量子誤り訂正

量子誤り訂正（QEC）は、量子メモリや量子コンピューティングにおいて、デコヒーレンスやその他の量子ノイズ源に起因する誤りから量子情報を保護するために使用される一連の技術です。一連の交換演算子によって安定化された符号語を用いるQEC方式は安定化符号と呼ばれ、対応する符号語は量子誤り訂正符号（QECC）と呼ばれます。

概要

QEC の用語の多くは、その古典的な対応物である古典的な誤り訂正コードに由来しています。古典的な符号化理論では、コードは一般にという表記で表され、これは論理ビットをコード距離で物理ビットに符号化することを表します。つまり、すべての論理演算には少なくとも d ビットの反転が必要です。同様に、k 個の論理量子ビットをコード距離 d で n 個の物理量子ビットに符号化する量子コードはと表されます。この量子ビット間の符号化が最も一般的な設定ですが、量子情報の物理的な実装には 3 つ以上のエネルギーレベルを持つシステムが関与する可能性があるため、量子ビットと発振器の間、または発振器自体の間の符号化など、他のバリエーションも存在します。 $[n,k,d]$ $k$ $n$ $d$ $[[n,k,d]]$

パラメータに基づいて、QECC の主要な性能指数であるコードレートを定義できます。これは比率で与えられます。コードレートはコードの効率性を測定します。値が高いほど、リソースオーバーヘッドが低くなります。これは通常、コード距離 d に依存します。理想的な QECC は、大きな距離と高いコードレートを同時に実現します。さらに、必要な安定化測定の数はに等しいため、レートの低いコードではより複雑な測定回路が必要になります。したがって、十分な距離を維持しながらコードレートを向上させるように QECC 設計を最適化することは、理論的にも実験的にも QEC の中心的な目的です。逆に、とが固定されている場合 (多くの場合小さい)、コードレートを上げるとリソース要件が軽減されるため、このようなコードは小規模またはリソースが限られた実験的実装に特に適しています。 $[[n,k,d]]$ ${\tfrac {k}{n}}$ $r=n-k$ $k$ $d$

シナリオ依存の目標を検討する前に、QEC スキームは基本的に次の 3 つの段階で構成されます。

論理情報を物理的なキャリアにエンコードし、
符号化された情報を空間チャネルまたは時間チャネル（それぞれ通信またはメモリに対応）を介して送信または保存し、
エラーを識別して修正するためのシンドローム抽出と回復(デコード)。

QECCは、発生する可能性のあるエラーの種類に関する特定の仮定に基づいて構築され、それらを訂正できなければなりません。測定対象となる安定化装置は、論理情報ではなくエラー自体に関する情報のみを明らかにするように慎重に選択されます。そうしないと、測定によってこの論理量子ビットと量子コンピュータ内の他の量子ビットとの量子重ね合わせが破壊され、量子情報の伝達に使用できなくなります。ほとんどのQECCでは、エラーの種類はビット反転、位相反転、またはその両方です（パウリ行列、、およびに対応）。 $X$ $Y$ $Z$

符号化と復号化には様々な戦略があり、その中には測定されたエラーシンドロームを対応する回復操作にマッピングする古典的なアルゴリズムも含まれます。適用される量子ゲートのシーケンスも最適化可能です。これは、マルチ量子ビットゲートは一般的にシングル量子ビットゲートよりも実装が困難であるためです。さらに、考えられるシンドロームの総数はであり、単純なルックアップテーブルアプローチでは法外に大きくなる可能性があります。したがって、コード構造が十分に単純な場合を除き、効率的な古典的な復号化アルゴリズムが一般的に必要となります。^[1] $2^{n-k}$

量子メモリではチャネル誘起エラーが主な懸念事項であるのに対し、量子計算では量子ゲートを頻繁に適用するため、フォールトトレランス設計が必須となる。量子ビットベースのプラットフォーム上に実装されたQECCの場合、フォールトトレランスは不完全な量子ゲート、誤った状態準備、そして測定エラーも考慮に入れる。一方、情報を発振器にエンコードするQECCでは、「フォールトトレランス」という用語は通常の量子エラー訂正と互換的に用いられることがあり、特別な意味を持つことはない。^[2]

エラーの種類

量子システムで発生するエラーの種類は、デバイスに依存しない仮定ではなく、基礎となる物理プラットフォームに強く依存します。たとえば、量子ビットが能動的制御下にある場合でも、非ゼロのアインシュタイン係数によって環境と結合したままになります。環境が真空状態まで冷却されると、この結合によって振幅減衰エラー(または励起損失) が発生します。これは、システムが熱平衡に向かって緩和する傾向を反映し、緩和時間によって特徴付けられます。さらに、孤立した量子ビットでも、その内部ダイナミクスに対応する固有のハミルトニアンを持っているため、コヒーレントエラーが発生します。振幅減衰とコヒーレント進化は一緒になって、ほとんどの量子ビット実装における主要なノイズプロセスの 1 つである位相ずれに寄与します。

前述のように、ほとんどの QECC では、支配的なエラーはビット反転、位相反転、またはその両方の組み合わせ（パウリ演算子に対応）であると想定しています。このフレームワークの暗黙の想定は、一般的な物理的エラーはパウリ群の要素として近似できることです。このモデルでは、各量子ビットのエラーは 2 つの古典的なビットで表すことができます (00: エラーなし、01: 、10: 、11: )。したがって、n 量子ビットシステムのエラーは長さ 2n のバイナリ文字列で記述でき、適切な制約の下で古典的なエラー訂正手法を適用できます。この近似は現実的なノイズプロセスをすべて取り込むわけではありませんが、理論分析とコード設計の両方を大幅に簡素化するため、広く使用されています。 $Z$ $X$ $Y$

より一般的なQECスキーム

QECCは、あらゆる量子符号を網羅しているわけではありません。これらは、安定化形式論で定義される加法符号のクラスに属します。より一般的なクラスである非加法符号^[3]は、この枠組みを超えています。例えば、符号[ ^4]は、2量子ビット以上を、符号距離2の5つの物理量子ビットに符号化します。非加法符号は原理的には加法符号よりも高い符号化率を実現できますが、その構築と解析ははるかに困難です。そのため、非加法符号は比較的未開拓であり、現在まで限られた研究しか行われていません。 $[[n,k,d]]$ $((5,6,2))$ $(\log _{2}6\approx 2.585)$

