周期（数論）
有理数 ( )、代数的数 ( )、代数的周期 ( )、および指数的周期 ( ) は複素数 ( ) のサブセットです。質問{\displaystyle \mathbb {Q} }あ{\displaystyle \mathbb {A} }P{\displaystyle {\mathcal {P}}}EP{\displaystyle {\mathcal {EP}}}C{\displaystyle \mathbb {C} }

数学、特に数論において、周期または代数的周期[ 1 ]は、代数的領域における代数関数の積分として表される複素数である。周期は、代数的数に加えて、 πなどの多くのよく知られた数学定数を含む数のクラスである。周期の和と積は周期のままであり、周期は環を形成する。 P{\displaystyle {\mathcal {P}}}

Maxim KontsevichとDon Zagier は、生理について概説し、生理に関するいくつかの推測を紹介しました。

周期は微分方程式や超越数の理論だけでなく、現代の数論的代数幾何学の未解決問題においても重要な役割を果たしている。[ 2 ]また、ファインマン図から生じる積分を計算する際にも周期が現れ、その関連性を理解しようとする集中的な研究が行われてきた。[ 3 ]

意味

ある数が次の形式の積分として表せる場合、その数はピリオドである。 α{\displaystyle \alpha}

α＝∫P（×1、…、×n）≥0質問（×1、…、×n） d×1…d×n{\displaystyle \alpha =\int _{P(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq 0}Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}}

ここでは多項式であり、 は有理係数を持つ上の有理関数である。[ 1 ]複素数は、その実部と虚部が周期である場合に周期となる。 P{\displaystyle P}質問{\displaystyle Q}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

別の定義では、と を代数関数とみなすことができる。これはより一般的なように見えるが、同値である。無理代数数は適切な定義域の面積で表現できるため、有理関数と多項式の係数も代数数に一般化できる。 P{\displaystyle P}質問{\displaystyle Q}

逆の場合、被積分関数を、追加変数の多項式で定義された領域で の の積分に置き換えることにより、 を定数関数またはに制限することができます。質問{\displaystyle Q}1{\displaystyle 1}−1{\displaystyle -1}±1{\displaystyle \pm 1}

言い換えれば、（非負の）周期は、有理係数を持つ多項式不等式によって定義される領域の体積である。[ 2 ] [ 4 ]Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

特性と動機

周期は、多くの一般的な数学定数を包含するには範囲が狭すぎる、行儀のよい代数的数と、可算でなく、ごく少数の特殊な例を除いて記述が困難な超越数との間のギャップを埋めることを目的としています。超越数は一般に計算不可能です。

周期環は代数的数と複素数（すなわち）の体の間にあり、可算である。[ 5 ]周期そのものはすべて計算可能であり、[ 6 ]特に定義可能である。 P{\displaystyle {\mathcal {P}}}質問¯{\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} }C{\displaystyle \mathbb {C} }質問¯⊂P⊂C{\displaystyle \mathbb {\overline {Q}} \subset {\mathcal {P}}\subset \mathbb {C} }

周期には超越数も含まれており、これはアルゴリズム的に記述することができ、限られた量の情報しか含まない。[ 2 ]

ピリオドとして知られている数字

ピリオドとして知られている数字には以下のものがあります: [ 1 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 7 ]

番号 周期積分の例
任意の代数的数。 α{\displaystyle \alpha}α＝∫0αd×{\displaystyle \alpha =\int _{0}^{\alpha }\mathrm {d} x}
任意の正の代数的数の自然対数。 α>0{\displaystyle \alpha >0}ln⁡（α）＝∫1α1× d×{\displaystyle \ln(\alpha )=\int _{1}^{\alpha }{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x}
定義域内の代数的数における逆三角関数。 α{\displaystyle \alpha }arctan⁡(α)=∫0α11+x2 dx{\displaystyle \arctan(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \mathrm {d} x}
定義域内の代数的数における逆双曲線関数。 α{\displaystyle \alpha }artanh(α)=∫0α11−x2 dx{\displaystyle {\text{artanh}}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }{\frac {1}{1-x^{2}}}\ \mathrm {d} x}
番号。 ​π{\displaystyle \pi }π=∫014x2+1 dx{\displaystyle \pi =\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x}
リーマンゼータ関数 の整数値と複数のゼータ値。 ζ(s){\displaystyle \zeta (s)}s≥2{\displaystyle s\geq 2}

特に、偶数べき乗とアペリの定数。 π2n{\displaystyle \pi ^{2n}}ζ(3){\displaystyle \zeta (3)}

ζ(3)=∫01∫01∫01dxdydz1−xyz{\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z}{1-xyz}}}
ディリクレベータ関数 の整数値。 β(s){\displaystyle \beta (s)}

特に、奇数乗とカタラン定数。 π2n+1{\displaystyle \pi ^{2n+1}}G{\displaystyle G}

G=∫01∫01dxdy1+x2y2{\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1+x^{2}y^{2}}}}
の有理倍数におけるクラウゼン関数 の特定の値。 Cl2(z){\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)}π{\displaystyle \pi }

