再帰関係

数学において、漸化式とは、数列の番目の項が、それ以前の項の組み合わせに等しいという方程式です。多くの場合、方程式には、に依存しないパラメータに対して、数列の前の項のみが出現します。この数は関係の位数と呼ばれます。数列の最初の数の値が与えられていれば、方程式を繰り返し適用することで、数列の残りの項を計算できます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

線型回帰では、n番目の項は、前の項の線型関数と等しくなります。有名な例は、フィボナッチ数列の回帰です。この回帰では、 次数は 2 で、線型関数は前の 2 つの項を単に加算するだけです。この例は、定数係数 を持つ線型回帰です。線型関数の係数 (1 および 1) は、 に依存しない定数だからです。これらの回帰では、数列の一般項を の閉じた形式として表すことができます。同様に、に依存する多項式係数を持つ線型回帰も重要です。多くの一般的な基本関数と特殊関数は、係数がこのような回帰関係を満たすテイラー級数を持つからです(ホロノミック関数 を参照)。 ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

再帰関係を解くということは、 の非再帰関数である閉じた形式の解を得ることを意味します。 ${\displaystyle n}$

再帰関係の概念は、多次元配列、つまり自然数の組によってインデックス付けされたインデックス付きファミリに拡張できます。

意味

再帰関係とは、数列の各要素を、その前の要素の関数として表す方程式である。より正確には、直前の要素のみが関係する場合、再帰関係は次のようになる。

${\displaystyle u_{n}=\varphi (n,u_{n-1})\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

どこ

${\displaystyle \varphi :\mathbb {N} \times X\to X}$

は関数であり、Xは列の要素が必ず属する集合である。任意の に対して、これは を最初の要素とする一意の列を定義し、これを初期値と呼ぶ。^{[ 1 ]}${\displaystyle u_{0}\in X}$ ${\displaystyle u_{0}}$

インデックス 1 以上の項から始まるシーケンスを取得するための定義を変更するのは簡単です。

これは1次の再帰関係を定義する。k次 の再帰関係は次の形をとる 。

${\displaystyle u_{n}=\varphi (n,u_{n-1},u_{n-2},\ldots ,u_{nk})\quad {\text{for}}\quad n\geq k,}$

ここで、はシーケンスのk個の連続する要素を含む関数です。この場合、シーケンスを定義するには k 個の初期値が必要です。${\displaystyle \varphi :\mathbb {N} \times X^{k}\to X}$

例

階乗

階乗は再帰関係によって定義される

${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

そして初期条件

${\displaystyle 0!=1.}$

これは、次数1の多項式係数を持つ線形回帰の例であり、単純な多項式（n） は

${\displaystyle n}$

唯一の係数として。

ロジスティックマップ

再帰関係の例としては、次のように定義される ロジスティック写像がある。

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),}$

与えられた定数に対して、シーケンスの動作は大きく依存しますが、初期条件が変わっても安定します。 ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle x_{0}}$

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列が満たす2次の再帰式は、定数係数を持つ 同次線形再帰関係の標準的な例である（下記参照）。フィボナッチ数列は、再帰式を用いて定義される。

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$

初期条件付き

${\displaystyle F_{0}=0}$

${\displaystyle F_{1}=1.}$

明示的には、再帰方程式は次のようになる。

${\displaystyle F_{2}=F_{1}+F_{0}}$

${\displaystyle F_{3}=F_{2}+F_{1}}$

${\displaystyle F_{4}=F_{3}+F_{2}}$

等

フィボナッチ数列は、

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、...