量子ビットを量子ビットにエンコードするだけでなく、量子情報は、 -レベルシステム（キューディット）や無限次元振動子といったより一般的な物理システムに保存することもできます。より小さな論理システムをより大きな物理ヒルベルト空間にエンコードすることは、活発な研究分野です。 $d$

重要なコードファミリー

ピーター・ショアにちなんで名付けられた最初の QECC は、コード距離を増やす代わりにコードレートを下げるコードとして一般化できます。その設計哲学では、内部および外部の繰り返しコードを使用して、ビット反転エラーと位相反転エラーを独立して修正します。対照的に、アンドリュー・スティーンは、繰り返しコードを古典的なハミングコードに置き換え、内部レイヤーと外部レイヤーを区別せずにビット反転エラーと位相反転エラーを対称的に処理することで、コードレートを改善しました。スティーンのアプローチは、量子ハミングコードとして一般化できます。^{[10]これらのアプローチの一般化により、}ロバート・カルダーバンク、ピーター・ショア、アンドリュー・スティーンにちなんで名付けられたCSS コードが開発されました。CSS コードの構造は、と安定化装置が明確に分離されているため、フォールトトレラントシンドロームの測定に特に適しています。 $[[d^{2},1,d]]$ $[d,1,d]$ $[7,4]$ $[[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]$ $X$ $Z$

ショア符号は符号距離を重視し、スティーン符号は符号率を重視しますが、これらのパラメータのバランスをとるために他のCSS符号を構成することもできます。例えば、重複繰り返し符号^[11]^[12]^[1]を用いることで、CSS符号の性能を向上させることができ、ショア型符号が示されています。さらに、このショア型符号は、シンドローム測定を最適化する可能性のある、 ベーコン・ショア符号^[13]などのサブシステム符号として修正することができます。 $[[7,1,3]]$

量子閾値定理は、任意の長さの量子計算が可能であることを示しています。これは、個々の量子ゲートのエラー率が特定の閾値以下であれば、CSSコードなどの量子コードを対数的に多くのレベルに再帰的に連結することでエラーを訂正できると述べています。この閾値を超えると、シンドロームを測定してエラーを訂正しようとすると、除去するよりも多くのエラーが導入されてしまいます。^[14] 2004年時点では、十分に大きな数のキュービットが利用できると仮定した場合、この閾値は1～3%にも達すると推定されています。 ^[15]単一の論理キュービットを単一エラー訂正でエンコードするためのより高いコードレートを実現するために、Raymond Laflammeらは、と演算子を混合する4つのスタビライザーを使用する5キュービットコードを発見しました。よく知られている変種では、4つの巡回スタビライザーを使用しています。このコードは明らかにCSSコードではありませんが、DiVincenzoとShorは、それでもフォールトトレラントにできることを実証しました。^[14] 5量子ビット符号は、1つの論理量子ビットを任意の1量子ビットエラーから保護できる最小の符号です。量子ハミング限界によれば、1つの論理量子ビットを任意の1量子ビットエラーを訂正する能力で符号化するには、少なくとも5つの物理量子ビットが必要です。 $X$ $Z$ $XZZXI$

位相的QECCは、符号化理論に基づく設計に加え、特に視覚化が直感的で、局所的な安定化測定の明確なレイアウトを提供できるため、実験的にも容易です。アレクセイ・キタエフは境界のないトーリック符号を導入し、後に境界のある表面符号に適応させ、非局所的な測定を回避する2次元平面レイアウトを実現しました。^[16]表面符号は、2025年のスケーラブルな量子誤り訂正において極めて重要であり、超伝導システムにおいて、閾値以下の論理量子ビットの忠実度を向上させることができます。^[17]

2準位系とは異なり、量子調和振動子は単一の物理系内に無限のエネルギー準位を有します。これらの符号は、複数の2準位量子ビットを用いて符号化するのではなく、単一の振動子に内在する冗長性を活用します。

キャットコードとGKPコードは純粋にボソンコードであり、直接的な量子ビットの対応はありませんが、（拡張）二項コード^[23]は（高レート）ショアコード^[12]と密接に関連しています。基本的な考え方は、各内部繰り返しコード内のグループ化された量子ビットを同一の粒子として扱い、それらをフォック基底内の単一のボソンモードにマッピングすることで、量子ビットコードをボソンコードにリンクすることです。

その他のコードファミリー

定常励起コード^[24]は、受信機が動いているときなど、未知の保存期間または伝送期間中に物理量子ビットの固有ハミルトニアンから生じる集団コヒーレントエラーから保護するように設計されています。
Todd Brunらによって構築されたエンタングルメント支援スタビライザー形式は、送信者と受信者の間で共有される量子エンタングルメントを組み込んだ標準スタビライザー形式の拡張です
Eric Rains ^[25]とJohn Smolinら^[26]は、従来の非加法符号を距離2以上のケースに一般化しました。Yuら^[27]^[28]はさらに符号距離を3に改善しました。
能らは補助的なGKP状態を用いて単一の発振器を保護するQEC方式を提案した。^[29]

実験的実現

CSSベースのコードは、これまでにいくつかの実験的実現例がある。最初の実証は核磁気共鳴量子ビットを用いたものであった^[30]。その後、線形光学^{[31] 、トラップイオン}^[32 ] 、^[33]、超伝導（トランスモン）量子ビット^[34]を用いた実証が行われた。

