算術とディオファントス幾何学の用語集

これは数学における算術幾何学とディオファントス幾何学 の用語集です。これらの分野は、伝統的なディオファントス方程式の研究から発展し、数論と代数幾何学の大部分を包含するようになりました。理論の多くは、様々な一般性レベルで関連付けられる 予想の形で提示されています。

ディオファントス幾何学は一般に、素体（特に数体と有限体を含む）および局所体上の有限生成体K上の代数多様体 Vの研究である。これらの体のうち、複素数のみが代数的に閉じている。他の任意のK上では、 Kに座標を持つVの点の存在は、Vの幾何学を知っていたとしても、追加の課題として証明および研究されるべきものである。

数論幾何学は、より一般的には、整数環のスペクトル上の有限型のスキームの研究として定義されます。[1]数論幾何学は、代数幾何学の手法を数論の問題に応用したものとしても定義されています。[2]

「数論用語集」の数論用語集も参照してください。


あ

ABC予想
マッサーとオステルレのabc予想は、方程式a + b = cにおける繰り返し素因数について可能な限り多くのことを述べようとするものです。例えば、3 + 125 = 128 ですが、ここでの素因数は例外です。
アラケロフ類群
アラケロフ類群は、アラケロフ因子に対するイデアル類群または因子類群の類似体である。[3]
アラケロフ因子
大域体上のアラケロフ因子（あるいは完全因子[4] ）は、因子または分数イデアルの概念の拡張である。これは、有限位が整数係数を持ち、無限位が実数係数を持つ体上の位の形式的な線型結合である。 [3] [5] [6]
アラケロフの高さ
代数的数体上の射影空間上のアラケロフ高さは、アルキメデス体上のフビニ・スタディ計量と非アルキメデス体上の通常の計量から得られる局所的な寄与を持つ大域的な高さ関数である。 [ 7 ] [ 8 ]
アラケロフ理論
アラケロフ理論は、「無限素数」を明示的に含む算術幾何学へのアプローチです。
アーベル多様体の算術
アーベル多様体の算術に関する主要記事を参照
アルティンL関数
アルティンL関数は、極めて一般的なガロア表現に対して定義されています。1960年代にエタールコホモロジーが導入されたことで、ハッセ・ヴェイユL関数はl進コホモロジー群上のガロア表現に対するアルティンL関数とみなせるようになりました。

B

悪い削減
良好な削減を参照してください。
バーチとスウィナートン・ダイアーの予想
楕円曲線に関するバーチとスウィナートン＝ダイアーの予想は、楕円曲線の階数とそのハッセ＝ヴェイルL関数の極の位数との間に関連があることを仮定する。この予想は1960年代半ば以降、ディオファントス幾何学における重要なランドマークとなっており、コーツ＝ワイルズの定理、グロス＝ザギエの定理、コリヴァギンの定理といった結果がもたらされている。[9]

C

標準高度
アーベル多様体上の標準高さは、特徴的な二次形式である高さ関数である。ネロン・テイト高さを参照。
シャボーティ法
p進解析関数に基づくシャボーティ法は特殊な応用であるが、ヤコビ行列の階数がその次元より小さい曲線に対するモーデル予想のケースを証明できる。この方法は、代数的トーラスに対するトラルフ・スコーレム法のアイデアを発展させたものである。（ディオファントス問題に対する他の古い手法としては、ルンゲ法などがある。）
コーツ・ワイルズの定理
コーツ・ワイルズの定理は、クラス数1で正の階数の虚数二次体による複素乗算を伴う楕円曲線は、 s = 1で零点を持つL関数を持つことを述べている。これはバーチとスウィナートン・ダイアーの予想 の特別な場合である。[10]
結晶コホモロジー
結晶コホモロジーは、特性pにおけるp進コホモロジー理論であり、アレクサンダー・グロタンディークによって導入された。これは、エタール・コホモロジーがpを法とする係数をこの場合に用いることができないという欠点を補うためである。これは、ドワークの方法から何らかの形で派生する多くの理論の一つであり、純粋に算術的な問題以外にも応用されている。