この再帰式は、以下に述べる方法で解くことができ、特性多項式の2つの根のべき乗を含むビネの公式が得られる。この数列の生成関数は有理関数である。${\displaystyle t^{2}=t+1}$

${\displaystyle {\frac {t}{1-tt^{2}}}.}$

二項係数

多次元再帰関係の簡単な例として、二項係数 が挙げられます。これは、要素の集合から要素を選択する方法を数えるものです。二項係数は、再帰関係によって計算できます。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}},}$

基本ケース を用いて。この式を用いてすべての二項係数の値を計算すると、パスカルの三角形と呼ばれる無限配列が生成されます。同じ値は、再帰式ではなく、加算だけでなく階乗、乗算、除算も 使用する別の式によって直接計算することもできます。${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}={\tbinom {n}{n}}=1}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.}$

二項係数は一次元再帰法で計算することもできます。

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{k-1}}(n-k+1)/k,}$

初期値で（除算は分数として表示されません。これは、乗算の後に計算する必要があることを強調し、分数を導入しないようにするためです）。この再帰式は、2次元再帰式のように表を作成する必要がなく、階乗の式のように非常に大きな整数を必要としないため（階乗を使用すると、関係するすべての整数が最終結果よりも小さくなります）、コンピューターで広く使用されています。 ${\textstyle {\binom {n}{0}}=1}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{nk}},}$

差分演算子と差分方程式

その差分演算子は、シーケンスをシーケンスに、より一般的には関数を関数マッピングする演算子です。関数記法次のように 、定義されます${\displaystyle \Delta ,}$

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x).}$

したがって、これは有限差分の特殊なケースです。

シーケンスにインデックス表記を使用する場合、定義は次のようになります。

${\displaystyle (\Delta a)_{n}=a_{n+1}-a_{n}.}$

とを囲む括弧は、通常省略され、シーケンスのインデックスnの項として理解され、要素には適用されない。${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle \Delta a_{n}}$ ${\displaystyle \Delta a,}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle a_{n}.}$

与えられたシーケンス${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$ aの最初の違いは${\displaystyle \Delta a.}$

その2つ目の違いは、 簡単な計算でわかるように ${\displaystyle \Delta ^{2}a=(\Delta \circ \Delta )a=\Delta (\Delta a).}$

${\displaystyle \Delta ^{2}a_{n}=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}.}$

より一般的には、 k番目の差は再帰的に次の ように定義され、${\displaystyle \Delta ^{k}=\Delta \circ \Delta ^{k-1},}$

${\displaystyle \Delta^{k}a_{n}=\sum_{t=0}^{k}(-1)^{t}{\binom{k}{t}}a_{n+kt}.}$

この関係は逆転することができ、

${\displaystyle a_{n+k}=a_{n}+{k \choose 1}\Delta a_{n}+\cdots +{k \choose k}\Delta ^{k}(a_{n}).}$

あk次差分方程式は、 kk個の第 1 導関数を関係付けるのと同じように、数列または関数のk個第 1差分を含む方程式です。

上記の2つの関係により、 k次再帰関係をk次差分方程式に変換することができ、逆にk次差分方程式をk次再帰関係に変換することもできます。それぞれの変換は互いに逆であり、差分方程式の解となる数列は、まさに再帰関係を満たす数列です。

例えば、差分方程式

${\displaystyle 3\Delta ^{2}a_{n}+2\Delta a_{n}+7a_{n}=0}$

は再帰関係と同等である

${\displaystyle 3a_{n+2}=4a_{n+1}-8a_{n},}$

2つの方程式が同じシーケンスによって満たされるという意味で。

数列が再帰関係を満たすことと差分方程式の解であることは同義であるため、「差分方程式」という用語の使用は差分演算子を使用する方程式に限定されず、^{[ 2 ] [ 3 ]}「再帰関係」と「差分方程式」という2つの用語は同じ意味で使用できます。^{[ 4 ]} 「再帰関係」の代わりに「差分方程式」を使用する例については 、有理差分方程式、線形定係数差分方程式、および行列差分方程式を参照してください。

差分方程式は微分方程式に似ており、この類似性は、微分可能方程式を解く方法を模倣して差分方程式、ひいては再帰関係を解くためによく使用されます。

積分方程式が微分方程式と関連しているように、和分方程式は差分方程式と関連しています。差分方程式と微分方程式の理論の統一については、 時間スケール計算を参照してください。

シーケンスからグリッドへ

一変数または一次元の再帰関係は、列（つまり一次元グリッド上に定義された関数）に関するものです。多変数またはn次元の再帰関係は、-次元グリッドに関するものです。-次元グリッド上に定義された関数は、偏差分方程式を用いて研究することもできます。^{[ 5 ]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

