不完全ガンマ関数

sの値のいくつかに対する上側不完全ガンマ関数：0（青）、1（赤）、2（緑）、3（オレンジ）、4（紫）。

Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して作成した、複素平面における正規化不完全ガンマ関数 Q(2,z) の -2-2i から 2+2i までの色付きプロット

数学において、上側不完全ガンマ関数と下側不完全ガンマ関数は、特定の積分などのさまざまな数学の問題の解として生じる特殊関数の一種です。

それぞれの名称は、積分の定義に由来しています。ガンマ関数と同様に定義されますが、積分極限はガンマ関数と異なります（つまり「不完全」です）。ガンマ関数は、ゼロから無限大までの積分として定義されます。これは、ゼロから可変の上限までの積分として定義される下側不完全ガンマ関数とは対照的です。同様に、上側不完全ガンマ関数は、可変の下限から無限大までの積分として定義されます。

定義

上側不完全ガンマ関数は次のように定義されます。 一方、下側不完全ガンマ関数は次のように定義されます。 どちらの場合も、 sは複素パラメータであり、 sの実部は正です $${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,}$$ $${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.}$$

性質

部分積分により、漸化式 が求められます 。 通常のガンマ関数は 次 のように定義されるので 、 $${\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}}$$ $${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$ $${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}$$

複素数値への継続

上記で定義した実数sとxに対する下側不完全ガンマ関数と上側不完全ガンマ関数は、 xとsの両方に関して、複素数xとsのほぼすべての組み合わせに対して定義される正則関数に展開できます。^{[ 1 ]}複素解析は、実数不完全ガンマ関数の特性が、その正則関数にどのように拡張されるかを示しています。

下側不完全ガンマ関数

正則拡大

下側不完全ガンマ関数に対する漸化式を繰り返し適用すると、次式で表されるべき級数展開が得られる。^{[ 2 ]} k → ∞のときにΓ( z + k )の絶対値 が急激に増加すること、およびΓ( z )の逆数が整関数であることから、右端の和の係数は明確に定義され、局所的にはすべての複素sおよびxについて和は一様に収束する。ワイエルシュトラスの定理により、^{[ 3 ]}極限関数 (と表記されることもある) ^{[ 4 ]}は、z (固定のsの場合) およびs (固定のzの場合)の両方に関して整で あり、 ^{[ 1 ]}ハートッグスの定理によりC × C上で正則である。^{[ 5 ]}したがって、次の分解^{[ 1 ]}は、 実下側不完全ガンマ関数を、 zおよびsについて、共同でも個別にも、正則関数として拡張する。およびΓ関数の特性から、最初の 2 つの因子が（z = 0またはsが正でない整数） の特異点を捉え、最後の因子がその零点に寄与することがわかります。$${\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.}$$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ $${\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$$ $${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),}$$ ${\displaystyle z^{s}}$ ${\displaystyle \gamma (s,z)}$

多価性

複素対数log z = log | z | + i arg zは2πiの倍数までしか決まらないため、多価となります。複素対数を含む関数は、通常この性質を継承します。その中には、複素べき乗や、その分解にz ^sが現れるγ関数など があります

多価関数の不確定性は、値の選択方法を明示的に指定する必要があるため、複雑な問題を引き起こします。これに対処するための戦略は以下のとおりです。

• （最も一般的な方法）多価関数の領域Cを、 C × C内の適切な多様体、すなわちリーマン面によって置き換える。これにより多価性は解消されるが、その背後にある理論を理解する必要がある。^{[ 6 ]}
• 多値関数が個別の単一値ブランチに分解され、個別に処理できるようにドメインを制限します。

このセクションの式を正しく解釈するには、以下の規則に従う必要があります。特に断りのない限り、以下の規則が適用されます。

セクター

Cにおけるz = 0を頂点とするセクターは、複素表現の適切な定義域であることがしばしば証明されています。セクターD は、 z ≠ 0かつα − δ < arg z < α + δ （ただし、 αと0 < δ ≤ π ）を満たすすべての複素zから構成されます。多くの場合、α は任意に選択でき、その場合は指定されません。δ が指​​定されていない場合はπであると仮定され、セクターは実際には平面C全体ですが、 z = 0を起点として− αの方向を指す半直線（通常は分岐切断線として機能します）は例外です。注：多くの応用例やテキストでは、αは暗黙的に 0 とみなされ、セクターは正の実軸を中心に配置されます