2016年に初めてQECコードの使用により量子ビットの寿命が延長された。^[35]
- エラー訂正の実証は、超伝導共振器に符号化されたシュレーディンガーの猫状態に対して行われ、量子情報の読み出し、解析、そして検出されたエラーの訂正を含むリアルタイムフィードバック操作を実行できる量子コントローラが用いられました。この研究は、量子エラー訂正システムが、論理量子ビットの寿命がシステムの基盤となる構成要素（物理量子ビット）の寿命を超える損益分岐点にどのように到達するかを実証しました。
- 光子量子ビット方式における主要なエラー源である光子損失を補正することを目的としたエラー訂正コードなど、他のエラー訂正コードも実装されています。^[36]^[37]
2021年には、トポロジカル量子誤り訂正符号で符号化された2つの論理量子ビット間のエンタングルメントゲートが、トラップイオン量子コンピュータ内の10個のイオンを使用して初めて実現されました。^[38]^[39]
2021年には、トラップイオンシステムの単一論理量子ビットにおけるフォールトトレラントなベーコン・ショア符号の初の実験的実証も行われました。つまり、誤り訂正を追加することで、フォールトトレラントなスティーン符号と誤り訂正を実装するために必要なオーバーヘッドによって発生するエラーよりも多くのエラーを抑制できることが実証されました。^[40]^[41]^[42]
- 別の方向では、キタエフ連鎖のジョーダン・ウィグナー写像マヨラナ零モードに対応する符号化を使用して、研究者は論理量子ビットの量子テレポーテーションを実行することができ、忠実度が71％から85％に向上することが観測されました。^[43]
2022年、インスブルック大学の研究者らは、トラップイオン量子コンピューター内の2つの論理量子ビット上でフォールトトレラントなユニバーサルゲートセットを実証しました。
- 彼らは、7量子ビットカラーコードの2つのインスタンス間で論理2量子ビット制御NOTゲートを実行し、フォールトトレラントな論理マジック状態を準備しました。^[44]
2022年、ラホール工科大学の研究では、超伝導量子回路の戦略的に選ばれた場所に単一量子ビットのZ軸回転ゲートを挿入することでエラーキャンセルを実現できることが実証された。^[45]
- この方式は、コヒーレントノイズの建設的干渉下では急速に蓄積されてしまうエラーを効果的に訂正できることが示されています。これは、デコヒーレンス曲線の偏差（例えば、急激なディップやノッチ）をトレースしてコヒーレントエラーを検出・特定する回路レベルのキャリブレーション方式であり、符号化やパリティ測定を必要としません。^[46]しかし、この方法がインコヒーレントノイズに対して有効であるかどうかを確立するには、さらなる調査が必要です。
2023年2月、Googleの研究者たちは、実験で量子ビット数を増やすことで量子エラーが減少したと主張しました。彼らはフォールトトレラント表面コードを使用し、距離3の量子ビットアレイと距離5の量子ビットアレイでそれぞれ3.028%と2.914%のエラー率を測定しました。^[47]^[48]^[49]
2024年4月、マイクロソフトの研究者は、論理量子ビットのエラー率を物理エラー率の800倍に向上させることが可能な量子エラー訂正コードのテストに成功したと主張した。^[50]
- この量子ビット仮想化システムは、Quantinuum社のトラップイオンハードウェア上の32個の量子ビットのうち30個を用いて4個の論理量子ビットを作成するために使用されました。このシステムは、アクティブシンドローム抽出技術を用いて、計算中に論理量子ビットを破壊することなくエラーを診断・修正します。^[51]
2025年1月、ニューサウスウェールズ大学シドニー校の研究者たちは、アンチモン化物を含むアンチモン系材料を用いて、最大8つの状態を持つ高次元量子状態（キューディット）を活用した誤り訂正法の開発に成功した。シリコンに埋め込まれたリン原子の核スピンに量子情報をエンコードし、高度なパルス制御技術を用いることで、誤り耐性の向上を実証した。^[52]

バイアス量子コードとしての古典コード

冗長性を用いた古典的な誤り訂正符号は、パウリX（ビット反転）またはパウリZ（位相反転）誤りを訂正するバイアス付き量子符号にマッピングできます。最も単純ですが非効率的な例は、繰り返し符号です。繰り返し符号では、論理情報はビットの複数のコピーとして保存されます。これらのコピーが後でエラーによって一致しないことが判明した場合、多数決によって最も可能性の高い元の値が推定されます。

例えば、「1」状態の論理ビットを3回コピーしたとします。ノイズによって3ビットのうち1ビットが破損し、他の2ビットは変化しない場合、最も可能性の高いシナリオは、1ビットエラーが発生し、元の論理値は「1」であったというものです。2ビットが反転して3つの0が生成される可能性はありますが、その可能性は低くなります。この例では、論理情報は1ビットであり、3つのコピーが物理的な表現です。

古典通信路では、古典ビットは自由に測定・複製できるため、繰り返し符号は機能します。しかし、量子通信路では複製禁止定理により未知の量子ビットのコピーが阻止されるため、量子誤り訂正の障害となるように見えます。この課題は、単一量子ビットの論理情報を複数の物理量子ビットの高度にエンタングルされた状態に符号化することで克服されます。例えば、1985年にアッシャー・ペレスによって初めて提案された3量子ビットビット反転符号^[53]は、エンタングルメントとシンドローム測定を用いて、古典繰り返し符号と同様の方法で誤りを訂正します。位相反転符号も同様に構成され、横断アダマールゲートを除けばビット反転符号と同等です。

ビット反転コード

ノイズのある通信路を通して単一量子ビットの状態を伝送したい状況を考えてみましょう。さらに、この通信路は量子ビットの状態を確率で反転させるか、あるいは変化させないと仮定します。したがって、一般的な入力に対するの作用はと表すことができます。 $\vert \psi \rangle$ ${\mathcal {E}}$ $p$ ${\mathcal {E}}$ $\rho$ ${\mathcal {E}}(\rho )=(1-p)\rho +p\cdot X\rho X$

が送信される量子状態であるとします。エラー訂正プロトコルがない場合、送信される状態は確率で正しく送信されます。ただし、状態をより多くの量子ビットにエンコードすることで、対応する論理量子ビットのエラーを検出して訂正できるようにすることで、この数値を向上させることができます。単純な 3 量子ビット繰り返しコードの場合、エンコードはマッピングとで構成されます。入力状態は状態にエンコードされます。このマッピングは、たとえば 2 つの CNOT ゲートを使用して、システムを状態で初期化された2 つの補助量子ビットとエンタングルメントさせることで実現できます。^[54]エンコードされた状態が、ノイズの多いチャネルを通過するものです。 $|\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle$ $1-p$ $\vert 0\rangle \rightarrow \vert 0_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 000\rangle$ $\vert 1\rangle \rightarrow \vert 1_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 111\rangle$ $\vert \psi \rangle$ $\vert \psi '\rangle =\alpha _{0}\vert 000\rangle +\alpha _{1}\vert 111\rangle$ $\vert 0\rangle$ $\vert \psi '\rangle$