特に、ギーゼキング定数 。 Cl2(13π){\displaystyle {\text{Cl}}_{2}({\tfrac {1}{3}}\pi )}

Cl2(13π)=2∫01∫11+ydxdyx(1−y)(3+y){\displaystyle {\text{Cl}}_{2}({\tfrac {1}{3}}\pi )=2\int _{0}^{1}\int _{1}^{1+y}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{x{\sqrt {(1-y)(3+y)}}}}}
およびの定義域におけるポリガンマ関数 の有理値。 ψm(z){\displaystyle \psi _{m}(z)}z∈Q+{\displaystyle z\in \mathbb {Q} ^{+}}m∈Z+{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}ψm(z)=−∫01yz−11−y[∫1ydxx]mdy{\displaystyle \psi _{m}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {y^{z-1}}{1-y}}\left[\int _{1}^{y}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right]^{m}\,\mathrm {d} y}
その定義域内の代数的数における多重対数 および。 Lis(α){\displaystyle {\text{Li}}_{s}(\alpha )}α{\displaystyle \alpha }s∈Z+{\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}Li2(α)=−∫0α∫11−y1xy dxdy{\displaystyle {\text{Li}}_{2}(\alpha )=-\int _{0}^{\alpha }\int _{1}^{1-y}{\frac {1}{xy}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}
その定義域内の代数的数における逆正接積分 および。 Tin(α){\displaystyle {\text{Ti}}_{n}(\alpha )}α{\displaystyle \alpha }n∈Z+{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}Ti2(α)=∫0α∫0y1y(1+x2) dxdy{\displaystyle {\text{Ti}}_{2}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{y}{\frac {1}{y(1+x^{2})}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}
代数的境界を持つ楕円積分の値。

特に、代数半径が および である楕円の周囲長。 P{\displaystyle P}a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}

P=∫−bb1+a2x2b4−b2x2dx{\displaystyle P=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}x^{2}}{b^{4}-b^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x}
ガンマ関数とベータ関数に関連するいくつかの数値、例えばのやの の値。特に、レムニスケート定数。 Γ(p/q)q{\displaystyle \Gamma (p/q)^{q}}p,q∈Z+{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ^{+}}B(1n,1n){\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}})}n∈Z+{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}ϖ{\displaystyle \varpi }B(1n,1n)=2n∫011−xnn dx{\displaystyle \mathrm {B} \left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)=2n\int _{0}^{1}{\sqrt[{n}]{1-x^{n}}}\ \mathrm {d} x}
代数引数における 超幾何関数の特殊な値。2F1(−12,13;43;−1)=13∫011+xx2/3dx{\displaystyle _{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}};{\tfrac {4}{3}};-1)={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1+x}}{x^{2/3}}}\mathrm {d} x}
特定の引数における モジュラー形式の特殊な値。[ 2 ]
期間の合計と積。

未解決の質問

周期として知られている定数の多くは、超越関数の積分によっても与えられます。コンツェビッチとザギエは、「特定の無限和や超越関数の積分がなぜ周期となるのかを説明する普遍的な規則は存在しないようだ」と指摘しています。

コンツェビッチとザギエは、周期が2つの異なる積分で与えられる場合、積分の線形性（被積分関数と領域の両方）、変数変換、およびニュートン・ライプニッツの公式のみを使用して、各積分を他の積分に変換できると推測しました。

∫abf′(x)dx=f(b)−f(a){\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}

（または、より一般的には、ストークスの公式）。

代数的数の有用な性質の一つは、二つの代数式が等しいかどうかがアルゴリズム的に決定できることです。コンツェビッチとザギエの予想は、周期の等式も決定可能であることを示唆しています。つまり、計算可能実数の不等式は再帰的に列挙可能であることが分かっています。逆に、二つの積分が一致する場合、アルゴリズムは、一方を他方に変換するあらゆる可能な方法を試すことで、その一致を確認することができます。

さらなる未解決の問題は、既知の数学定数のうちどれが周期環に属さないかを証明することである。周期ではない実数の例として、チャイティン定数Ωが挙げられる。他の計算不可能な数も、周期ではない実数の例となる。また、周期ではない計算可能数の人工的な例を構築することも可能である。[ 8 ]しかし、周期ではないことが証明された計算可能数で、その目的で人工的に構築されていないものは存在しない。

1/ π、オイラー数e、オイラー・マスケローニ定数γは周期ではないと推測される。[ 2 ]

Kontsevich 氏と Zagier 氏は、これらの問題は非常に難しく、長い間解決されないままであると考えています。

拡張機能

周期環は1/πの要素を加えることで拡張周期 環へと広げることができる。[ 2 ]P^{\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}}

