1t = (n+1) * (n/2)

他の図形数との関係

三角数は他の図形数とさまざまな関係を持っています。

最も簡単に言えば、連続する2つの三角数の和は平方数である。なぜなら[ 7 ] [ 8 ]

Tn−1+Tn{\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}
=12n(n−1)+12n(n+1){\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}
=12n((n−1)+(n+1)){\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}
=n2{\displaystyle =n^{2}}

合計は 2 つの差の 2 乗になります (したがって、2 つの差は合計の平方根になります)。 Tn+Tn−1=(n22+n2)+((n−1)22+n−1(n−1)22)=(n22+n2)+(n22−n2)=n2=(Tn−Tn−1)2.{\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1{\vphantom {\left(n-1\right)^{2}}}}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}

この性質は、俗にスミルナのテオンの定理[9]として知られており、次の数字の合計で視覚的に示されています。 T4+T5=52{\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}

4321+1234555555{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}

この事実は、三角形を反対方向に配置して正方形を作成することによって、グラフで示すこともできます。

6 + 10 = 16         10 + 15 = 25    

上記のセクション§ 式の視覚的な証明にあるように、三角数の 2 倍はプロニック数と呼ばれます。

三角数は平方数でもあるものが無数に存在する。例えば、1、36、1225などである。これらのうちいくつかは、単純な再帰式で生成することができる 。Sn+1=4Sn(8Sn+1){\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}S1=1.{\displaystyle S_{1}=1.}

すべての平方三角数は、再帰から求め られ、Sn=34Sn−1−Sn−2+2{\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}S0=0{\displaystyle S_{0}=0}S1=1.{\displaystyle S_{1}=1.}

辺の長さが三角数である正方形は、面積が立方数に等しい正方形と半正方形に分割できます。これは、 n番目の三角数の平方が、最初のn個の立方数の和に等しいことを示しています。

n次の三角数の2乗は、 1からnまでの整数の3乗の和と同じです。これは次のようにも表せます。 ∑k=1nk3=(∑k=1nk)2.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}

n段の三角錐6個がn ( n +1)( n +2) の大きさの直方体に収まる[ 10 ]

最初のn個の三角数の和はn番目の四面体数です。 ∑k=1nTk=∑k=1nk(k+1)2=n(n+1)(n+2)6.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}

より一般的には、 n番目のm角数とn番目の( m +1)角数の差は( n −1)番目の三角数です。例えば、6番目の七角数(81)から6番目の六角数(66)を引くと、5番目の三角数15になります。他のすべての三角数は六角数です。三角数が分かれば、任意の中心多角数を計算できます。n番目の中心k角数は、次の式で求められます。 Ckn=kTn−1+1{\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}

ここで、Tは三角数です。

2 つの三角数の正の差は台形数です。

三角数と二項係数を用いる四面体数に見られるパターンは一般化できる。これは次の式につながる：[ 11 ]∑n1=1n2n1=(n2+12){\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}∑n2=1n3∑n1=1n2n1=(n3+23),{\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}∑nk−1=1nk∑nk−2=1nk−1…∑n2=1n3∑n1=1n2n1=(nk+k−1k){\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}

パスカルの三角形の対称性と対角線が単体数であることから、 n番目のk単体数はk番目のn単体数に等しいため、4番目の三角数は3番目の四面体数に等しい。同様に、5番目の三角数（15）は3番目の五面体数に等しく、以下同様である。

その他の特性

三角数は、ファウルハーバーの公式の 1 次ケースに対応します。

{{{注釈}}}

すべての六角数は奇数三角数であることを言葉なしで証明する

交互の三角数 (1、6、15、28、...) も六角数です。

すべての偶数完全数は三角形（および六角形）であり、式 M pがメルセンヌ素数である 場合に与えられます。奇数完全数は知られていないため、既知の完全数はすべて三角形です。 Mp2p−1=Mp(Mp+1)2=TMp{\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}

たとえば、3番目の三角数は (3 × 2 =) 6、7番目は (7 × 4 =) 28、31番目は (31 × 16 =) 496、127番目は (127 × 64 =) 8128 です。

三角数の最後の桁は 0、1、3、5、6、または 8 であり、したがって、そのような数は 2、4、7、または 9 で終わることはありません。最後の 3 の前には 0 または 5 がなければなりません。最後の 8 の前には 2 または 7 がなければなりません。

10 を基数とする三角数のデジタル根は常に 1、3、6、または 9 です。したがって、すべての三角数は 3 で割り切れるか、9 で割ったときに余りが 1 になります。

0 = 9 × 0 1 = 9 × 0 + 1 3 = 9 × 0 + 3 6 = 9 × 0 + 6 10 = 9 × 1 + 1 15 = 9 × 1 + 6 21 = 9 × 2 + 3 28 = 9 × 3 + 1 36 = 9 × 4 45 = 9 × 5 55 = 9 × 6 + 1 66 = 9 × 7 + 3 78 = 9 × 8 + 6 91 = 9 × 10 + 1 ...