D

対角線形状
対角形式は、算術的な観点から研究する上で最も単純な射影多様体の一つである（フェルマー多様体を含む）。その局所ゼータ関数はヤコビ和を用いて計算される。ウォーリング問題は最も古典的な例である。
ディオファントス次元
体のディオファントス次元とは、体kがクラスC kとなるような最小の自然数kのことである。つまり、N変数の次数dの斉次多項式は、 N > d kのときは必ず非自明な零点を持つ。代数的に閉体はディオファントス次元0であり、準代数的に閉体は次元1である。[11]
点の判別式
点の判別式は、数体K上に定義された代数多様体V上の点Pに関する2つの関連した概念、すなわち幾何学的（対数）判別式[12] d ( P ) とVojta によって定義された算術判別式を指します。[13]この2つの違いは、特異曲線の算術種数と非特異化の幾何学的種数の違いに例えることができます。[13]算術種数は幾何学的種数よりも大きく、点の高さは算術種数によって制限される場合があります。幾何学的種数を含む同様の制限を得ることは、重要な結果をもたらすでしょう。[13]
ドゥワーク法
バーナード・ドゥワークは、 p進解析、p進代数的微分方程式、コシュル複体といった独特な手法を用いたが、これらの手法は結晶コホモロジーなどの一般理論にはまだ全てが取り入れられていない。彼は局所ゼータ関数の有理性を初めて証明し、ヴェイユ予想への最初の前進となった。

E

エタールコホモロジー
ヴェイユコホモロジー（参照）の探索は、アレクサンダー・グロタンディークとマイケル・アルティンのエタールコホモロジー理論によって少なくとも部分的に達成された。この理論は局所ゼータ関数の関数方程式の証明を与え、テイト予想（参照）をはじめとする数多くの理論の定式化の基礎となった。

F

ファルティングスの高さ
数体上に定義された楕円曲線やアーベル多様体のファルティングス高さは、ファルティングスがモーデル予想の証明で導入した複雑さの尺度である。[ 14 ] [ 15 ]
フェルマーの最終定理
ディオファントス幾何学の最も有名な予想であるフェルマーの最終定理は、アンドリュー・ワイルズとリチャード・テイラーによって証明されました。
平坦コホモロジー
平坦コホモロジーは、グロタンディーク学派にとって発展の終着点の一つである。しかし、計算が非常に難しいという欠点がある。平坦位相がスキーム理論にとって「正しい」基礎トポスと考えられてきた理由は、忠実平坦降下、すなわちグロタンディークによる表現可能関数がそれの層であることの発見（すなわち、非常に一般的な接着公理が成り立つ）に遡る。
機能フィールドのアナロジー
19世紀には、数体の整数環が代数曲線やコンパクト・リーマン面のアフィン座標環と類似性を持つことが認識されました。ただし、数体の「無限の位」に相当する1点以上が削除されています。この考え方は、大域体はすべて同じ基底で扱われるべきであるという理論に、より正確に反映されています。この考え方はさらに発展しています。したがって、複素数上の楕円曲面も、数体上の楕円曲線と非常に厳密な類似性を持っています。

G

幾何学的類体理論
類体論スタイルの結果を少なくとも 2 次元の多様体へ拡張したものを、幾何学的類体論と呼ぶことがあります。
良い削減
算術問題における局所解析の基本は、すべての素数p、またはより一般的には素イデアル を法として簡約する ことです。一般的な状況では、ほとんどすべてのpに対してこれはそれほど困難ではありません。たとえば、分数の分母は扱いにくく、分母の素数を法として簡約すると 0 で割ったように見えるものの、分数ごとに有限個のpしか排除されません。もう少し高度な処理を加えると、同次座標系では、共通のスカラーを乗じて分母をクリアできます。特定の単一点に対してこれを行うことができ、共通因数pを残さずに済みます。ただし、特異点理論が登場します。特異点ではない点は、 pを法として簡約すると特異点になることがあります。これは、線形項が 0 に簡約されるとザリスキ接空間が大きくなる可能性があるためです(幾何学的定式化から、これは単一の座標セットのせいではないことがわかります)。良好な縮約とは、縮約された多様体が元の多様体と同じ性質を持つことを指す。たとえば、代数曲線が同じ種数を持つことや、滑らかな多様体が滑らかなままであることなどである。一般に、与えられた多様体V（滑らかであると仮定）に対して、素数の有限集合Sが存在し、そうでなければZ / p Z上の滑らかな縮約されたV pが存在する。アーベル多様体の場合、良好な縮約はネロン・オッグ・シャファレヴィッチの基準によって分割点の体における分岐と結び付けられる。この理論は、変数を変更して状況を改善する自由度があまり自明ではないという意味で微妙である。ネロンモデル、潜在的な良好な縮約、テイト曲線、半安定アーベル多様体、半安定楕円曲線、セール・テイトの定理を参照のこと。[16]
グロタンディーク＝カッツ予想
グロタンディーク＝カッツのp曲率予想は、素数を法とする還元を代数微分方程式に適用し、代数関数の解に関する情報を導出する。この種の予想の最初の結果はアイゼンシュタインの定理である。