通信路は、その量子ビットの一部（空の可能性もある）を反転させることでに作用します。どの量子ビットも反転しない確率、1つの量子ビットが反転する確率、2つの量子ビットが反転する確率、3つの量子ビットすべてが反転する確率です。ここで、通信路に関するさらなる仮定が立てられていることに注意してください。つまり、は、状態が現在エンコードされている3つの量子ビットそれぞれに、等しく独立して作用すると仮定します。ここでの問題は、伝送された状態を損なわずに、このようなエラーをどのように検出し、修正するかです。 $\vert \psi '\rangle$ $(1-p)^{3}$ $3p(1-p)^{2}$ $3p^{2}(1-p)$ $p^{3}$ ${\mathcal {E}}$

{\displaystyle p\leq 1/2} — 3量子ビットのビット反転符号による誤り訂正あり（赤）となし（青）の出力最小忠実度の比較。の場合、誤り訂正方式によって忠実度が向上することに注目してください。 $p\leq 1/2$

簡単にするために、が十分に小さく、複数の量子ビットが反転する確率が無視できると仮定しましょう。すると、送信される値を問い合わせることなく、量子ビットの 1 つが他の量子ビットと異なるかどうかを尋ねることで、量子ビットが反転されたかどうかを検出できます。これは、次の 4 つの射影測定に対応する 4 つの異なる結果で測定を実行することに相当します。これにより、どの量子ビットが他と異なるかが明らかになりますが、同時に量子ビット自体の状態に関する情報は提供されません。に対応する結果が得られた場合、補正は適用されませんが、に対応する結果が観測された場合、パウリXゲートが番目の量子ビットに適用されます。正式には、この補正手順は、次のマップをチャネルの出力に適用することに対応します。この手順では、チャネルによって 0 回または 1 回の反転が導入された場合は出力が完全に補正されますが、複数の量子ビットが反転した場合は出力が適切に補正されないことに注意してください。たとえば、最初と 2 番目の量子ビットが反転した場合、シンドローム測定の結果はとなり、最初の 2 つではなく 3 番目の量子ビットが反転します。一般的な入力に対するこのエラー訂正方式のパフォーマンスを評価するには、入力と出力の間の忠実度を調べることができます。出力状態が正しいのは、反転した量子ビットが 1 つだけの場合 (確率で発生)なので、これをと記述できます。ここで、ドットは、プロトコルによって適切に訂正されなかったエラーから生じるの要素を示します。したがって、となります。この忠実度は、前にに等しいことが示された、エラー訂正プロトコルを使用しない場合に得られる対応する忠実度と比較されます。少し代数的に、の場合、エラー訂正後の忠実度は、ない場合の忠実度よりも大きいことがわかります。これは、プロトコルを導出する際に行われた作業上の仮定 (十分に小さい) と一致していることに注意してください。 $p$ ${\begin{aligned}P_{0}&=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|,\\P_{1}&=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|,\\P_{2}&=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|,\\P_{3}&=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|.\end{aligned}}$ $P_{0}$ $P_{i}$ $i$ ${\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }(\rho )=P_{0}\rho P_{0}+\sum _{i=1}^{3}X_{i}P_{i}\rho \,P_{i}X_{i}.$ $P_{3}$ $F(\psi ')$ $\vert \psi '\rangle$ $\rho _{\operatorname {out} }\equiv {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }({\mathcal {E}}(\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert ))$ $\rho _{\operatorname {out} }$ $(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}$ $[(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}]\,\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert +(...)$ $\rho _{\operatorname {out} }$ $F(\psi ')=\langle \psi '\vert \rho _{\operatorname {out} }\vert \psi '\rangle \geq (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}=1-3p^{2}+2p^{3}.$ ${1-p}$ $p<1/2$ $p$

サインフリップコード

古典コンピュータでは、ビット反転は唯一のエラーの種類です。しかし、量子コンピュータでは、別の種類のエラー、つまり符号反転が発生する可能性があります。チャネルを伝送することで、と間の相対的な符号が反転する可能性があります。例えば、状態にある量子ビットの符号が反転し、 $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}$ $|+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}.$

量子ビットの元の状態は、次の状態に変更されます。 $|\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle$ $|\psi '\rangle =\alpha _{0}|{+}{+}{+}\rangle +\alpha _{1}|{-}{-}{-}\rangle .$

アダマール基底では、ビット反転は符号反転となり、符号反転はビット反転となる。を最大1回の位相反転を引き起こす量子通信路とする。すると、上記のビット反転符号は、を透過する前後にアダマール基底に変換することで復元できる。 $E_{\text{phase}}$ $|\psi \rangle$ $E_{\text{phase}}$

論理量子ビットを物理量子ビットにエンコードする

ショートコード

エラーチャネルは、ビット反転、符号反転（すなわち位相反転）、あるいはその両方を引き起こす可能性があります。適切に設計されたQECコードを用いることで、論理量子ビット上の両方のタイプのエラーを訂正することが可能です。これを実現するコードの一例として、1995年に発表されたショアコードが挙げられます。^[55]^[56]^{: 10}これら2種類のエラーは射影測定後に発生する可能性のある唯一のエラーであるため、ショアコードは任意の単一量子ビットエラーを訂正します。

任意の1量子ビットを破壊できる量子チャネルをとする。1番目、4番目、7番目の量子ビットは符号反転コード用であり、3つの量子ビット群(1,2,3)、(4,5,6)、(7,8,9)はビット反転コード用に設計されている。ショアコードでは、量子ビットの状態は9量子ビットの積に変換される。ここで $E$ $|\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle$ $|\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle$ $|0_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )$ $|1_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )$

量子ビットにビット反転エラーが発生した場合、量子ビット (1,2,3)、(4,5,6)、(7,8,9) の各ブロックに対してシンドローム解析が実行され、各ブロックで最大 1 つのビット反転エラーが検出され、修正されます。

3ビット反転グループ(1,2,3)、(4,5,6)、(7,8,9)を3つの入力と見なすと、ショア符号回路は符号反転符号として簡約できます。つまり、ショア符号は1量子ビットの符号反転エラーも修復できます。

ショア符号は、単一量子ビットに対する任意のエラー（ビット反転と符号反転の両方）を訂正することもできます。エラーが量子ビットに作用するユニタリ変換 U でモデル化される場合、は次のように記述できます。ここで、、、は複素定数、 I は恒等行列、パウリ行列は次のように与えられます。 $|\psi \rangle$ $U$ $U=c_{0}I+c_{1}X+c_{2}Y+c_{3}Z$ $c_{0}$ $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ ${\begin{aligned}X&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\\Y&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}};\\Z&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