積分関数を代数関数と代数関数の指数関数の積とすると、指数関数周期という別の拡張が得られる。[ 2 ] [ 4 ] [ 9 ]これらも環を形成し、可算である。 Q{\displaystyle Q}EP{\displaystyle {\mathcal {E}}{\mathcal {P}}}Q¯⊂P⊆EP⊂C{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}\subset {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {EP}}\subset \mathbb {C} }

指数関数的周期として知られている数値には以下のものがある: [ 2 ] [ 4 ] [ 10 ]

番号 指数周期積分の例
任意の代数周期I∈P{\displaystyle I\in {\mathcal {P}}}
形式の数字 。eα{\displaystyle e^{\alpha }}α∈Q¯{\displaystyle \alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}}

特に、番号e{\displaystyle e}。

eα=∫−∞αexdx{\displaystyle e^{\alpha }=\int _{-\infty }^{\alpha }e^{x}\mathrm {d} x}
代数値 における関数および。 sin⁡(α){\displaystyle \sin(\alpha )}cos⁡(α){\displaystyle \cos(\alpha )}sin⁡(α)=12∫−ααeixdx{\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}\int _{-\alpha }^{\alpha }e^{ix}\mathrm {d} x}
代数値 における関数および。 sinh⁡(α){\displaystyle \sinh(\alpha )}cosh⁡(α){\displaystyle \cosh(\alpha )}sinh⁡(α)=12∫−ααexdx{\displaystyle \sinh(\alpha )={\frac {1}{2}}\int _{-\alpha }^{\alpha }e^{x}\mathrm {d} x}
ガンマ関数の有理値。 Γ(p/q){\displaystyle \Gamma (p/q)}p,q∈Z+{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ^{+}}

特に：。 π{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}

Γ(p/q)=∫0∞xpq−1e−xdx{\displaystyle \Gamma (p/q)=\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {p}{q}}-1}e^{-x}\mathrm {d} x}
オイラー定数 と二ガンマ関数の正の有理値。[ 11 ]γ{\displaystyle \gamma }ψ0(p/q){\displaystyle \psi _{0}(p/q)}γ=−∫0∞∫1ye−yx dxdy{\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{y}{\frac {e^{-y}}{x}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y}
指数積分とゴンペルツ定数 の代数値。 δ{\displaystyle \delta }δ=∫0∞11+xe−xdx{\displaystyle \delta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{1+x}}e^{-x}\mathrm {d} x}
いくつかの三角積分の代数値。 Si(α)=∫0α∫−yyeix2ydxdy{\displaystyle {\text{Si}}(\alpha )=\int _{0}^{\alpha }\int _{-y}^{y}{\frac {e^{ix}}{2y}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
ベッセル関数の特定の値。 [ 2 ]
指数周期の合計と積。

参照

自然数（ℕ）、整数（ℤ）、有理数（ℚ）、実数（ℝ）、複素数（ℂ）間の包含関係

参考文献

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W. 「Algebraic Period」 . mathworld.wolfram.com . 2024年9月21日閲覧。
  2. ^ a b c d e f g h i j Kontsevich, Maxim ; Zagier, Don (2001). "Periods" (PDF) . Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (eds.). Mathematics unlimited—2001 and beyond . Berlin, New York: Springer . pp.  771– 808. ISBN 9783540669135. MR  1852188 .
  3. ^ Marcolli, Matilde (2009-07-02). 「ファインマン積分と動機」. arXiv : 0907.0321 [ math-ph ].
  4. ^ a b c d Lagarias, Jeffrey C. (2013-07-19). 「オイラー定数：オイラーの研究と現代の発展」アメリカ数学会報. 50 (4): 527– 628. arXiv : 1303.1856 . doi : 10.1090/S0273-0979-2013-01423-X . ISSN 0273-0979 . 
  5. ^ Müller-Stach, Stefan (2014-07-09),期間とは何か？ , arXiv : 1407.2388
  6. ^テント、カトリン；ジーグラー、マーティン (2010). 「実数の計算可能関数」(PDF) .ミュンスター数学ジャーナル. 3 : 43–66 .
  7. ^ Waldschmidt, Michel (2006). 「周期の超越：最先端技術」 .純粋応用数学季刊誌. 2 (2): 435– 463. doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 .
  8. ^吉永 正彦 (2008-05-03). 「周期と基本実数」. arXiv : 0805.0349 [ math.AG ].
  9. ^ Commelin, Johan; Habegger, Philipp; Huber, Annette (2022-03-30). 「指数関数的周期とo-最小性」. arXiv : 2007.08280 [ math.NT ].
  10. ^ Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003). 「周期とイグサ局所ゼータ関数」 . International Mathematics Research Notices . 2003 (49): 2655. doi : 10.1155/S107379280313142X . 2024年9月21日閲覧。
  11. ^正のz に対する次の積分表現と 1 の指数周期積分を使用するとすべての正の有理数ディガンマ値は 2 つの指数周期積分の合計として得られます。ψ(z)=−γ+∫01(1−tz−11−t)dt{\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z-1}}{1-t}}\right)\,dt}γ{\displaystyle \gamma }
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