H

ハッセ原理
ハッセ原理は、大域体に対する可解性は関連するすべての局所体に対する可解性と同じであると述べている。ディオファントス幾何学の主な目的の 1 つは、ハッセ原理が成り立つ場合を分類することである。一般にそれは、方程式の次数が固定されたときの、変数の数が多い場合である。ハッセ原理は、ハーディ–リトルウッド円法の成功とよく関連付けられている。円法が機能する場合、解の漸近数などの追加の定量的情報が得られる。変数の数を減らすと円法は難しくなるため、たとえば変数の数が少ない3 次形式(特に3 次曲線としての楕円曲線) に対するハッセ原理の失敗は、一般的なレベルでは解析的アプローチの限界に関連付けられている。
ハッセ・ヴァイルL関数
ハッセ＝ヴェイユのL関数は、局所ゼータ関数から構成されるオイラー積であり、大域L関数とも呼ばれる。このようなL関数の性質は、谷山＝志村予想の証明が画期的な成果であったものの、依然として大部分が予想の域を出ていない。ラングランズ哲学は、大域L関数の理論と概ね補完的である。
高さ関数
ディオファントス幾何学における高さ関数は、ディオファントス方程式の解の大きさを定量化する。[17]
ヒルベルト体
ヒルベルト体 Kとは、 K上の射影空間がジャン＝ピエール・セールの意味で薄い集合ではない体である。これは、有理数がヒルベルト体であることを示すヒルベルトの既約定理の幾何学的解釈である。結果は逆ガロア問題に適用される。薄い集合（フランス語ではmince）は、ある意味でベール圏定理の薄い集合（フランス語ではmaigre）と類似している。

私

井草ゼータ関数
井草ゼータ関数は、井草純一にちなんで名付けられた、代数多様体上の点の数を、固定された素数pの高次冪pnを法として数える生成関数である。数理論理学の手法を用いた一般合理性定理が現在では知られている。[18]
無限降下
無限降下法は、ピエール・ド・フェルマーがディオファントス方程式に対して用いた古典的な手法である。これはモーデル＝ヴェイユの定理の標準的な証明の片方となり、もう片方は高さ関数（参照）を用いた議論となった。降下法は、主同質空間群（方程式で表す場合はしばしば「降下」と呼ばれる）における2による除算に似ている。より現代的な用語で言えば、有限であることが証明されるべきガロアコホモロジー群における除算である。セルマー群を参照。
岩沢理論
岩澤理論は、解析的数論とスティッケルバーガーの定理から、ガロア加群とp 進 L 関数（ベルヌーイ数上のクンマー合同に根を持つ）としてのイデアル類群の理論として構築される。 1960 年代後半の初期の頃には、ヤコビアン の岩澤類似体と呼ばれていた。この類似性は、有限体F（ピカール多様体として）上の曲線Cのヤコビ多様体Jであり、有限体に単位根が追加されて有限体拡大F ′が作成されます。 Cの局所ゼータ関数（参照）は、点J ( F ′ ) からガロア加群として復元できます。同様に、岩澤は、彼の類似例として、固定pとn → ∞ に対してp n乗の単位根を数体Kに加え、類群の逆極限を考慮して、久保田とレオポルドによって以前に導入されたp進 L 関数を発見しました。

K

K理論
代数的K理論は、一方では抽象代数学的な色合いを持つ極めて一般的な理論である一方、他方では算術予想のいくつかの定式化に関係している。例えば、バーチ＝テイト予想やリヒテンバウム予想などを参照のこと。