UがIと等しい場合、エラーは発生しません。の場合、ビット反転エラーが発生します。の場合、符号反転エラーが発生します。の場合、ビット反転エラーと符号反転エラーの両方が発生します。言い換えれば、ショア符号は単一量子ビット上のビットエラーまたは位相エラーの任意の組み合わせを訂正できます。 $U=X$ $U=Z$ $U=iY$

より一般的には、誤差演算子Uはユニタリである必要はなく、環境と相互作用するシステムを表す量子演算からのクラウス演算子にすることができます。

応用

量子計測学では

量子誤り訂正は量子計測にも応用できる。論理量子ビットは複数の物理量子ビットに格納される。線形干渉計の場合、論理量子ビット間の相互作用は発生しない。しかし、そのダイナミクスは、論理量子ビットに対応する物理量子ビットのマルチ量子ビット相関演算子を含む演算子によって与えられる。この方式では、量子誤り訂正の一般規則に従って誤りを検出し、訂正することができる。^[57]^[58]

別のアプローチでは、量子状態を修正することではなく、ノイズが存在する場合でも高精度の量子計測を可能にする状態を維持することが目標です。量子計測において分離可能な状態よりも性能が優れていない量子状態も、多重コピーの場合は分離可能な状態よりも優れていることが観察されており、そのため、それらの計測能力を活性化することができます。^[59] したがって、各論理量子ビットを複数の物理量子ビットに保存する代わりに、量子状態全体の複数のコピーを保存します。例えば、空間に存在する -量子ビットの量子状態を考えてみましょう。 $N$ $\varrho$

$\{|0\rangle ^{\otimes N},|1\rangle ^{\otimes N}\}.$

この部分空間にはノイズの多い量子状態が含まれる

$p|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \langle {\rm {GHZ}}_{N}|+(1-p){\frac {(|0\rangle \langle 0|)^{\otimes N}+(|1\rangle \langle 1|)^{\otimes N}}{2}},$

ここで、グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー（GHZ）状態は次のように与えられる。

$|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}).$

国家のコピーを考えてみましょう $M$

$\varrho _{M{\text{-copy}}}=\varrho ^{\otimes M}.$

そして、次のハミルトニアン

$H=\sum _{n=1}^{N}\prod _{m=1}^{M}\sigma _{z}^{(n,m)}$

はコピー量子状態に作用する。ここで、はm番目のコピーのn番目の量子ビットのパウリスピン行列である。量子フィッシャー情報量によって特徴付けられる計量的有用性は、 $M$ $\sigma _{z}^{(n,m)}$ $\sigma _{z}$

$F_{Q}[\varrho ,H]$

コピー数とともに指数関数的に増加し、GHZ状態の計量的有用性に近づき、分離可能な状態は^{[60]に達する。} $M$ $4N^{2}.$ $4N.$

状態が上記のサブスペースの外側にある場合は、ビットフリップコードを使用した通常のエラー訂正手順でサブスペースに戻すことができます。

別の例では、この方式では誤り訂正を行わなくても位相誤差が抑制されていることがわかる。-量子ビットGHZ状態の3つのコピーを単一の位相と呼ぶことにする。 $N$

$|\Psi \rangle =|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ,$

そして、上記のハミルトニアンを考慮する。すると、状態の計量的有用性は量子フィッシャー情報量によって特徴付けられる。 $F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]$

量子ビットの1つが位相反転チャネルを通過した後の状態を次のように表す。この状態の計量的有用性は変化しないことがわかる。 $\varrho _{\rm {phaseflip}}.$

$F_{Q}[\varrho _{\rm {phaseflip}},H]=F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]$

