単調関数

数学において、単調関数（たんとんかん、英: monotonic function）とは、与えられた順序を維持または反転する順序集合間の関数である。^[¹^]^[²^]^[³^]この概念は、最初に微積分学で生まれ、後に、より抽象的な順序理論の設定に一般化された。

微積分学と解析学において

微積分学では、実数値を持つ実数のサブセット上で定義された関数は、完全に非減少であるか、完全に非増加である場合に単調であると呼ばれます。 ^[²^]つまり、図1に示すように、単調に増加する関数は必ずしも増加する必要はなく、単に減少してはならないということです。 $f$

関数が単調増加（増加または非減少とも呼ばれる）^{[ 3 ]}とは、すべてのとに対してが成り立ち、したがって順序が保存されることを意味します（図1参照）。同様に、関数が単調減少（減少または非増加とも呼ばれる）^[³^]とは、ならばが成り立ち、したがって順序が逆転することを意味します（図2参照）。 $x$ $y$ $x\leq y$ $f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)$ $f$ $x\leq y$ $f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)$

単調性の定義における順序を厳密な順序に置き換えると、より強い要件が得られます。この特性を持つ関数は、厳密に増加する（も増加すると呼ばれます）。^[³^]^[⁴^]また、順序記号を逆にすると、厳密に減少する（も減少すると呼ばれる）対応する概念が得られます。 ^[³^]^[⁴^]どちらかの特性を持つ関数は、厳密に単調と呼ばれます。厳密に単調な関数は1 対 1です（の場合はまたはと等しくないため、単調性によりまたはとなり、したがってとなります。 $\leq$ $<$ $x$ $y$ $x<y$ $x>y$ $f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)$ $f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)$ $f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)$

曖昧さを避けるために、非厳密な単調性を表す際に、 弱単調、弱増加、弱減少という用語がよく使用されます。

「非減少」および「非増加」という用語は、（はるかに弱い）否定的な修飾語である「減少しない」および「増加しない」と混同すべきではありません。例えば、図3に示す非単調関数は、最初に下降し、次に上昇し、再び下降します。したがって、これは減少でも増加でもありませんが、非減少でも非増加でもありません。

関数のすべての次数の導関数が区間上のすべての点で非負またはすべて非正である場合、その関数は区間上で絶対単調であると言われます。 $f$ $\left(a,b\right)$ $f$

関数の逆関数

すべての厳密に単調な関数は、その値域からその定義域への 1 対 1 のマッピングを持つことが保証されているため、逆関数となります。

ただし、弱単調な関数は逆関数である必要はなく、ある区間では定数である可能性があります (したがって、1 対 1 ではありません)。

関数は、限られた範囲の値において厳密に単調である可能性があり、その範囲では逆関数が存在するにもかかわらず、どこでも厳密に単調であるとは限りません。例えば、が範囲で厳密に増加している場合、範囲で逆関数が存在します。 $y=g(x)$ $[a,b]$ $x=h(y)$ $[g(a),g(b)]$

単調という用語は、厳密に単調である代わりに使用されることがあるため、すべての単調関数は逆可能であると記述されている情報源が、実際にはすべての厳密に単調な関数は逆可能であることを意味している場合があります。

単調変換

単調変換（または単調変換）という用語は、厳密に増加関数による変換を指すため、混乱を招く可能性があります。経済学においては、単調変換を通して効用関数の順序性が維持されることがこれに該当します（単調選好も参照）。^{[ 5 ]}この文脈では、「単調変換」という用語は正の単調変換を指し、数値の順序を逆転させる「負の単調変換」と区別することを目的としています。^{[ 6 ]}

いくつかの基本的な応用と結果

単調関数には次の特性が当てはまります。 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f$ その定義域のあらゆる点において右と左からの制限がある。
$f$ 実数、、またはのいずれかの正または負の無限大 ( ) に極限があります。 $\pm \infty$ $\infty$ $-\infty$
$f$ ジャンプと除去可能な不連続のみを持つことができます。
$f$ は定義域内に可算個しか不連続点を持つことができません。しかし、不連続点は必ずしも孤立点から構成されるとは限らず、区間 ( a , b ) において稠密となることさえあります。例えば、任意の正数の加法可能な列と任意の有理数の列挙に対して、単調増加関数はすべての無理数において正確に連続です（図を参照）。これは、離散測度の有理数上の累積分布関数であり、はの重みです。 $(a_{i})$ $(q_{i})$ $f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}$ $a_{i}$ $q_{i}$
がおよびで微分可能ならば、がI上で増加となるような非退化区間Iが存在する。逆に、fが区間I上で微分可能かつ増加ならば、 Iのあらゆる点でその導関数は正となる。 $f$ $x^{*}\in {\mathbb {R}}$ $f'(x^{*})>0$ $x^{*}\in I$ $f$