L

ラング予想
エンリコ・ボンビエリ（次元2）、セルジュ・ラングとポール・ヴォイタ（整点の場合）、そしてピオトル・ブラスは、一般型の代数多様体はK有理点のザリスキ稠密部分集合を持たないと予想した。Kは有限生成体である。この考え方には、解析双曲性の理解とそれに関するラング予想、そしてヴォイタ予想が含まれる。複素数上の解析的に双曲的な代数多様体Vとは、複素平面全体からそれへの正則写像が存在しない、つまり定数ではないような代数多様体である。例としては、種数g > 1のコンパクト・リーマン面が挙げられる。ラングは、 Vが解析的に双曲的であるためのすべての部分多様体が一般型である場合に限ると予想した。[19]
線形トーラス
線型トーラスは、アフィントーラス（乗法群の積）の幾何学的に既約なザリスキ閉部分群である。[20]
局所ゼータ関数
局所ゼータ関数は、有限体F上の代数多様体V上の点の数をFの有限体拡大上で生成する関数である。ヴェイユ予想（参照）によれば、これらの関数は、非特異多様体に対して、リーマン予想を含むリーマンゼータ関数と非常に類似した性質を示す。

M

マニン・マンフォード予想
ミシェル・レイノーによって証明されたマニン・マンフォード予想は、曲線Cのヤコビ多様体Jには、 C = Jでない限り、Jにおいて有限の位数を持つ点が有限個しか含まれないというものである。[21] [22]
モーデル予想
モーデル予想は現在ではファルティングスの定理と呼ばれ、種数が2以上の曲線には有限個の有理点しか存在しないことを述べています。一様性予想は、そのような点の個数には、種数と定義体のみに依存する一様上界が存在するはずであることを述べています。
モーデル・ラング予想
モーデル・ラング予想は、ローラン、レイノー、ヒンドリー、ヴォイタ、ファルティングスの研究に続いてマクキランによって証明されたが、ラングがモーデル予想とマニン・マンフォード予想をアーベル多様体または半アーベル多様体で統合した予想である。[23] [24]
モーデル・ヴェイユの定理
モーデル・ヴェイユの定理は、数体K上のアーベル多様体Aに対して、群A ( K ) は有限生成アーベル群であることを述べる基礎的な結果である。これは当初数体Kに対して証明されたが、すべての有限生成体に拡張される。
モルデリック種
モルデル多様体は、任意の有限生成体において有限個の点しか持たない代数多様体である。[25]

北

ナイーブな高さ
有理数ベクトルの素朴高さあるいは古典的高さは、互いに素な整数ベクトルの絶対値の最大値であり、最小公分母を乗じて得られる。これは、 Q上の射影空間上の点、あるいは係数ベクトルとみなされる多項式、あるいは代数的数の高さを、その最小多項式の高さから定義するために用いられる。[26]
ネロンのシンボル
ネロン記号は、アーベル多様体上の約数と代数的サイクルの双乗的ペアであり、ネロンがネロン・テイト高さを局所寄与の和として定式化する際に使用される。[27] [28] [29]局所記号の和である大域的ネロン記号は、高さのペアの負数である。[30]
ネロン・テート高
アーベル多様体A上のネロン・テイト高（しばしば標準高とも呼ばれる）は、本質的に内在的な高さ関数（参照）であり、一般高さ論で示されるA上の加法に関する近似二次形式ではなく、正確な二次形式である。これは、一般高さから極限過程によって定義することができる。また、局所的寄与の総和であるという意味で、公式も存在する。[30]
ネヴァンリンナ不変量
正規射影多様体X上の十分な因子Dのネヴァンリンナ不変量は、因子によって定義される埋め込みに対する多様体上の有理点の数の増加率を記述する実数である。[31]これは高さゼータ関数の収束の横軸と同様の形式的性質を持ち、本質的に同じであると予想されている。[32]

お

通常削減
次元dのアーベル多様体Aが素数pで通常の簡約を持つとは、 pで良好な簡約を持ち、さらにp-捩れがd階数を持つことを意味する。[33]

質問

準代数的閉包
準代数的閉包、すなわち方程式の次数における多項式の数の変数によって保証される可解性の話題は、ブラウアー群とシュヴァレー＝ワーニング定理の研究から生まれた。反例に直面して行き詰まったが、数理論理学におけるアックス＝コッヘン定理を参照のこと。

