絶対的かつ完全に単調な関数とシーケンス

数学において、絶対単調関数と完全単調関数という概念は、非常に密接に関連しています。どちらも非常に強い単調性特性を持ちます。どちらのタイプの関数も、あらゆる次数の導関数を持ちます。絶対単調関数の場合、関数とそのあらゆる次数の導関数は、定義域において非負でなければなりません。これは、関数とそのあらゆる次数の導関数が、定義域において単調増加関数であることを意味します。完全単調関数の場合、関数とその導関数は、定義域において交互に非負と非正になる必要があります。これは、関数とその導関数が交互に単調増加関数と単調減少関数であることを意味します。

このような関数は1914年にS.ベルンシュタインによって初めて研究され、用語も彼に由来しています。[1] [2] [3]他にも、ほぼ完全に単調な関数、対数的に完全に単調な関数、強く対数的に完全に単調な関数、強く完全に単調な関数、ほぼ強く完全に単調な関数など、関連する概念がいくつかあります。[4] [5]もう一つの関連する概念は、完全に/絶対に単調なシーケンス です。この概念は1921年にハウスドルフによって導入されました。

完全単調かつ絶対単調な関数／数列の概念は、数学のいくつかの分野で重要な役割を果たしている。例えば、古典解析学においては、ベッセル関数を含む積分の正値性や、特定のヤコビ級数のチェザロ平均の正値性の証明において用いられる。[6]このような関数は、確率論、数値解析、弾性といった数学の他の分野でも用いられる。[7]

定義

機能

実数値関数が実数直線上の区間で定義され、すべての階の導関数を持ち、内のすべてのに対して であるとき、その関数は絶対単調関数と呼ばれます。[1]関数が完全単調関数と呼ばれるのは、内のすべての に対して であるときです。[1] f （ × ） {\displaystyle f(x)} 私 {\displaystyle I} f （ n ） （ × ） {\displaystyle f^{(n)}(x)} n ＝ 0 、 1 、 2 、 … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots } f （ n ） （ × ） ≥ 0 {\displaystyle f^{(n)}(x)\geq 0} × {\displaystyle x} 私 {\displaystyle I} f （ × ） {\displaystyle f(x)} （ − 1 ） n f （ n ） （ × ） ≥ 0 {\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\geq 0} × {\displaystyle x} 私 {\displaystyle I}

これら2つの概念は相互に関連しています。関数 が完全に単調であるためには、 が に対して絶対的に単調である必要があります。この場合、 を原点 に関して 鏡映変換して得られる区間は となります。（したがって、 が区間である場合、は区間 です。） f （ × ） {\displaystyle f(x)} f （ − × ） {\displaystyle f(-x)} − 私 {\displaystyle -I} − 私 {\displaystyle -I} 私 {\displaystyle I} 私 {\displaystyle I} （ 1つの 、 b ） {\displaystyle (a,b)} − 私 {\displaystyle -I} （ − b 、 − 1つの ） {\displaystyle (-b,-a)}

応用において、実数直線上の区間として通常考慮されるのは、実数直線の右半分の閉開区間、つまり区間 です。 [ 0 、 ∞ ） {\displaystyle [0,\infty )}

例

以下の関数は指定された領域内で絶対単調である。[8] : 142–143 

  1. f （ × ） ＝ c {\displaystyle f(x)=c} 、ここで負でない定数、領域 c {\displaystyle c} − ∞ < × < ∞ {\displaystyle -\infty <x<\infty }
  2. f （ × ） ＝ ∑ け ＝ 0 ∞ 1つの け × け {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}} 、すべての地域で 1つの け ≥ 0 {\displaystyle a_{k}\geq 0} け {\displaystyle k} 0 ≤ × < ∞ {\displaystyle 0\leq x<\infty }
  3. f （ × ） ＝ − ログ ⁡ （ − × ） {\displaystyle f(x)=-\log(-x)} 地域で − 1 ≤ × < 0 {\displaystyle -1\leq x<0}
  4. f （ × ） ＝ 罪 − 1 ⁡ × {\displaystyle f(x)=\sin^{-1}x} 地域で 0 ≤ × ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1}

シーケンス

数列の要素が非負であり、連続する差がすべて非負である場合、 その数列は絶対単調数列と呼ばれます。つまり、 { μ n } n ＝ 0 ∞ {\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}

Δ け μ n ≥ 0 、 n 、 け ＝ 0 、 1 、 2 、 … {\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }

どこ。 Δ け μ n ＝ ∑ メートル ＝ 0 け （ − 1 ） メートル （ け メートル ） μ n + け − メートル {\displaystyle \Delta^{k}\mu_{n}=\sum_{m=0}^{k}(-1)^{m}{k \choose m}\mu_{n+km}}

数列は、その要素が非負であり、その連続する差が交互に非正と非負である場合、完全単調数列と呼ばれる。[8] : 101 つまり、 { μ n } n ＝ 0 ∞ {\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}

（ − 1 ） け Δ け μ n ≥ 0 、 n 、 け ＝ 0 、 1 、 2 、 … {\displaystyle (-1)^{k}\Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }

例

のシーケンスとシーケンスは完全に単調なシーケンスです。 { 1 n + 1 } 0 ∞ {\displaystyle \left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}_{0}^{\infty}} { c n } 0 ∞ {\displaystyle \{c^{n}\}_{0}^{\infty }} 0 ≤ c ≤ 1 {\displaystyle 0\leq c\leq 1}

いくつかの重要な特性

絶対単調関数の理論の拡張と応用はどちらも定理から導き出されます。

  • ベルンシュタインの小定理: 閉区間上で絶対的に単調な関数は、によって定義される区間上の解析関数に拡張できます。 [ 1つの 、 b ] {\displaystyle [a,b]} | x − a | < b − a {\displaystyle |x-a|<b-a}
  • 絶対的に単調な関数は、実数直線上で解析的であるだけでなく、実数直線への関数全体の制限である関数に拡張できます。 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )}
  • 単調関数に関するベルンシュタインの定理：絶対的に単調な関数は、ラプラス積分として次のように表される。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ( − ∞ , 0 ] {\displaystyle (-\infty ,0]}
f ( x ) = ∫ 0 ∞ e x t d μ ( t ) {\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{xt}\,d\mu (t)}
ここでは非減少であり、 で有界です。 μ ( t ) {\displaystyle \mu (t)} [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )}
  • 数列が完全に単調であるのは、次のような増加関数が存在する場合のみである。 { μ n } 0 ∞ {\displaystyle \{\mu _{n}\}_{0}^{\infty }} α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}
μ n = ∫ 0 1 t n d α ( t ) , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\,d\alpha (t),\quad n=0,1,2,\ldots }
この関数を数列から決定することをハウスドルフモーメント問題といいます。

さらに読む

以下は、絶対的/完全に単調な関数/シーケンスに関する膨大な文献から抜粋したものです。

  • ルネ・L・シリング、レンミン・ソング、ゾラン・ヴォンドラーチェク（2010年）。バーンスタイン関数の理論と応用。デ・グルイテル。1 ～ 10ページ 。ISBN 978-3-11-021530-4。（第1章 ラプラス変換と完全単調関数）
  • DV Widder (1946). 『ラプラス変換』 プリンストン大学出版局.第3章「モーメント問題」(pp. 100 - 143)および第4章「絶対的かつ完全に単調な関数」(pp. 144 - 179)を参照してください。
  • ミラン・マークル (2014).解析的数論、近似理論、特殊関数. シュプリンガー. pp.  347–364 . arXiv : 1211.0900 .（章：「完全に単調な関数：ダイジェスト」）
  • Arvind MahajanとDieter K Ross (1982). 「完全単調関数と絶対単調関数に関する注記」(PDF) . Canadian Mathematical Bulletin . 25 (2): 143– 148. doi :10.4153/CMB-1982-020-x . 2023年12月28日閲覧.
  • Senlin Guo、Hari M Srivastava、Necdet Batir (2013). 「完全に単調なシーケンスの特定のクラス」(PDF) .差分方程式の進歩. 294 : 1– 9. doi : 10.1186/1687-1847-2013-294 . 2023年12月29日閲覧.
  • 矢島 誠; 茨木 毅 (1968年3月). 「完全単調関数の理論と閾値論理への応用」. IEEE Transactions on Computers . C-17 (3): 214– 229. doi :10.1109/tc.1968.229094.

参照

参考文献

  1. ^ abc 「絶対単調関数」. encyclopediaofmath.org . 数学百科事典. 2023年12月28日閲覧。
  2. ^ S. バーンスタイン (1914)。 「定義と機能の独自性を分析し、変数を定義する」。数学アンナレン。75 (4): 449–468。土井:10.1007/BF01563654。
  3. ^ S. バーンスタイン (1928)。 「シュール・レ・フォンション・アブソリュメント・モノトーン」。アクタ・マセマティカ。52 : 1–66 .土井: 10.1007/BF02592679。
  4. ^ Guo, Senlin (2017). 「完全に単調な関数に関連する関数のいくつかの性質」(PDF) . Filomat . 31 (2): 247– 254. doi :10.2298/FIL1702247G . 2023年12月29日閲覧。
  5. ^ Guo, Senlin; Laforgia, Andrea; Batir, Necdet; Luo, Qiu-Ming (2014). 「完全単調関数と関連関数：その応用」(PDF) . Journal of Applied Mathematics . 2014 : 1– 3. doi : 10.1155/2014/768516 . 2023年12月28日閲覧。
  6. ^ R. Askey (1973). 「ヤコビ級数の和算可能性」.アメリカ数学会誌. 179 : 71–84 . doi :10.1090/S0002-9947-1973-0315351-7.
  7. ^ ウィリアム・フェラー (1971). 『確率論とその応用入門 第2巻（第3版）』 ニューヨーク: ワイリー. ISBN 9780471257097. OCLC  279852。
  8. ^ ab Widder, David Vernon (1946). The Laplace Transform . Princeton University Press. ISBN 9780486477558OCLC  630478002 。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Absolutely_and_completely_monotonic_functions_and_sequences&oldid=1295905801"