そして、それは最大値を維持します。したがって、誤差補正ステップがない場合でも、計測特性は同じままです。（文献^[60]および文献^[61]の補足Eを参照）

参照

参考文献

^ ab Chang, En-Jui (2025-10-23), 4倍の漸近速度を達成するオーバーラップ繰り返しショートコード, arXiv, arXiv : 2510.21030 , doi :10.48550/arXiv.2510.21030, arXiv:2510.21030 , 2025-11-10取得
^ Cai, Weizhou; Ma, Yuwei (2021). 「超伝導量子回路におけるボソン量子誤り訂正符号」. Fundamental Research . 1 (1): 50– 67. arXiv : 2010.08699 . Bibcode :2021FunRe...1...50C. doi : 10.1016/j.fmre.2020.12.006 .したがって、大規模な回路深度が可能な実用的な量子コンピュータは、最終的には量子誤り訂正によって保護された論理量子ビットに対する演算を必要とする。
^ Calderbank, AR; Rains, EM; Shor, PW; Sloane, NJA「GF(4)上の符号による量子誤り訂正」IEEE国際情報理論シンポジウム論文集: 292–. arXiv : quant-ph/9608006 . doi :10.1109/ISIT.1997.613213.
^ Rains, Eric M.; Hardin, RH; Shor, Peter W.; Sloane, NJA (1997-08-04). 「非加法的な量子コード」. Physical Review Letters . 79 (5): 953– 954. arXiv : quant-ph/9703002 . doi :10.1103/PhysRevLett.79.953.
^ Shor, Peter W. (1995-10-01). 「量子コンピュータメモリにおけるデコヒーレンス低減手法」. Physical Review A. 52 ( 4): R2493 – R2496 . doi :10.1103/PhysRevA.52.R2493.
^ Steane, Andrew. 「多粒子干渉と量子エラー訂正」.ロンドン王立協会紀要. シリーズA: 数学・物理学・工学. 452 (1996): 2551– 2577. doi :10.1098/rspa.1996.0136.
^ Laflamme, Raymond; Miquel, Cesar; Paz, Juan Pablo; Zurek, Wojciech Hubert (1996-07-01). 「完全な量子誤り訂正符号」. Physical Review Letters . 77 (1): 198– 201. arXiv : quant-ph/9602019 . doi :10.1103/PhysRevLett.77.198. ISSN 0031-9007.
^ Kitaev, A Yu (1997-12-31). 「量子計算：アルゴリズムとエラー訂正」.ロシア数学概論. 52 (6): 1191– 1249. doi :10.1070/rm1997v052n06abeh002155. ISSN 0036-0279.
^ Bravyi, SB; Kitaev, A. Yu (1998-11-20), 境界付き格子上の量子コード, arXiv, doi :10.48550/arXiv.quant-ph/9811052, arXiv:quant-ph/9811052 , 2025-11-11取得
^ Steane, AM (1996-12-01). 「単純な量子誤り訂正符号」. Physical Review A. 54 ( 6): 4741– 4751. doi :10.1103/PhysRevA.54.4741.
^ Fletcher, Andrew S.; Shor, Peter W.; Win, Moe Z.「振幅減衰チャネルにおけるチャネル適応型量子誤り訂正」. IEEE Transactions on Information Theory . 54 (12): 5705– 5718. arXiv : 0710.1052 . doi :10.1109/TIT.2008.2006458. ISSN 1557-9654.
^ ab Chang, En-Jui; Lai, Ching-Yi (2025-05-05). 「集団コヒーレントエラーに対する耐性を持つ高レート振幅減衰ショア符号」. Physical Review A. 111 ( 5) 052602. arXiv : 2412.16450 . doi :10.1103/PhysRevA.111.052602.
^ ベーコン、デイブ (2006年1月30日). 「自己修正型量子メモリのための演算子量子エラー修正サブシステム」. Physical Review A. 73 ( 1) 012340. arXiv : quant-ph/0506023 . Bibcode :2006PhRvA..73a2340B. doi :10.1103/PhysRevA.73.012340. S2CID 118968017.
^ ab DiVincenzo, David P.; Shor, Peter W. (1996-10-07). 「効率的な量子符号によるフォールトトレラントな誤り訂正」. Physical Review Letters . 77 (15): 3260– 3263. doi :10.1103/PhysRevLett.77.3260.
^ Knill, Emanuel (2004-11-02). 「非常にノイズの多いデバイスを用いた量子コンピューティング」. Nature . 434 (7029): 39– 44. arXiv : quant-ph/0410199 . Bibcode :2005Natur.434...39K. doi :10.1038/nature03350. PMID 15744292. S2CID 4420858.
^ Fowler, Austin G.; Mariantoni, Matteo; Martinis, John M.; Cleland, Andrew N. (2012-09-18). 「表面コード：実用的な大規模量子計算に向けて」. Physical Review A. 86 ( 3) 032324. arXiv : 1208.0928 . Bibcode :2012PhRvA..86c2324F. doi :10.1103/PhysRevA.86.032324. ISSN 1050-2947.
^ アチャリヤ、ラジーブ;アバニン、ドミトリー A.アガババイエ・ベニ、ラレ。アレイナー、イゴール。アンデルセン、トロンド I.アンスマン、マルクス。アルテ、フランク。アリア、クナル。アスファウ、アブラハム。アストラハンツェフ、ニキータ。アタラヤ、フアン。バブシュ、ライアン。ベーコン、デイブ。バラード、ブライアン。バーディン、ジョセフ C. (2025 年 2 月)。「表面符号閾値未満の量子誤り訂正」。自然。638 (8052): 920–926。土井:10.1038/s41586-024-08449-y。ISSN 1476-4687。PMC 11864966。
^ Cochrane, PT; Milburn, GJ; Munro, WJ (1999-04-01). 「振幅減衰のボソンコードとしてのマクロ的に異なる量子重ね合わせ状態」. Physical Review A. 59 ( 4): 2631– 2634. arXiv : quant-ph/9809037 . Bibcode :1999PhRvA..59.2631C. doi :10.1103/PhysRevA.59.2631. S2CID 119532538.
^ Albert, Victor V; Mundhada, Shantanu O; Grimm, Alexander; Touzard, Steven; Devoret, Michel H; Jiang, Liang (2019-06-12). 「ペアキャット符号：低次非線形性を持つ自律的誤り訂正」.量子科学技術. 4 (3): 035007. doi :10.1088/2058-9565/ab1e69. ISSN 2058-9565.
^ Gottesman, Daniel; Kitaev, Alexei; Preskill, John (2001). 「発振器における量子ビットの符号化」. Physical Review A. 64 ( 1) 012310. arXiv : quant-ph/0008040 . Bibcode :2001PhRvA..64a2310G. doi :10.1103/PhysRevA.64.012310. S2CID 18995200.
^ Royer, Baptiste; Singh, Shraddha; Girvin, SM (2022-03-07). 「マルチモードグリッド状態における量子ビットのエンコード」. PRX Quantum . 3 (1) 010335. doi :10.1103/PRXQuantum.3.010335.