R

素数またはイデアルを法とする縮約
良好な削減を参照してください。
理想に満ち溢れた
数体Kの完全イデアルは、 Kの分数イデアルと、 Kの無限位で添え字付けされた成分を持つ正の実数ベクトルとの形式的な積である。[34]完全因子はアラケロフ因子である。[4]

S

佐藤・テイト予想
佐藤＝テイト予想は、与えられた有理数体上の楕円曲線を簡約して得られる有限体上の楕円曲線のテイト加群におけるフロベニウス元の分布を記述する。佐藤幹夫とジョン・テイト[35]はそれぞれ独立に、 1960年頃にこの予想を提唱した。これはガロア表現一般の原型である。
スコーレム法
Chabauty法を参照してください。
スペシャルセット
代数多様体における特殊集合とは、多くの有理点が見つかるであろうと期待される部分集合のことである。正確な定義は文脈によって異なる。一つの定義は、非自明な有理写像の下での代数群の像の和集合のザリスキ閉包である。あるいは、アーベル多様体の像をとることもできる。 [36]別の定義は、一般型でないすべての部分多様体の和集合である。[19]アーベル多様体の場合、定義は、適切なアーベル部分多様体のすべての変換の和集合となる。[37]複素多様体の場合、正則特殊集合は、 Cからのすべての非定数正則写像の像のザリスキ閉包である。ラングは、解析的特殊集合と代数的特殊集合は等しいと予想した。[38]
部分空間定理
シュミットの部分空間定理は、射影空間における高さの小さい点は有限個の超平面上に存在することを示している。この定理の定量的な形、すなわちすべての解を含む部分空間の数もシュミットによって導かれ、この定理はシュリケヴァイ (1977) によって一般化され、数体上のより一般的な絶対値も可能となった。この定理は、積分点に関するシーゲルの定理やS単位方程式の解など、ディオファントス方程式に関する結果を得るために用いられる。[39]

T

玉川番号
玉川数の直接的な定義は、線型代数群に対してのみ有効である。そこでは、玉川数に関するヴェイユ予想が最終的に証明された。アーベル多様体、特にバーチ＝スウィナートン＝ダイアー予想（参照）の場合、玉川数による局所・大域原理へのアプローチは、直接的な試みでは失敗するものの、長年にわたり経験的な価値を有してきた。現在、洗練された同変玉川数予想は主要な研究課題となっている。
テイト予想
テイト予想（ジョン・テイト、1963年）は、同じく代数的サイクルに関するホッジ予想の類似例を与えたが、数論幾何学の範囲内で成立していた。また、楕円曲面に関して、バーチ＝スウィナートン＝ダイアー予想（参照）の類似例も与え、バーチ＝スウィナートン＝ダイアー予想の明確化とその重要性の認識に急速につながった。
テイト曲線
テイト曲線は、ジョン・テイトが悪い還元（良い還元を参照）を研究するために導入したp 進数上の特定の楕円曲線です。
ツェンランク
体のツェン階数は、1936年に研究を発表したCCツェンにちなんで名付けられた[40]。体iのクラスT i 、すなわち、n変数で次数d jの定数項を持たない任意の多項式系が、n > Σ d j iのときは必ず非自明な零点を持つような体iが存在する場合の最小の自然数iである。代数的に閉体のツェン階数は零である。ツェン階数はディオファントス次元以上であるが、階数零の場合を除いてそれらが等しいかどうかは知られていない[41] 。

あなた

均一性予想
一様性予想は、任意の数体Kとg > 2 に対して、種数gの任意の曲線上のK -有理点の数に一様境界B ( g , K ) が存在することを述べている。この予想はボンビエリ・ラング予想から導かれる。[42]
あり得ない交差点
あり得ない交差とは、モーデル・ラング予想に関係するような、異常に大きな次元を持つ集合において、トーラスまたはアーベル多様体の部分多様体と交差する代数的部分群のことである。[43]