支店

特に、そのようなセクター D 上には、虚数部が範囲( α − δ、α + δ )に制限された単値の正則対数が存在する。このような制限された対数に基づくと、z ^sおよび不完全ガンマ関数は、 D (またはC × D )上の単値の正則関数に縮小され、 D 上の多値関数の枝と呼ばれる。αに2 πの倍数を追加すると、同じセットD上に相関する枝の異なるセットが得られる。ただし、ここでの特定のコンテキストでは、αは固定であると想定され、関連するすべての枝はそれに関連付けられている。| α | < δの場合、枝は、正の実軸上の実際の類似物に等しいため、主枝と呼ばれる。注: 多くのアプリケーションおよびテキストでは、公式は主枝に対してのみ有効です。

枝間の関係

複素べき乗関数と下側不完全ガンマ関数の両方の異なる枝の値は、 kを適切な整数 として、^{[ 1 ]}を乗算することによって互いに導くことができます${\displaystyle e^{2\pi iks}}$

分岐点付近の挙動

上記の分解はさらに、γ がz = 0付近で漸近的に次のように振舞うことを示しています。 $${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$$

正の実数x、y、sに対して、( x、y ) → (0、s )のとき、 x ^y /y → 0となります。これは、実数s > 0に対してγ ( s、 0) = 0と設定することを正当化するように見えます。しかし、複素数領域では状況が多少異なります。 (a) sの実部が正であり、 (b) 値u ^{v が}有限の枝の集合からのみ取得される場合に限り、それらは( u、v ) → (0、s )としてゼロに収束することが保証され、 γ ( u、v )も同様です。 γ ( b )の単一の枝では自然に満たされるため、正の実部を持つsに対してγ ( s、 0) = 0は連続極限となります。また、このような連続は決して解析的なものではないことにも注意してください。

代数関係

実数γ ( s , z )に見られるすべての代数関係と微分方程式は、その正則関数にも成り立ちます。これは、実区間上で有効な正則関数間の方程式はどこでも成り立つという恒等定理の帰結です。特に、再帰関係^{[ 2 ]}と∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{− z [ 2 ]}は、対応する枝において保存されます

積分表現

最後の関係式は、s を固定した場合、γ は正則関数z ^{s −1} e ^{− z}の原始微分または反微分であることを示しています。したがって、任意の複素u、v ≠ 0に対して、 積分経路が被積分関数の枝の領域に完全に含まれる 限り、が成立します。さらに、 sの実部が正の場合、 u → 0に対して極限γ ( s , u ) → 0が適用され、最終的にγの複素積分定義に到達します^{[ 1 ]}$${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$$ $${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}$$

ここでは、先頭にのみ 0 を含む積分パス（それ以外は積分対象のブランチのドメインに制限）が有効です。たとえば、 0とzを結ぶ直線などです。

z → +∞の限界

実数値

γの主枝の積分表現が与えられた場合、すべての正の実数s、xに対して次の式が成り立つ：^{[ 7 ]}$${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

複雑な

この結果は複素数sにも拡張される。まず1 ≤ Re( s ) ≤ 2かつ1 < a < bと仮定する。すると と なる。 ここで^{[ 8 ]} は途中で用いられている。a が十分に大きい場合、最終積分は任意に小さくなるため、 γ ( s , x ) はストリップ 1 ≤ Re(s) ≤ 2 上で x → ∞ に対して一様収束し、正則関数となる。 [ 3 ]恒等定理より、この関数はΓ ( s ^{)でなけれ}ばならない。再帰関係γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x ^{s − 1} e ^{− x}の極限をとり、 x → ∞およびすべてのnに対してlim x ⁿ e ^{− x} = 0となることから、γ ( s , x )はストリップの外側でも、Γ関数の再帰関係に従う関数へと収束することが示される。これは、 s が非正整数でなく、x が実数で、γ が主関数で あるすべての複素数に対して成り立つ。$${\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt}$$ $${\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

セクターごとの収束

ここで、uをセクター| arg z | < δ < π /2から、 δを固定値( α = 0 ) として、γ をこのセクターの主枝とし、 $${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}$$

上で示したように、 | u |が十分に大きい場合、最初の差は任意に小さくすることができます。 2 番目の差により、次の推定が可能になります。 ここで、 γの積分表現と上記の| z ^s |に関する式 を使用しました。 uと| u |を結ぶ半径R = | u |の円弧に沿って 0 の周りを積分すると、最後の積分は次のようになります。 ここで、M = δ (cos δ ) ^{−Re s} e ^{Im sδ}はuやRに依存しない定数です。 再び、大きなxに対するx ⁿ e ^{− x}の挙動を参照すると、 R が∞に向かって増加するにつれて、最後の式が 0 に近づくことがわかります。 合計すると、次のようになります。 sが非負の整数でない 場合、 0 < ε < π /2は任意に小さいですが固定であり、γ はこのドメインの主枝を示します。 $${\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,}$$ $${\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$$ $${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,}$$