これらの特性こそが、単調関数が分析の技術的作業において有用である理由です。これらの関数のその他の重要な特性には、以下が含まれます。

が区間上で定義された単調関数である場合、はのほぼすべての点で微分可能である。つまり、において微分不可能なにおける数の集合は、ルベーグ測度がゼロである。さらに、この結果は可算に改善することはできない。カントール関数を参照のこと。 $f$ $I$ $f$ $I$ $x$ $I$ $f$ $x$
この集合が可算ならば、絶対連続である $f$
が区間上で定義された単調関数である場合、はリーマン積分可能です。 $f$ $\left[a,b\right]$ $f$

単調関数の重要な応用の一つは確率論である。が確率変数である場合、その累積分布関数は単調増加関数となる。 $X$ $F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)$

関数は、ある点（モード）まで単調に増加し、その後単調に減少する場合、単峰性になります。

が厳密に単調関数であるとき、はその定義域に単射であり、がの値域であるとき、に対して逆関数が存在する。対照的に、各定数関数は単調ではあるが単射ではないため、^[⁷^]逆関数は存在しない。 $f$ $f$ $T$ $f$ $T$ $f$

このグラフは6つの単調関数を示しています。最も単純な形はプロットエリアに表示され、それらを作成するために使用される式はy軸に表示されます。

位相幾何学において

写像が単調であるとは、その各繊維が連結されている場合である。つまり、各要素に対して、（空である可能性もある）集合は、 $f:X\to Y$ $y\in Y,$ $f^{-1}(y)$ $X.$

関数解析では

位相ベクトル空間上の関数解析において、（非線形の可能性のある）作用素が単調作用素であるとは、 $X$ $T:X\rightarrow X^{*}$

$(Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.$ カチュロフスキーの定理は、バナッハ空間上の凸関数がその導関数として単調演算子を持つことを示しています。

の部分集合が単調集合であるとは、との任意のペアに対して、 $G$ $X\times X^{*}$ $[u_{1},w_{1}]$ $[u_{2},w_{2}]$ $G$

$(w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.$ $G$ 単調演算子が最大単調集合であるとは、単調集合の包含の意味ですべての単調集合の中で最大となることを意味する。単調演算子のグラフは単調集合である。単調演算子が最大単調であるとは、そのグラフが最大単調集合となることを意味する。 $G(T)$

順序理論

順序論は、実数の一般化として、任意の半順序集合および前順序集合を扱う。上記の単調性の定義は、これらの場合にも当てはまる。しかし、「増加」および「減少」という用語は、従来の図式表現が全順序でない順序には適用できないため、ここでは使用しない。さらに、厳密な関係とは、多くの非全順序ではほとんど役に立たないため、それらについては追加の用語は導入しない。 $<$ $>$

を任意の半順序集合の半順序関係、単調関数（等調関数とも呼ばれる）、または $\leq$ 順序保存性は、次の性質を満たす。

$x\leq y\implies f(x)\leq f(y)$

$定義域内のすべてのx$ と $y$ に対して、2つの単調写像の合成も単調である。

双対概念はしばしば反音関数、反単調関数、あるいは順序反転関数と呼ばれる。したがって、反音関数 $f$ は次の性質を満たす。

$x\leq y\implies f(y)\leq f(x),$

その定義域内のすべての $x$ と $y$ に対して。

定数関数は単調かつ反調です。逆に、 $f が$ 単調かつ反調であり、 $fの定義域が$ 格子である場合、 $f は$ 定数でなければなりません。

単調関数は順序理論において中心的な役割を果たします。この分野に関するほとんどの論文に登場し、特殊な応用例もこれらの論文で見ることができます。注目すべき特殊な単調関数としては、順序埋め込み（つまり、とが順序同型（射影的順序埋め込み）が成り立つこと）が挙げられます。 $x\leq y$ $f(x)\leq f(y))$

検索アルゴリズムの文脈では

探索アルゴリズムの文脈において、単調性（一貫性とも呼ばれる）はヒューリスティック関数に適用される条件である。ヒューリスティックが単調であるとは、任意のアクション $aによって生成されたすべてのノード$ $nと$ $n$ の後継ノード $n'について、$ $n$ からゴールに到達する推定コストが、 $n'に到達するステップコストと$ $n'$ からゴールに到達する推定コストの合計よりも大きくない場合である。 $h(n)$

$h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).$

これは三角不等式の一種で、 $n$ 、 $n' 、そして$ $n$ に最も近い目標 $G n が$ 成り立ちます。単調なヒューリスティックはすべて許容可能であるため、単調性は許容可能性よりも厳しい要件となります。A *などの一部のヒューリスティックアルゴリズムは、使用するヒューリスティックが単調である限り、最適であることが証明できます。 ^[⁸^]