解決する

定数係数を持つ線形回帰関係を解く

変数係数を持つ一次非同次再帰関係を解く

さらに、変数係数を持つ一般的な1次非同次線形回帰関係では、

${\displaystyle a_{n+1}=f_{n}a_{n}+g_{n},\qquad f_{n}\neq 0,}$

これを解決する良い方法もあります: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle a_{n+1}-f_{n}a_{n}=g_{n}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}-{\frac {f_{n}a_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}={\frac {g_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}-{\frac {a_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}}}={\frac {g_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}}$

させて

${\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}}},}$

それから

${\displaystyle A_{n+1}-A_{n}={\frac {g_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n-1}(A_{m+1}-A_{m})=A_{n}-A_{0}=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m}}{\prod _{k=0}^{m}f_{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}}}=A_{0}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m}}{\prod _{k=0}^{m}f_{k}}}}$

${\displaystyle a_{n}=\left(\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}\right)\left(A_{0}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m}}{\prod _{k=0}^{m}f_{k}}}\right)}$

式を に適用し、極限 を取ると、変数係数を持つ 1 階線形微分方程式の式が得られます。つまり、和は積分になり、積は積分の指数関数になります。 ${\displaystyle a_{n+1}=(1+hf_{nh})a_{n}+hg_{nh}}$ ${\displaystyle h\to 0}$

一般同次線形回帰関係を解く

多くの同次線形回帰関係は、一般化超幾何級数によって解くことができる。これらの特殊なケースは、直交多項式や多くの特殊関数の回帰関係につながる。例えば、

${\displaystyle J_{n+1}={\frac {2n}{z}}J_{n}-J_{n-1}}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle J_{n}=J_{n}(z),}$

ベッセル関数、一方

${\displaystyle (b-n)M_{n-1}+(2n-b+z)M_{n}-nM_{n+1}=0}$

解決されるのは

${\displaystyle M_{n}=M(n,b;z)}$

合流型超幾何級数。多項式係数を持つ線型差分方程式の解である数列は、P再帰型と呼ばれます。これらの特定の再帰方程式に対しては、多項式解、有理数解、または超幾何解を求めるアルゴリズムが知られています。

定数係数を持つ一般的な非同次線形回帰関係を解く

さらに、定数係数を持つ一般的な非同次線形回帰関係については、パラメータの変化に基づいて解くことができる。^{[ 7 ]}

一次有理差分方程式を解く

一次有理差分方程式は の形をとります。このような方程式は、それ自体が線形に変化する別の変数の非線形変換 として書き表すことで解くことができます。そして、 における線形差分方程式を解くための標準的な手法を用いることができます。 ${\displaystyle w_{t+1}={\tfrac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$ ${\displaystyle w_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

安定性

線形高階再帰の安定性

順序の線形回帰、 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots +c_{d}a_{n-d},}$

特性方程式は

${\displaystyle \lambda ^{d}-c_{1}\lambda ^{d-1}-c_{2}\lambda ^{d-2}-\cdots -c_{d}\lambda ^{0}=0.}$

再帰は安定しており、これは、実数か複素数かに関係なく、固有値（つまり、特性方程式の根）の絶対値がすべて 1 未満である場合にのみ、反復が漸近的に固定値に収束することを意味します。

線形一次行列再帰の安定性

一次行列差分方程式では

${\displaystyle [x_{t}-x^{*}]=A[x_{t-1}-x^{*}]}$

状態ベクトルと遷移行列を持つ場合、遷移行列のすべての固有値（実数または複素数）の絶対値が 1 未満で ある場合にのみ、定常状態ベクトルに漸近収束します。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle A}$

非線形一次回帰の安定性

非線形一次回帰を考える

${\displaystyle x_{n}=f(x_{n-1}).}$

この回帰は局所的に安定であり、 の近傍におけるの傾きの絶対値が1より小さい場合、に十分近い点から固定点に収束することを意味する。つまり、 ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{*}}$

