運動学

運動学は物理学の分野であり、幾何学の一分野です。物理学において、運動学は物体の運動の幾何学的側面を、物体を動かす力とは独立に研究します。連結された機械部品などの拘束された運動も運動学と呼ばれます。幾何学において、運動学は位置、距離、角度などの幾何学的量の参照フレームに対する時間依存性を研究します。運動学が扱う最も頻繁には、これらの量の時間微分と量間の関係です。運動が研究される物体には、剛体運動をするユークリッド空間の点と部分集合が含まれます。

運動学は、物体の位置と速度の指定方法、およびそれらのシステム間の数学的変換を扱います。これらの座標系には、直交座標系のような直交座標系、極座標系のような曲線座標系、その他様々なものがあります。物体の軌道は、それ自体が基準となる基準に対して運動している他の物体を基準として指定されることもあります。回転座標系も用いられることがあります。

運動学における多くの実際的な問題には、機械的なリンク、ロープ、回転ディスクなどの制約が関係します。

概要

運動学は古典力学で発展した物理学と数学の分野であり、点、物体（オブジェクト）、物体のシステム（オブジェクトのグループ）の動きを、それらを動かす力を考慮せずに記述します。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}運動学は、物体に対する力の影響を研究する 力学（運動学とも呼ばれる） とは異なります。

運動学は学問分野としてしばしば「運動の幾何学」と呼ばれ、物体の質量やそれに作用する力を考慮することなく研究できるため、応用数学と純粋数学の両方の分野と見なされることがあります。 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}運動学の問題は、系の幾何学を記述し、系内の点の位置、速度、加速度の既知の値の初期条件を宣言することから始まります。次に、幾何学の議論を用いて、系の未知の部分の位置、速度、加速度を決定することができます。学者イブン・アル＝ハイサムは、著書『空間とその性質』の中で、幾何学と運動学を統一概念として扱った最初の人物として知られています。空間の特性を定量化するために、彼は物体が運動しているときと静止しているときの寸法を比較しました。^{[ 7 ]}

運動学を別の言い方で説明すると、物理システムの可能な状態を規定するものとみなすことができます。そして、力学はそのような状態を経てシステムが進化する過程を記述します。ロバート・スペッケンズは、この区分は経験的に検証できず、したがって物理的な根拠がないと主張しています。^{[ 8 ]}

運動学は天体物理学において、天体や天体の集合の運動を記述するために使用されます。機械工学、ロボット工学、生体力学においては、^{[ 9 ]}運動学は、エンジン、ロボットアーム、人間の骨格など、結合された部品（多リンクシステム）で構成されるシステムの運動を記述するために使用されます。

いわゆる剛体変換を含む幾何学的変換は、機械システムにおける構成要素の動きを記述するために用いられ、運動方程式の導出を簡素化します。また、幾何学的変換は動力学解析においても中心的な役割を果たします。

運動解析とは、運動を記述するために用いられる運動量を測定するプロセスです。例えば工学においては、運動解析を用いて与えられた機構の可動範囲を求め、逆に運動学的総合を用いて所望の可動範囲を持つ機構を設計することができます。^{[ 10 ]} さらに、運動学は代数幾何学を応用して、機械システムや機構の機械的利点を研究します。

相対論的運動学は、特殊相対性理論を物体の運動の幾何学に適用する。時間の遅れ、長さの収縮、ローレンツ変換を包含する。^{[ 11 ] : 12.8} 相対論的運動学は、空間点に時間座標が付加されて4元ベクトルを形成する時空幾何学において作用する。^{[ 12 ] : 221}

ヴェルナー・ハイゼンベルクは1925年の論文「運動学的および力学的関係の量子理論的再解釈について」で、量子系のために古典運動学を再解釈した。^{[ 13 ]}ディラックはハイゼンベルクの定式化と古典的なポアソン括弧の構造の類似性を指摘した。^{[ 14 ] : 143} 1927年のフォローアップ論文でハイゼンベルクは、速度やエネルギーなどの古典運動学の概念は量子力学でも有効であるが、共役な運動量と動力学的量のペアを同時に測定することはできないことを示した。彼はこの結果を不確定性と呼び、後に不確定性原理として知られるようになった。^{[ 15 ]}

語源

キネマティックという用語は、^A・M・アンペールのシネマティック[ ^{16 ]}の英語版であり、彼はギリシャ語のκίνημα kinema（「動き、動作」）からこれを構築した。κινεῖν kinein（「動く」）から派生した。^{[ 17 ] [ 18 ]}

Kinematicとcinématiqueはフランス語のcinémaと関連があるが、どちらも直接の派生語ではない。しかし、cinémaは「映写機とカメラ」を意味するcinématographeの短縮形から来ており、これもギリシャ語で「動き」を意味するγρᾰ́φω grapho（「書く」）に由来する。^{[ 19 ]}

