ギーゼキング多様体

数学において、ギーゼキング多様体は、有限体積の尖端を持つ3次元双曲型多様体である。向き付け不可能であり、非コンパクト双曲型多様体の中で最小の体積を持ち、体積は約 である。これはヒューゴ・ギーゼキング（ 1912年）によって発見された。 ${\displaystyle V\approx 1.0149416}$

ギーゼキング多様体は、四面体から頂点を削除し、アフィン線形写像を使用して面をペアで接着することで構築できます。頂点に 0、1、2、3 のラベルを付けます。頂点 0、1、2 の面を、頂点 3、1、0 の面にこの順序で接着します。面 0、2、3 を面 3、2、1 にこの順序で接着します。ギーゼキング多様体の双曲構造では、この理想的な四面体は、David BA Epsteinと Robert C. Penner による標準的な多面体分解です。さらに、面のなす角は です。三角形分割には、1 つの四面体、2 つの面、1 つの辺があり、頂点はないため、元の四面体の辺はすべて接着されています。 ${\displaystyle \pi /3}$

ギーゼキング多様体は、8の字結び目補集合に同相な二重被覆 を持つ。基底コンパクト多様体はクラインの壺境界を持ち、ギーゼキング多様体の 第一ホモロジー群は整数群である。

ギーゼキング多様体は、ファイバーが一度穴を開けられたトーラスであり、モノドロミーが与えられる円上のファイバー束です。 この写像の正方形はアーノルドの猫写像であり、これはギーゼキング多様体が 8 の字結び目の補集合によって二重に覆われていることを別の方法で示すものです。 ${\displaystyle (x,y)\to (x+y,x).}$

ギーゼキング定数

ギーゼキング多様体の体積はギーゼキング定数^{[ 1 ]}と呼ばれ、おおよそ次の数値を持ちます。

${\displaystyle V=1.01494\ 16064\ 09653\ 62502\ 12025\dots }$ ^{[ 2 ]}

これはクラウゼン関数の閉じた形式^{[ 3 ]}で次のように表すことができます。 ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left(\varphi \right)}$

${\displaystyle V=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)}$

これはカタラン定数 に似ており、これも体積として現れ、クラウゼン関数で表現できます。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0.91596559\dots }$

ディリクレL関数の特殊値に関する関連表現は、次の恒等式で 表される。

${\displaystyle V={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot L(2,\chi _{-3})={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+1)^{2}}}-{\frac {1}{(3k+2)^{2}}}\right)}$

一方、カタラン定数は${\displaystyle L(2,\chi _{-4})}$

別の閉じた形式の表現は、三ガンマ関数を使って表すことができます。

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {3}}{3}}\left({\frac {\psi _{1}(1/3)}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\right)}$

ギーゼキング定数の積分は次のように与えられる。

${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi /3}\ln \left(2\cos \left({\tfrac {1}{2}}x\right)\right)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle V=2\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)}{\sqrt {(1-x)(3+x)}}}\mathrm {d} x}$

^{これらはクラウゼン関数と[ 4 ]}を通じて定義から導かれる。

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {3}}{2}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}{xyz(x+y+z+{\tfrac) {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}})^{2}}}}$

さらに次の表現もあります。

${\displaystyle V={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+1)^{2}}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+2)^{2}}}\right)}$

これにより、次のようになります。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+1)^{2}}}={\frac {2\pi ^{2}}{27}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}V}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+2)^{2}}}={\frac {2\pi ^{2}}{27}}-{\frac {2{\sqrt {3}}}{9}}V}$

これは次のようになります:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(4k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{16}}+{\frac {1}{2}}G}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(4k+3)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {1}{2}}G}$

カタラン定数 の場合。 ${\displaystyle G}$

2024年、フランク・カレガリ、ヴェセリン・ディミトロフ、ユンチン・タンは、 が有理数上で線型独立であることを証明した。これは、が無理数であることと、トリガンマ関数の特殊値であることを証明している。それ自身の無理数性は依然として未解決である。^{[ 5 ]}${\displaystyle 1,\pi ^{2},L(2,\chi _{-3})}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}\cdot V}$ ${\displaystyle \psi _{1}(1/6)、\psi _{1}(1/3)、\psi _{1}(2/3)、\psi _{1}(5/6)}$ ${\displaystyle V}$

参照

• 数学定数のリスト
• カタルーニャの定数

参考文献

1. フィンチ、スティーブン・R. (2003-08-18).数学定数. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-81805-6。
2. 「ギーゼキング定数 - A143298 - OEIS」 . oeis.org . 2024年9月24日閲覧。
3. Weisstein, Eric W. 「ギーゼキング定数」 . mathworld.wolfram.com . 2024年9月24日閲覧。
4. Bailey, DH; Borwein, JM; Crandall, RE (2006-09-19). 「イジングクラスの積分」 . Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (40): 12271– 12302. Bibcode : 2006JPhA...39..001B . doi : 10.1088/0305-4470/39/40/001 . hdl : 1959.13/803609 . ISSN 0305-4470 . OSTI 901224 .  
5. ζ (2), およびL (2,χ _{-3} )の線形独立性」. arXiv : 2408.15403 [ math.NT ].

• Gieseking、Hugo (1912)、Analytische Untersuhungen uber Topologische Gruppen、論文、ミュンスター、JFM  43.0202.03
• アダムス、コリン・C. (1987)、「極小体積の非コンパクト双曲型3次元多様体」、アメリカ数学会誌、100 (4): 601– 606、doi : 10.2307/2046691、ISSN  0002-9939、JSTOR  2046691、MR  0894423
• エプスタイン, デイビッド BA ; ペナー, ロバート C. (1988). 「非コンパクト双曲多様体のユークリッド分解」 .微分幾何学ジャーナル. 27 (1): 67– 80. doi : 10.4310/jdg/1214441650 . MR  0918457 .