V

ヴォイタ予想
ヴォイタ予想は、ポール・ヴォイタによる、ディオファントス近似とネヴァンリンナ理論との類似性を示す予想の複合体である。

W

重量
重みのヨガはアレクサンダー・グロタンディークによるホッジ理論とl進コホモロジーの類似性の定式化である。[44]
ヴェイユコホモロジー
ヴェイユ予想（参照）を証明するための当初のアイデアは、後に多少修正されたものの、有限体上の代数多様体に適用可能なコホモロジー理論を構築することであった。この理論は、位相構造の検出において特異ホモロジーと同等の性能を持ち、かつ、レフシェッツの不動点定理を局所ゼータ関数の数え上げに適用できるようなフロベニウス写像を持つ。その後の歴史については、モチーフ（代数幾何学）およびモチーフコホモロジーを参照のこと。
ヴェイユ予想
ヴェイユ予想は、アンドレ・ヴェイユが1949年頃に発表した、局所ゼータ関数に関する3つの非常に影響力のある予想である。証明は1973年に完了した。これらの予想が証明された後も、初等的手法から導かれるシュヴァレー・ワーニング定理の合同性の拡張と、ヴェイユ境界の改良（例えば、1940年のヴェイユの基本定理から導かれる曲線の点の数のより良い推定）が残されている。後者は代数幾何学のコードにとって興味深いものとなった。
代数多様体上のヴェイユ超関数
アンドレ・ヴェイユは1920年代から1930年代にかけて、代数多様体上の点の座標における代数的数の素イデアル分解に関する理論を提唱した。この理論は未だ発展途上にある。
ワイル関数
代数多様体上のヴェイユ関数は、あるカルティエ因子から定義される実数値関数であり、アラケロフ理論におけるグリーン関数の概念を一般化したものである。[45]それらはネロン・テイト高の局所成分の構築に用いられる。[46]
ワイル高さ測定機
ヴェイユの高さマシンは、数体上の滑らかな射影多様体上の任意の因子（または滑らかでない多様体上​​のカルティエ因子）に高さ関数を割り当てるための効果的な手順である。 [47]