概要

${\displaystyle \gamma (s,z)}$ は：

• 固定された正の整数sに対してzの整数
• 整数でない固定のsに対してzの多値正則性を持ち、分岐点はz = 0です。
• 各枝は固定のz ≠ 0に対してsに関して有理型であり、非正の整数 s に単純な極を持つ。

上側不完全ガンマ関数

上側不完全ガンマ関数に関しては、右辺が存在する 点( s , z )において、 zまたはsに関する正則拡大が^{[ 1 ]}によって与えられる。は多価関数であるため、 についても同様であるが、主値に制限すると の主枝は一価のみとなる。 $${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

上式においてsが非正の整数である場合、差のどちらの部分も定義されておらず、ここでs → 0に対して展開される極限過程によって欠損値が補われる。複素解析は が固定されたzに対してその極限の近傍で有界であることが証明されるため、正則性 を保証する。 ${\displaystyle \Gamma (s,z)}$

極限を決定するには、 z = 0におけるのべき級数が有用である。の積分定義において のべき級数を で置き換えると、次式が得られる（ここではx、s は正の実数と仮定する）。 または^{[ 4 ]} これは、関数全体の級数表現として、すべての複素数x（および非正整数でない すべての複素数s ）に対して収束する。${\displaystyle \gamma ^{*}}$ ${\displaystyle e^{-x}}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,x)&=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt\\[1ex]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},}$$ ${\displaystyle \gamma ^{*}}$

実数値への制限がなくなると、この級数は次のように展開できるようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}&=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}\\[1ex]&={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},&\Re (s)>-1,\,s\neq 0.\end{aligned}}}$$

s → 0 のとき: ^{[ 9 ]} （ここではオイラー・マスケロニ定数）したがって、 はs → 0 の上側不完全ガンマ関数の極限関数であり、指数積分としても知られています。^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,}$$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (0,z)&=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-\left(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}}\right)\right)\\&=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k\,(k!)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle E_{1}(z)}$

再帰関係により、正の整数nに対するの値は、この結果から導くことができる。^{[ 11 ]} したがって、上側不完全ガンマ関数は、すべてのsおよびz ≠0に対して、 zとsの両方に関して存在し、正則であることが証明される。 ${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$ $${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$$

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$ は：

• 固定された正の整数sに対してz軸方向に整数
• 固定されたsに対してzの多値正則性があり、分岐点はz = 0です。
• は、実部が正でz = 0 ( のときの極限) のsに対してと等しくなりますが、これは連続的な拡張であり、解析的な拡張ではありません(は実数s < 0に対しては成立しません)。${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)}$
• 各枝上で、z ≠0を固定してs全体になります。

特別な値

• ${\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}$ sが正の整数の場合、
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$ sが正の整数の場合、^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$ 、
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$ 、
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$ 、
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$ について、${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$ 、
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$ 、
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$ 。

ここで、は指数積分、は一般指数積分、は誤差関数、は 相補誤差関数です${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$

漸近的挙動

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}}$ として、${\displaystyle x\to 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}}$ として、（実数sに対して、Γ( s , x )~ −xs / sの^誤差は、 s ≠−1の場合はO ( xmin ^{{ s +1,0}} )、s =−1の場合はO (ln( x ))のオーダーである）、${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle \Re (s)<0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}}$ 漸近級数として表される。^{[ 13 ]}${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }$
• ${\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}}$ 漸近級数として、および、、、ここでオイラー・マスケローニ定数である。^{[ 13 ]}${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle N=1,2,\dots }$ ${\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)}$ として、${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1}$ として、${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$ 漸近級数として表される。^{[ 14 ]}${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$

評価式

下ガンマ関数は、べき級数展開を用いて評価することができます。[ ^{15 ]ここ} で、はポッホハマー記号です$${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}}$$ ${\displaystyle s^{\overline {k+1}}}$

別の展開は、 Mがクンマーの合流型超幾何関数 であるときです。 $${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$$

クンマーの合流型超幾何関数との関連

zの実部が正のとき、 は無限大の収束半径を持ちます。 $${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$$ $${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$$

再び合流超幾何関数とクンマーの恒等式を用いると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1{-}s,1{-}s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1{+}s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du\\&=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}$$

実際の数値の計算には、ガウスの連分数が便利な展開を提供します。 $${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$$

この連分数は、sが負の整数でない 限り、すべての複素数zに対して収束します。

上側のガンマ関数は連分数^{[ 16 ]} を持ち 、 $${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$$