ブール関数では

ブール代数では、単調関数とは、 ${0,1}$ 内のすべての $a i$ および $b i$ に対して、 $a$ $1$ $\leq$ $b$ $1$ 、 $a$ $2$ $\leq$ $b$ $2$ 、...、 $a$ $n$ $\leq$ $b$ $n$ （つまり、直積 ${0, 1}$ $n が$ 座標順に順序付けられている）であれば、 $f($ $a$ $1$ $、...、$ $a$ $n$ $) \leq f($ $b$ $1$ $、...、$ $b$ $n$ $)$ が成り立つ関数です。言い換えると、ブール関数が単調なのは、あらゆる入力の組み合わせに対して、入力の 1 つを false から true に切り替えても、出力が false から true に切り替わるだけで、true から false に切り替わらないときです。図的に言えば、これは、真理値でラベル付けされた $n$ キューブとして表現されたn 項ブール関数がtrueからfalseへの上向きのエッジを持たないときに、 $n$ 項ブール関数が単調であることを意味します。（このラベル付きハッセ図は、関数のラベル付きベン図の双対であり、 $n$ $\leq 3$ のより一般的な表現です。）

単調ブール関数とは、入力（複数回出現してもよい）を演算子andとor のみを用いて組み合わせた式で定義できる関数です（特にnotは禁止されています）。例えば、「 $a$ 、 $b$ 、 $c$ のうち少なくとも2つが成立する」（三項多数決関数）は、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の単調関数です。これは、例えば (( $a$ かつ $b$ ) または ( $a$ かつ $c$ ) または ( $b$ かつ $c$ )) と表記できるためです。

$n$ 変数のこのような関数の数は、 $n$ のデデキント数として知られています。

SAT解決は一般的にNP困難なタスクであるが、関係するすべての関数と述語が単調かつブール値である場合に効率的に達成することができる。^{[ 9 ]}

参照

注記

^クラップハム、クリストファー、ニコルソン、ジェームズ (2014).オックスフォード数学コンサイス辞典（第5版）. オックスフォード大学出版局.
^ ^a ^bストーバー、クリストファー。「単調関数」。Wolfram MathWorld 。2018年1月29日閲覧。
^ ^a ^b ^c ^d ^e「単調関数」。数学百科事典。 2018年1月29日閲覧。
^ ^a ^bスピヴァック、マイケル（1994年）『微積分学』ヒューストン、テキサス州：パブリッシュ・オア・ペリッシュ社、p. 192、ISBN 0-914098-89-6。
^ Simon & Blume (1994)のCardinal Versus Ordinal Utilityのセクションを参照。
^ Varian, Hal R. (2010). 『中級ミクロ経済学』（第8版）. WW Norton & Company. p. 56. ISBN 9780393934243。
^ドメインに複数の要素がある場合
^最適性の条件：許容性と一貫性、94～95ページ（ラッセル＆ノルヴィグ2010年）。
^ Bayless, Sam; Bayless, Noah; Hoos, Holger H.; Hu, Alan J. (2015). SAT Modulo Monotonic Theories . Proc. 29th AAAI Conf. on Artificial Intelligence. AAAI Press. pp. 3702– 3709. arXiv : 1406.0043 . doi : 10.1609/aaai.v29i1.9755 . 2023年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。

参考文献

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マイケル・レナルディ＆ロバート・C・ロジャース（2004年）『偏微分方程式入門』応用数学テキスト13（第2版）ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、356頁。ISBN 0-387-00444-0。
リース、フリジェス、ベーラ・シュジェファルヴィ＝ナジ (1990)。機能分析。クーリエ・ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66289-3。
ラッセル、スチュアート・J.、ノーヴィグ、ピーター（2010年）『人工知能：現代的アプローチ』（第3版）アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール、ISBN 978-0-13-604259-4。
Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994年4月). 『経済学者のための数学』（初版）. Norton. ISBN 978-0-393-95733-4。（定義9.31）

外部リンク

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単調なシーケンスの収束、 Anik Debnath と Thomas Roxlo (The Harker School)、Wolfram Demonstrations Project 著。
ワイスタイン、エリック W. 「単調関数」。MathWorld 。

[1] クラップハム、クリストファー、ニコルソン、ジェームズ (2014).オックスフォード数学コンサイス辞典（第5版）. オックスフォード大学出版局.

[:1-2] ストーバー、クリストファー。「単調関数」。Wolfram MathWorld 。2018年1月29日閲覧。

[:0-3] 「単調関数」。数学百科事典。 2018年1月29日閲覧。

[:2-4] スピヴァック、マイケル（1994年）『微積分学』ヒューストン、テキサス州：パブリッシュ・オア・ペリッシュ社、p. 192、ISBN 0-914098-89-6。

[5] Simon & Blume (1994)のCardinal Versus Ordinal Utilityのセクションを参照。

[6] Varian, Hal R. (2010). 『中級ミクロ経済学』（第8版）. WW Norton & Company. p. 56. ISBN 9780393934243。

[7] ドメインに複数の要素がある場合

[8] 最適性の条件：許容性と一貫性、94～95ページ（ラッセル＆ノルヴィグ2010年）。

[9] Bayless, Sam; Bayless, Noah; Hoos, Holger H.; Hu, Alan J. (2015). SAT Modulo Monotonic Theories . Proc. 29th AAAI Conf. on Artificial Intelligence. AAAI Press. pp. 3702– 3709. arXiv : 1406.0043 . doi : 10.1609/aaai.v29i1.9755 . 2023年12月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。

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