参照

参考文献

  1. ^ nラボにおける数論幾何学
  2. ^ Sutherland, Andrew V. (2013年9月5日). 「算術幾何学入門」(PDF) . 2019年3月22日閲覧。
  3. ^ ab Schoof, René (2008). 「アラケロフ類群の計算」. Buhler, JP; P., Stevenhagen (編). 『アルゴリズム的数論：格子、数体、曲線、そして暗号』. MSRI Publications. 第44巻.ケンブリッジ大学出版局. pp.  447– 495. ISBN 978-0-521-20833-8. MR  2467554. Zbl  1188.11076.
  4. ^ ノイキルヒ（1999）p.189
  5. ^ ラング（1988）74–75ページ
  6. ^ ファン・デル・ギア、G.; Schoof、R. (2000)。 「アラケロフ約数と数値フィールドのシータ約数の有効性」。Mathematica を選択します。新しいシリーズ。6 (4): 377–398 . arXiv : math/9802121。土井：10.1007/PL00001393。S2CID  12089289。Zbl 1030.11063  。
  7. ^ ボンビエリ＆ギュブラー (2006) pp.66–67
  8. ^ ラング（1988）156–157ページ
  9. ^ ラング（1997）91–96ページ
  10. ^ Coates, J. ; Wiles, A. (1977). 「BirchとSwinnerton-Dyerの予想について」. Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223– 251. Bibcode :1977InMat..39..223C. doi :10.1007/BF01402975. S2CID  189832636. Zbl  0359.14009.
  11. ^ ノイキルヒ、ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。ウィンバーグ、ケイ (2008)。数体のコホモロジー。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 323 (第 2 版)。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 361.ISBN​ 978-3-540-37888-4。
  12. ^ ラング（1997）p.146
  13. ^ abc ラング (1997) p.171
  14. ^ ファルティングス、ゲルト(1983)。 「Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern」。数学の発明。73 (3): 349–366。ビブコード:1983InMat..73..349F。土井：10.1007/BF01388432。S2CID  121049418。
  15. ^ コーネル, ゲイリー; シルバーマン, ジョセフ H. (1986).算術幾何学. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-96311-1。→ Faltings (1983)の英訳を収録
  16. ^ セール, ジャン＝ピエール;テイト, ジョン(1968年11月). 「アーベル多様体の良好な縮約」. 『数学年報』第2巻. 88 (3): 492– 517. doi :10.2307/1970722. JSTOR  1970722. Zbl  0172.46101.
  17. ^ ラング （1997）
  18. ^ 井草純一 (1974). 「複素累乗と漸近展開 I. 特定のタイプの関数」。数学に関するジャーナル。1974 ( 268–269 ): 110–130 . doi :10.1515/crll.1974.268-269.110。S2CID  117772856。Zbl 0287.43007  。
  19. ^ ヒンドリー＆シルバーマン（2000）p.479
  20. ^ ボンビエリ＆ギュブラー (2006) pp.82–93
  21. ^ Raynaud, Michel (1983). "Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion". Artin, Michael ; Tate, John (eds.).算術と幾何学. I.R. Shafarevichの60歳の誕生日を記念した論文集. 第1巻：算術. 『数学の進歩』（フランス語）. 第35巻. Birkhauser-Boston. pp.  327– 352. Zbl  0581.14031.
  22. ^ Roessler, Damian (2005). 「Manin–Mumford予想に関する注記」. van der Geer, Gerard; Moonen, Ben; Schoof, René (編).数体と関数体 ― 二つの並行世界. Progress in Mathematics. Vol. 239. Birkhäuser. pp.  311– 318. ISBN 0-8176-4397-4. Zbl  1098.14030。
  23. ^ McQuillan, Michael (1995). 「半アーベル多様体上の除算点」. Invent. Math . 120 (1): 143– 159. Bibcode :1995InMat.120..143M. doi :10.1007/BF01241125. S2CID  120053132.
  24. ^ B. MazurによるMordell-Lang予想の2ページにわたる解説、2005年11月3日
  25. ^ ラング（1997）p.15
  26. ^ ベイカー、アラン；ヴュストホルツ、ギスバート（2007年）『対数形式とディオファントス幾何学』新数学モノグラフ第9巻ケンブリッジ大学出版局p.3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004。
  27. ^ ボンビエリ＆ギュブラー (2006) pp.301–314
  28. ^ ラング（1988）66–69ページ
  29. ^ ラング（1997）p.212
  30. ^ ab Lang (1988) p.77
  31. ^ ヒンドリー＆シルバーマン（2000）p.488
  32. ^ Batyrev, VV; Manin, Yu.I. (1990). 「代数多様体上の高さが制限された有理点の数について」. Math. Ann . 286 : 27–43 . doi :10.1007/bf01453564. S2CID  119945673. Zbl  0679.14008.
  33. ^ ラング（1997）161–162ページ
  34. ^ ノイキルヒ (1999) p.185
  35. ^ これは、J. Tate著「Algebraic cycles and poles of zeta functions」（OFG Schilling編）『 Arithmetical Algebraic Geometry』93～110ページ（1965年）に記載されています。
  36. ^ ラング（1997）17–23ページ
  37. ^ ヒンドリー＆シルバーマン（2000）p.480
  38. ^ ラング（1997）p.179
  39. ^ ボンビエリ＆ギュブラー (2006) pp.176–230
  40. ^ ツェン、C. (1936)。 「Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper」。J. 中国数学。社会。171 : 81–92.Zbl 0015.38803  。​
  41. ^ ローレンツ、ファルコ (2008).代数学 第2巻：構造を持つ体、代数、そして高度な話題シュプリンガー. pp.  109– 126. ISBN 978-0-387-72487-4。
  42. ^ Caporaso, Lucia ; Harris, Joe ; Mazur, Barry (1997). 「有理点の均一性」 .アメリカ数学会誌. 10 (1): 1– 35. doi : 10.1090/S0894-0347-97-00195-1 . JSTOR  2152901. Zbl  0872.14017.
  43. ^ ザニエ、ウンベルト (2012).算術と幾何学におけるありそうもない交差の問題. Annals of Mathematics Studies. 第181巻.プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-15371-1。
  44. ^ Pierre Deligne、 Poids dans la cohomologie des variétés algébriques、Actes ICM、バンクーバー、1974 年、79–85。
  45. ^ ラング（1988）pp.1–9
  46. ^ ラング（1997）164,212ページ
  47. ^ ヒンドリー＆シルバーマン（2000）184–185

さらに読む

  • ディノ・ロレンツィーニ（1996）『算術幾何学への招待』AMS書店、ISBN 978-0-8218-0267-0
「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Glossary_of_arithmetic_and_diophantine_geometry&oldid=1315374566#R」より取得