^ Michael, Marios H.; Silveri, Matti; Brierley, R. T.; Albert, Victor V.; Salmilehto, Juha; Jiang, Liang; Girvin, S. M. (2016-07-14). 「ボソンモードのための新しいクラスの量子誤り訂正符号」. Physical Review X . 6 (3) 031006. arXiv : 1602.00008 . doi :10.1103/PhysRevX.6.031006.
^ ab Chang, En-Jui (2025-09-09). 「マルチ量子ビット符号化のための高レート拡張二項式符号」. Physical Review A. 112 ( 3): 032419. arXiv : 2501.07093 . doi :10.1103/hwfz-c6vy.
^ Chang, En-Jui (2025-11-05). 「集団コヒーレントエラーの影響を受けない量子双対拡張ハミング符号」. Physical Review A. 112 ( 5): 052410. arXiv : 2503.05249 . doi :10.1103/qzd2-b2mx.
^ Rains, EM「最小距離2の量子符号」IEEE Transactions on Information Theory . 45 (1): 266– 271. arXiv : quant-ph/9704043 . doi :10.1109/18.746807. ISSN 1557-9654.
^ Smolin, John A.; Smith, Graeme; Wehner, Stephanie (2007-09-28). 「単純な非加法性量子符号群」. Physical Review Letters . 99 (13) 130505. doi :10.1103/PhysRevLett.99.130505.
^ Yu, Sixia; Chen, Qing; Lai, CH; Oh, CH (2008-08-29). 「非加法性量子誤り訂正符号」. Physical Review Letters . 101 (9) 090501. doi :10.1103/PhysRevLett.101.090501.
^ Yu, Sixia; Chen, Qing; Oh, CH「非加法性量子誤り訂正符号の2つの無限族」IEEE Transactions on Information Theory . 61 (12): 7012– 7016. doi :10.1109/TIT.2015.2489645. ISSN 0018-9448.
^ Noh, Kyungjoo; Girvin, S. M.; Jiang, Liang (2020-08-18). 「1つの発振器を多数の発振器にエンコードする」. Physical Review Letters . 125 (8) 080503. doi :10.1103/PhysRevLett.125.080503.
^ Cory, DG; Price, MD; Maas, W.; Knill, E.; Laflamme, R.; Zurek, WH; Havel, TF; Somaroo, SS (1998). 「実験的量子誤差補正」. Phys. Rev. Lett . 81 (10): 2152– 2155. arXiv : quant-ph/9802018 . Bibcode :1998PhRvL..81.2152C. doi :10.1103/PhysRevLett.81.2152. S2CID 11662810.
^ Pittman, TB; Jacobs, BC; Franson, JD (2005). 「線形光学を用いた量子誤差補正の実証」. Phys. Rev. A . 71 (5) 052332. arXiv : quant-ph/0502042 . Bibcode :2005PhRvA..71e2332P. doi :10.1103/PhysRevA.71.052332. S2CID 11679660.
^ キアヴェリーニ、J.;ライブフリート、D.シェッツ、T.メリーランド州バレット。ブレークスタッド、RB;ブリットン、J.板野、WM。ジョスト、JD;キル、E.ランガー、C.オゼリ、R.ワインランド、DJ (2004)。「量子誤り訂正の実現」。自然。432 (7017): 602–605。書誌コード:2004Natur.432..602C。土井：10.1038/nature03074. PMID 15577904。S2CID 167898 。
^ Schindler, P.; Barreiro, JT.; Monz, T.; Nebendahl, V.; Nigg, D.; Chwalla, M.; Hennrich, M.; Blatt, R. (2011). 「実験的反復量子エラー訂正」. Science . 332 (6033): 1059– 1061. Bibcode :2011Sci...332.1059S. doi :10.1126/science.1203329. PMID 21617070. S2CID 32268350.
^ Reed, MD; DiCarlo, L.; Nigg, SE; Sun, L.; Frunzio, L.; Girvin, SM; Schoelkopf, RJ (2012). 「超伝導回路による3量子ビット量子誤り訂正の実現」. Nature . 482 (7385): 382– 385. arXiv : 1109.4948 . Bibcode :2012Natur.482..382R. doi :10.1038/nature10786. PMID: 22297844. S2CID : 2610639.
^ Ofek, Nissim; Petrenko, Andrei; Heeres, Reinier; Reinhold, Philip; Leghtas, Zaki; Vlastakis, Brian; Liu, Yehan; Frunzio, Luigi; Girvin, SM; Jiang, L.; Mirrahimi, Mazyar (2016年8月). 「超伝導回路における誤り訂正による量子ビットの寿命延長」. Nature . 536 (7617): 441– 445. Bibcode :2016Natur.536..441O. doi :10.1038/nature18949. ISSN 0028-0836. PMID 27437573. S2CID 594116.
^ Lassen, M.; Sabuncu, M.; Huck, A.; Niset, J.; Leuchs, G.; Cerf, NJ; Andersen, UL (2010). 「連続可変量子消失訂正符号を用いることで、量子光コヒーレンスは光子損失にも耐えられる」Nature Photonics . 4 (10): 700. arXiv : 1006.3941 . Bibcode :2010NaPho...4..700L. doi :10.1038/nphoton.2010.168. S2CID 55090423.
^ 郭、チーハオ;趙、元元。グラスル、マルクス。ニー、シンファン。シャン、グオヨン。シン、タオ。イン、チャンチー。曾・北（2021）。「さまざまなプラットフォームでの量子誤り訂正コードのテスト」。科学速報。66 (1): 29–35 . arXiv : 2001.07998。Bibcode :2021SciBu..66...29G。土井：10.1016/j.scib.2020.07.033。PMID 36654309。S2CID 210861230 。
^ 「エラー保護された量子ビットが初めてエンタングルメントを達成」phys.org . 2021年1月13日. 2021年8月30日閲覧。
^ アレキサンダー、エアハルト;ポールセン・ナウトルップ、ヘンドリック。メス、マイケル。ルーカス・ポスラー;ストリッカー、ローマン。スタドラー、マーティン。ネグネヴィツキー、ヴラド。リングバウアー、マーティン。シンドラー、フィリップ。ブリーゲル、ハンス J.ライナー、ブラット。フリス、ニコライ。モンツ、トーマス (2021-01-13)。「格子手術による論理量子ビットのもつれ」。自然。589 (7841 ) : 220–224。arXiv : 2006.03071 。Bibcode :2021Natur.589..220E。土井：10.1038/s41586-020-03079-6。ISSN 1476-4687。PMID 33442044。S2CID 219401398 。
^ Bedford, Bailey (2021年10月4日). 「量子コンピューターは、その構成要素の総和よりも優れた性能を発揮できるという基礎的なステップ」phys.org . 2021年10月5日閲覧。
^ イーガン、レアード;デブロイ、ドリップト M.ノエル、クリスタル。ライジンジャー、アンドリュー。朱大偉。ビスワス、デボプリヨ。ニューマン、マイケル。リー・ムユアン。ブラウン、ケネス R.セティナ、マルコ。モンロー、クリストファー（2021-10-04）。「誤り訂正された量子ビットのフォールトトレラントな制御」。自然。598 (7880): 281–286。Bibcode :2021Natur.598..281E。土井：10.1038/s41586-021-03928-y。ISSN 0028-0836。PMID 34608286。S2CID 238357892 。