上記のように、9 つの項ごとに繰り返される三角数のデジタルルートパターンは、「1、3、6、1、6、3、1、9、9」です。

しかし、上記の記述の逆は必ずしも真ではありません。例えば、三角数ではない12の数値根は3であり、3で割り切れます。

xが三角数、aが奇数の平方数、b = ⁠a − 1/8⁠の場合、 ax + bも三角数です。 b は常に三角数になることに注意してください。 8 T n + 1 = (2 n + 1) 2であり、三角数に 8 を掛けて 1 を加えるとすべての奇数の平方が明らかになります。また、 a が奇数の平方である場合のbのプロセスは、この操作の逆になります。 この形式の最初のいくつかのペア ( 1 x + 0は除く) は、 9 x + 1、 25 x + 3、 49 x + 6、 81 x + 10、 121 x + 15、 169 x + 21、... などです。 xがT nに等しい、これらの式はT 3 n + 1、 T 5 n + 2、 T 7 n + 3、 T 9 n + 4などになります。

すべての非零三角数の 逆数の和は∑n=1∞1n2+n2=2∑n=1∞1n2+n=2.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}

これは、伸縮級数の基本和を使用して示すことができます。 ∑n=1∞1n(n+1)=1.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}

さらに、この級数のn番目の部分和は次のように表すことができます。 2nn+1.{\displaystyle 2n \over {n+1}.}

三角数に関する他の 2 つの式は と で 、 どちらもドット パターン (上記参照) を見るか、簡単な代数を使用して確立できます。 Ta+b=Ta+Tb+ab{\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}Tab=TaTb+Ta−1Tb−1,{\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}

1796年、ガウスはすべての正の整数が3つの三角数の和として表せることを発見し、日記に「ΕΥΡΗΚΑ！num = Δ + Δ + Δ 」という有名な言葉を記しました。3つの三角数は必ずしも異なる、あるいは非ゼロである必要はありません。例えば、20 = 10 + 10 + 0 です。これはフェルマーの多角数定理の特殊なケースです。

2 k − 1 の形の最大の三角数は4095です（ラマヌジャン-ナゲルの式を参照）。

ヴァツワフ・フランシスチェク・シェルピンスキは、等比数列における4つの異なる三角数の存在について疑問を提起した。これはポーランドの数学者カジミエシュ・シミチェクによって不可能と予想され、後にファンとチェンによって2007年に証明された。[ 12 ] [ 13 ]

整数を三角数の和として表す公式は、シータ関数、特にラマヌジャンシータ関数と関連している。[ 14 ] [ 15 ]

三角形内の最も近い点のペア間の線分の数は、点の数または再帰関係で表すことができます。 Ln=3Tn−1=3(n2);Ln=Ln−1+3(n−1), L1=0.{\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};\qquad L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}

極限では、 2つの数値、点、線分の比は limn→∞TnLn=13.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}

アプリケーション

n人の間で可能な握手の回数が(n−1)番目の三角数であることを言葉なしで証明する

三角数T n は、n + 1人の人が部屋にいて、各人が各人と1回ずつ握手をした場合の握手回数を数える握手問題を解きます。言い換えれば、 n人の握手問題の解はT n −1です。[ 16 ]

同様に、n 台のコンピューティング デバイスが完全に接続されたネットワークでは、 T n − 1 本のケーブルまたはその他の接続が必要になります。

三角数は次元における主回転の数に等しい。例えば、5次元では主回転の数は10であり、これは である。[ 17 ]Tn{\displaystyle T_{n}}n+1{\displaystyle n+1}T4{\displaystyle T_{4}}

総当たり戦のグループステージ方式を採用したトーナメントでは、 nチーム間で行われる必要のある試合数は三角数T n − 1に等しい。例えば、4チームのグループステージでは6試合、8チームのグループステージでは28試合が必要となる。これは、ハンドシェイク問題や完全接続ネットワーク問題にも相当する。

n回の直線カットで得られるピースの最大数pは、 n番目の三角数に1を加えた数であり、これは怠惰な仕出し屋の数列を形成する（OEIS A000124）。

資産の減価償却費を計算する方法の一つに、年数和​​法があります。これは、 T n を求めるものです。ここで、nは資産の耐用年数です。毎年、資産の減価償却費は( b − s ) × ⁠減少します。n − y/T n⁠、ここでbはアイテムの開始価格（通貨単位）、 sは最終残存価値、 nはアイテムの使用可能年数、 yは減価償却スケジュールにおける現在の年です。この方法では、使用可能年数がn = 4年のアイテムは、⁠4/10⁠初年度の「損失可能な」価値の⁠3/10⁠ 2番目に、⁠2/10⁠ 3番目、そして⁠1/10⁠ 4番目では、合計減価償却費は⁠10/10⁠ (損失額全体)。

ボードゲームデザイナーのジェフリー・エンゲルスタインとアイザック・シャレフは、三角数は「ゲームデザイナーの間ではほぼマントラや公案のような地位を獲得した」と述べ、「非常に直感的」であり、「膨大な数のゲームに登場し、他のすべての戦略を排除するほどの特化を過度に奨励することなく、大規模なセットでエスカレートする報酬を提供するという信じられないほど汎用性があることが証明されている」と述べている。[ 18 ]

ドミノの端にあるピップの最大数とそのセット内のドミノの数の関係（太字の値は共通）
最大ピップ 012345 6 78 9 1011 12 1314 15 1617 18 192021
n123456 7 89 10 1112 13 1415 16 1718 19 202122
T n136101521 28 3645 55 6678 91 105120 136 153161 190 210231253

三角根と三角数の検定

xの平方根との類推により、 xの（正の）三角根はT n = xを満たす数nとして定義できる。[ 19 ]n=8x+1−12{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}

これは二次方程式の公式から直ちに導かれる。したがって、整数xが三角数であるためには、8x + 1が平方数となる必要がある。同様に、 xの正の三角根nが整数であれば、xはn番目の三角数である。[ 19 ]

別名

ドナルド・クヌースは、 1からnまでの整数を因数とする積である 階乗関数との類推として、1から n（n番目の三角数）までの整数を項とする和をn ?と表記する「ターミナル関数」という名称を提案した[ 20 ]。この名称と表記法は他の文献でも用いられているが[ 21 ]、広く用いられているわけではない。

参照

参考文献

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