${\displaystyle |f'(x^{*})|<1.}$

非線形回帰には複数の固定点が存在する可能性があり、その場合、一部の固定点は局所的に安定し、その他の固定点は局所的に不安定になる可能性があります。連続fの場合 、2 つの隣接する固定点が両方とも局所的に安定することはできません。

非線形回帰関係は、周期のサイクルを持つこともできる。このようなサイクルは安定であり、合成関数が ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle g(x):=f\circ f\circ \cdots \circ f(x)}$

出現回数が同じ基準に従って局所的に安定している： ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle |g'(x^{*})|<1,}$

サイクル上の任意の点は どこですか。${\displaystyle x^{*}}$

カオス的再帰関係では、変数は有界領域に留まりますが、固定点や吸引サイクルに収束することはありません。方程式の固定点やサイクルは不安定です。ロジスティック写像、二項変換、テント写像も参照してください。 ${\displaystyle x}$

微分方程式との関係

常微分方程式を数値的に解く場合、典型的には漸化式に遭遇する。例えば、初期値問題を解く場合、

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\ \ y(t_{0})=y_{0},}$

オイラー法とステップサイズを用いて、値を計算する。 ${\displaystyle h}$

${\displaystyle y_{0}=y(t_{0}),\ \ y_{1}=y(t_{0}+h),\ \ y_{2}=y(t_{0}+2h),\ \dots }$

再発によって

${\displaystyle \,y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),t_{n}=t_{0}+nh}$

線形一次微分方程式のシステムは、離散化の記事に示されている方法を使用して、正確に解析的に離散化できます。

アプリケーション

数理生物学

最もよく知られている差分方程式のいくつかは、個体群動態をモデル化する試みに起源を持っています。例えば、フィボナッチ数はかつてウサギの個体群増加のモデルとして使われていました。

ロジスティック写像は、個体群増加を直接モデル化するために用いられる場合もあれば、より詳細な個体群動態モデルの出発点として用いられる場合もある。この文脈では、2つ以上の個体群の相互作用をモデル化するために、連立差分方程式がしばしば用いられる。例えば、宿主-寄生虫相互作用のニコルソン・ベイリーモデルは次のように表される 。

${\displaystyle N_{t+1}=\lambda N_{t}e^{-aP_{t}}}$

${\displaystyle P_{t+1}=N_{t}(1-e^{-aP_{t}}),}$

時点における宿主と寄生虫を表します。 ${\displaystyle N_{t}}$ ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle t}$

積分差分方程式は、空間生態学において重要な再帰関係の一種です。これらの差分方程式をはじめとする差分方程式は、単化個体群のモデル化に特に適しています。

コンピュータサイエンス

再帰関係はアルゴリズムの解析においても基本的な重要性を持つ。^{[ 8 ] [ 9 ]}アルゴリズムが問題を小さなサブ問題に分割するように設計されている場合（分割統治法）、その実行時間は再帰関係によって記述される。

簡単な例としては、最悪の場合、要素 を持つ順序付きベクトル内の要素を見つけるためにアルゴリズムが要する時間です。${\displaystyle n}$

単純なアルゴリズムでは、左から右へ、一度に1つの要素ずつ検索します。最悪のシナリオは、必要な要素が最後の要素である場合です。その場合、比較の回数は になります。 ${\displaystyle n}$

より優れたアルゴリズムは二分探索と呼ばれます。ただし、ソートされたベクトルが必要です。まず、要素がベクトルの中央にあるかどうかを確認します。そうでない場合は、中央の要素が探している要素より大きいか小さいかを確認します。この時点で、ベクトルの半分を破棄し、残りの半分に対してアルゴリズムを再度実行できます。比較回数は次のように与えられます。

${\displaystyle c_{1}=1}$

${\displaystyle c_{n}=1+c_{n/2}}$

その時間計算量は となります。 ${\displaystyle O(\log _{2}(n))}$

デジタル信号処理

デジタル信号処理において、再帰関係はシステム内のフィードバックをモデル化することができます。フィードバックでは、ある時点の出力が将来の時点の入力となります。したがって、再帰関係は無限インパルス応答（IIR）デジタルフィルタで用いられます。