^ Ball, Philip (2021-12-23). 「量子コンピューティングのためのリアルタイムエラー訂正」. Physics . 14 184. Bibcode :2021PhyOJ..14..184B. doi : 10.1103/Physics.14.184 . S2CID 245442996.
^ Huang, He-liang (2021-03-03). 「マヨラナゼロモード量子ビットの量子テレポーテーションのエミュレーション」. Phys. Rev. Lett . 126 (9) 090502. arXiv : 2009.07590 . Bibcode :2021PhRvL.126i0502H. doi :10.1103/PhysRevLett.126.090502. PMID 33750174.
^ ルーカス・ポスラー;ホイセン、サシャ。ポゴレロフ、イワン。リスラー、マヌエル。フェルドカー、トーマス。メス、マイケル。マルチニアック、クリスチャン D.ストリッカー、ローマン。リングバウアー、マーティン。ライナー、ブラット。シンドラー、フィリップ。ミュラー、マルクス。モンツ、トーマス (2022-05-25)。「フォールトトレラントなユニバーサル量子ゲート動作のデモンストレーション」。自然。605 (7911 ) : 675–680。arXiv : 2111.12654 。Bibcode :2022Natur.605..675P。土井：10.1038/s41586-022-04721-1。PMID 35614250。S2CID 244527180 。
^ Ahsan, Muhammad; Naqvi, Syed Abbas Zilqurnain; Anwer, Haider (2022-02-18). 「コヒーレントノイズ補正のための量子回路工学」. Physical Review A. 105 ( 2) 022428. arXiv : 2109.03533 . Bibcode :2022PhRvA.105b2428A. doi :10.1103/physreva.105.022428. ISSN 2469-9926. S2CID 237442177.
^ Steffen, Matthias (2022年10月20日). 「エラー抑制、エラー軽減、エラー訂正の違いは何ですか？」IBM Research Blog . 2022年11月26日閲覧。
^ Google Quantum AI (2023-02-22). 「表面符号論理量子ビットのスケーリングによる量子エラーの抑制」. Nature 614 ( 7949 ): 676– 681. arXiv : 2207.06431 . Bibcode :2023Natur.614..676G. doi : 10.1038/s41586-022-05434-1 . ISSN 1476-4687. PMC 9946823. PMID 36813892 .
^ Boerkamp, Martijn (2023年3月20日). 「量子エラー訂正のブレークスルーは大規模量子コンピュータの実現につながる可能性がある」. Physics World . 2023年4月1日閲覧。
^ Conover, Emily (2023年2月22日). 「Googleの量子コンピュータがエラー訂正のマイルストーンに到達」. ScienceNews . 2023年4月1日閲覧。
^ Smith-Goodson, Paul (2024年4月18日). 「MicrosoftとQuantinuum、量子エラー率を800倍向上」. Forbes . 2024年7月1日閲覧。
^ Yirka, Bob (2024年4月5日). 「Microsoftの『論理量子ビット』を使用したQuantinuum量子コンピュータが14,000回の実験をエラーなしで実行」. Phys.org . 2024年7月1日閲覧。
^ Yu, Xi; et al. (2025). 「シリコン中の核スピン量子ビットのシュレーディンガー猫状態」. Nature Physics . 21 (3): 362– 367. arXiv : 2405.15494 . Bibcode :2025NatPh..21..362Y. doi :10.1038/s41567-024-02745-0.
^ Peres, Asher (1985-12-01). 「可逆論理と量子コンピュータ」. Physical Review A. 32 ( 6): 3266– 3276. doi :10.1103/PhysRevA.32.3266.
^ ニールセン、マイケル・A. ;チュアン、アイザック・L. (2000). 『量子計算と量子情報』ケンブリッジ大学出版局.
^ Shor, Peter W. (1995). 「量子コンピュータメモリにおけるデコヒーレンス低減手法」. Physical Review A. 52 ( 4): R2493 – R2496 . Bibcode :1995PhRvA..52.2493S. doi :10.1103/PhysRevA.52.R2493. PMID :9912632.
^ Devitt, Simon J; Munro, William J; Nemoto, Kae (2013-06-20). 「量子エラー訂正入門」. Reports on Progress in Physics . 76 (7) 076001. arXiv : 0905.2794 . Bibcode :2013RPPh...76g6001D. doi :10.1088/0034-4885/76/7/076001. ISSN 0034-4885. PMID 23787909. S2CID 206021660.
^ Dür, W.; Skotiniotis, M.; Fröwis, F.; Kraus, B. (2014-02-26). 「量子誤差補正を用いた量子計測の改良」. Physical Review Letters . 112 (8) 080801. arXiv : 1310.3750 . Bibcode :2014PhRvL.112h0801D. doi :10.1103/PhysRevLett.112.080801.
^ Kessler, EM; Lovchinsky, I.; Sushkov, AO; Lukin, MD (2014-04-16). 「計量学のための量子誤差補正」. Physical Review Letters . 112 (15) 150802. arXiv : 1310.3260 . Bibcode :2014PhRvL.112o0802K. doi :10.1103/PhysRevLett.112.150802. PMID 24785020.
^ トート、ゲザ;ベルテシ、タマス。ホロデツキ、パヴェウ。ホロデッキ、ライシャード（2020-07-07）。「隠れた計量学的有用性の活性化」。物理的なレビューレター。125 (2) 020402.arXiv : 1911.02592。ビブコード：2020PhRvL.125b0402T。土井：10.1103/PhysRevLett.125.020402。PMID 32701319。
^ ab トレニ、ロバート;ルカーチ、アルパード;ホロデツキ、パヴェウ。ホロデッキ、リシャード。ベルテシ、タマス。トス、ゲザ (2024-02-01)。「計量学的に有用な真の多部エンタングルメントの活性化」。新しい物理学ジャーナル。26 (2): 023034.arXiv : 2203.05538。Bibcode :2024NJPh...26b3034T。土井：10.1088/1367-2630/ad1e93。
^ 「位相エラーを抑制するための 3 つのコピーの例」(PDF)。

さらに読む

ダニエル・ライダー、トッド・ブルン編（2013年）『量子誤り訂正』ケンブリッジ大学出版局。
ラ・ガーディア、ジュリアーノ・ガディオリ編（2020年）。『量子誤り訂正：対称符号、非対称符号、同期可能符号、畳み込み符号』シュプリンガー・ネイチャー。
フランク・ガイタン (2008). 「量子エラー訂正とフォールトトレラント量子コンピューティング」テイラー＆フランシス.
Freedman, Michael H.; Meyer, David A.; Luo, Feng (2002). 「Z ₂ -シストリック自由度と量子符号」.量子計算の数学. Comput. Math. Ser. ボカラトン, FL: Chapman & Hall/CRC. pp. 287– 320.
フリードマン, マイケル・H.; マイヤー, デイビッド・A. (1998). 「射影平面と平面量子符号」. Found. Comput. Math . 2001 (3): 325– 332. arXiv : quant-ph/9810055 . Bibcode :1998quant.ph.10055F.

外部リンク

「トポロジカル量子エラー訂正」。Quantum Light . シェフィールド大学. 2018年9月28日. オリジナルより2021年12月22日アーカイブ – YouTube経由。