乗法定理

次の乗法定理が成り立ちます $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}$$

ソフトウェア実装

不完全ガンマ関数は、さまざまなコンピュータ 代数システムで利用できます

直接的に利用できない場合でも、スプレッドシート（​​およびコンピュータ代数パッケージ）に一般的に含まれる関数を使用することで、不完全な関数値を計算することは可能です。例えばExcelでは、ガンマ関数とガンマ分布関数を組み合わせることで計算できます。

• 下側の不完全関数: 。${\displaystyle \gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)
• 上の不完全関数: 。${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))

これらはガンマ分布の累積分布関数の定義から導かれます。

Pythonでは、Scipy ライブラリが の不完全ガンマ関数の実装を提供していますが、最初の引数に負の値を指定することはできません。mpmathライブラリの scipy.special関数は、すべての複素引数をサポートします。gammainc

正規化ガンマ関数とポアソン確率変数

関連する 2 つの関数は、正規化されたガンマ関数です。 これは、形状パラメーターとスケール パラメーターが 1 であるガンマ ランダム変数の累積分布関数です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle P(s,x)}$ ${\displaystyle s}$

が整数のとき、 はポアソン確率変数の累積分布関数である。が確率変数のとき、 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Q(s+1,\lambda )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )}$ $${\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}$$

この式は部分積分を繰り返すことで導き出すことができます。

${\displaystyle P(s,x)}$ これらはscipyでは^{[ 17 ]}と^{[ 18 ]}のように実装されている。 ${\displaystyle Q(s,x)}$ gammaincgammaincc

デリバティブ

上記の積分表現を使用すると、上不完全ガンマ関数のxに関する導関数は、 で表されます。 最初の引数に関する導関数は^{[ 19 ]}で与えられ 、2 番目の導関数は で 表されます。 ここで、関数はMeijer G 関数の特殊なケースです。 この特殊なケースは、すべての連続する導関数を表現できるため、独自の内部閉包特性を持っています。 一般に、 はポッホハマー記号で定義される置換です 。この ようなすべての導関数は、次から連続して生成できます。 および この関数は、 が負の整数またはゼロではない ことを理解すれば、 に対して有効な級数表現から計算できます。 このような場合、極限を使用する必要があります。 の結果は、解析接続によって取得できます。 この関数のいくつかの特殊なケースは簡略化できます。たとえば、、で、は指数積分です。 これらの導関数と関数は、上不完全ガンマ関数の積分定義を繰り返し微分することにより、多数の積分の正確な解を提供します。^{[ 20 ] [ 21 ]} 例えば、 この式はさらに拡張または一般化され、ラプラス変換やメリン変換の膨大なクラスに拡張することができます。コンピュータ代数システムと組み合わせることで、特殊関数の利用は、特に実用的な工学アプリケーションで遭遇する定積分を解くための強力な手段となります（詳細については 記号積分を参照してください）。${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]}$$ ${\displaystyle T(m,s,x)}$ $${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$$ ${\displaystyle P_{j}^{n}}$ $${\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}}$$ ${\displaystyle T(m,s,x)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ $${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}}$$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$ ${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$ ${\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)}$ ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)}$ ${\displaystyle T(m,s,x)}$ $${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$$

不定積分と定積分

次の不定積分は、部分積分（どちらの場合も 積分定数は省略）を使用して簡単に得られます。 下側不完全ガンマ関数と上側不完全ガンマ関数は、フーリエ変換を介して接続されます。 これは、たとえば、（Gradshteyn et al. 2015、§7.642）の適切な特殊化によって得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$$

注釈

1. 「DLMF：§8.2 定義と基本的性質 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数」dlmf.nist.gov
2. 「DLMF: §8.8 再帰関係と導関数 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数」 . dlmf.nist.gov .
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8. 「DLMF: §4.4 特殊な値と限界 ‣ 対数、指数、累乗 ‣ 第4章 基本関数」 . dlmf.nist.gov .
9. 最後の式を参照してください。
10. 「DLMF: §8.4 特殊値 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数」 . dlmf.nist.gov .
11. 「DLMF: 8.4 特殊な値」。
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16. アブラモヴィッツとステガンp. 263、6.5.31
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外部リンク

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• ${\displaystyle Q(a,x)}$ —正規化上側不完全ガンマ関数計算機
• ${\displaystyle \gamma (a,x)}$ —下側不完全ガンマ関数計算機
• ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ —上側不完全ガンマ関数計算機
• 不完全ガンマ関数の公式と恒等式functions.wolfram.com