たとえば、遅延の「フィードフォワード」IIRコム フィルタの式は次のようになります。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+\alpha y_{t-T},}$

ここで、 は時刻 における入力、は時刻 における出力、そして は遅延された信号が出力にどれだけフィードバックされるかを制御します。このことから、 ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+\alpha ((1-\alpha )x_{t-T}+\alpha y_{t-2T})}$

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+(\alpha -\alpha ^{2})x_{t-T}+\alpha ^{2}y_{t-2T}}$

等

経済

再帰関係、特に線形再帰関係は、理論経済学と実証経済学の両方で広く用いられている。^{[ 10 ] [ 11 ]} 特にマクロ経済学では、経済の様々な広範なセクター（金融セクター、財セクター、労働市場など）のモデルを構築し、一部の経済主体の行動が遅延変数に依存するようにする。そして、このモデルは、主要変数（金利、実質GDPなど）の現在値を、他の変数の過去値と現在値を用いて解くことになる。

参照

• 円の点と線の証明
• 組み合わせ原理
• 連分数
• ホロノミックシーケンス
• 無限インパルス応答
• 簡約公式による積分
• 反復関数
• 遅延フィボナッチジェネレータ
• マスター定理（アルゴリズムの分析）
• 数学的帰納法
• 直交多項式
• 再帰
• 再帰（コンピュータサイエンス）
• 時間スケール計算

参考文献

脚注

1. Jacobson, Nathan, Basic Algebra 2（第2版）、§0.4、16ページ。
2. S. BarnardとJM Child、 Higher Algebra （1936年）369ページ。「 au _n + bu _n−1 + cu _n−2 + ... + ku _n−r = lの形式の方程式は線形差分方程式と呼ばれます。」
3. CR Wylie, Advanced Engineering Mathematics (1960) 167ページ。「しかし、差分方程式の研究では、通常、 f (Δ) y = 𝜙( x ) という形式の方程式は考慮されず、 f ( E ) y = 𝜙( x )という形式の方程式が」。ここで、Δは差分演算子であり、 Eはシフト演算子である。
4. J. Bradley著『離散数学入門』（1988年）266ページ。「このテーマに関する古い文献では、主に差分方程式について論じられており、新しい文献では漸化式や再帰関係について論じられている。これは1950年代以降の数学的思考における重要な変化を反映している。差分方程式は主に微積分学の分野である微分方程式の近似として捉えられている。再帰方程式はそれ自体が重要な分野として捉えられている。名称の変化は、離散数学の重要性に対する認識の高まりを示唆している。」
5. 偏差分方程式、Sui Sun Cheng、CRC Press、2003年、 ISBN 978-0-415-29884-1
6. 「アーカイブコピー」（PDF）。2010年7月5日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2010年10月19日閲覧。
7. 定数係数を持つ非同次線形回帰関係のパラメータ変化に基づく解、Haoran Han、2025
8. Cormen, T. 他著『アルゴリズム入門』 MIT Press, 2009
9. R. Sedgewick、F. Flajolet著『アルゴリズム分析入門』 Addison-Wesley、2013年
10. ストーキー、ナンシー・L.、ルーカス、ロバート・E.・ジュニア、プレスコット、エドワード・C. (1989). 『経済動学における再帰的手法』ケンブリッジ：ハーバード大学出版局. ISBN 0-674-75096-9。
11. Ljungqvist, Lars ; Sargent, Thomas J. (2004). 『再帰的マクロ経済理論』（第2版）. Cambridge: MIT Press. ISBN 0-262-12274-X。

参考文献

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• ポリアニン、アンドレイ D. 「差分と関数方程式：方法」。EqWorld - 数式の世界。
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外部リンク

• 「再帰関係」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「再帰方程式」。MathWorld 。
• 「OEIS Index Rec」。OEISは、数千の線形回帰の例をインデックス化し、順序（項の数）とシグネチャ（定数係数の値のベクトル）でソートします。