非回転座標系における粒子軌道の運動学

古典粒子の運動量: 質量m、位置r、速度v、加速度a。

位置ベクトルrは常に原点から放射状を指します。

速度ベクトルvは常に運動の経路に接します。

加速度ベクトルa は、径方向の動きと平行ではなく、角加速度とコリオリの加速度によってオフセットされ、また、経路に接線でもなく、求心加速度と径方向の加速度によってオフセットされます。

平面極座標における運動ベクトル。設定は2次元空間に限定されず、任意の高次元平面にも適用できることに注意してください。

粒子運動学は、粒子の軌道を研究する学問です。粒子の位置は、座標系の原点から粒子への座標ベクトルとして定義されます。例えば、自宅から南に50m離れた塔を考えてみましょう。座標系は自宅を中心とし、東がX軸方向、北がY軸方向となります。この場合、塔の基部への座標ベクトルはr = (0 m, -50 m, 0 m)となります。塔の高さが50mで、この高さをZ軸に沿って測ると、塔の頂上への座標ベクトルはr = (0 m, -50 m, 50 m)となります。

最も一般的なケースでは、粒子の位置を定義するために3次元座標系が用いられます。しかし、粒子が平面内での移動に制限されている場合は、2次元座標系で十分です。物理学におけるすべての観測は、参照フレームを基準に記述しなければ不完全です。

粒子の位置ベクトルは、参照フレームの原点から粒子に向かって引かれたベクトルです。これは、点の原点からの距離と、原点からの方向の両方を表します。3次元では、位置ベクトルは次のように表すことができます 。 ここで、、、はそれぞれ直交座標系、、、、座標軸に沿った単位ベクトルです。位置ベクトルの大きさは、点と原点の間の距離を表します。 位置ベクトルの 方向余弦は、方向を定量的に表します。一般に、物体の位置ベクトルは参照フレームに依存し、異なるフレームでは位置ベクトルの値が異なります。 ${\displaystyle {\bf {r}}}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\mathbf {x} }}+y{\hat {\mathbf {y} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$$

粒子の軌道は時間のベクトル関数 であり、移動する粒子が描く曲線を定義します。曲線は で与えられます。ここで 、、、およびは、粒子の位置の各座標を時間の関数として表します。 ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle z(t)}$

移動距離は常に変位以上になります。

速度と速さ

粒子の速度は、粒子の運動の方向と大きさを表すベクトル量です。より数学的に言えば、点の位置ベクトルの時間に対する変化率が、その点の速度です。粒子の 2 つの位置の差 (変位) を時間間隔で割ることによって形成される比率を考えます。この比率はその時間間隔での平均速度と呼ばれ、次のように定義されます。ここで、 は時間間隔 における変位ベクトルです。時間間隔が 0 に近づく限界では、平均速度は、位置ベクトルの 時間微分として定義される瞬間速度に近づきます。 したがって、粒子の速度はその位置の時間変化率です。さらに、この速度は、粒子の経路に沿ったすべての位置で粒子の軌跡に接します。非回転座標系では、座標方向の微分は、その方向と大きさが定数であるため考慮されません。 $${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

物体の速度は、その速度の大きさです。これはスカラー量です。 ここで 、は粒子の軌道に沿って測った弧長です。この弧長は粒子が移動するにつれて必ず増加します。したがって、は非負であり、速度も非負であることを意味します。 $${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},}$$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}}$

加速度

速度ベクトルは、大きさと方向の両方、あるいは両方を同時に変化させることができます。したがって、加速度は、速度ベクトルの大きさの変化率と方向の変化率の両方を考慮します。粒子の位置に関して速度を定義する際に用いられるのと同じ論理が、速度にも適用され、加速度を定義できます。粒子の加速度は、速度ベクトルの変化率によって定義されるベクトルです。時間間隔における粒子の平均加速度は、比として定義されます。 ここで、Δ vは平均速度、Δ tは時間間隔です。 $${\displaystyle \mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$

粒子の加速度は、時間間隔がゼロに近づくにつれて平均加速度の限界となり、これは時間微分である。 $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

あるいは、 $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

したがって、加速度は、その粒子の速度ベクトルの一次微分と位置ベクトルの二次微分です。回転しない座標系では、座標方向の微分は考慮されません。なぜなら、それらの方向と大きさは定数だからです。

物体の加速度の大きさは、その加速度ベクトルの大きさ | a | です。これはスカラー量です。 $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}$$

相対位置ベクトル

相対位置ベクトルとは、ある点と別の点の相対的な位置を定義するベクトルです。これは2点の位置の差です。ある点Aと別の点Bの相対的な位置は、単にそれらの位置の差です。

${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}}$

これは、位置ベクトルの成分間の差です。

点Aに位置成分がある場合${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}$

そして点Bには位置成分がある${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}$

点Aと点Bの相対的な位置は、それらの成分間の差になります。${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

相対速度

古典力学における 2 つの粒子間の相対速度。

ある点と別の点の相対的な速度は、単純にそれらの点の速度の差、 つまりそれらの点の速度の成分の差です。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}$$

点A に速度成分があり、点Bにも速度成分がある場合、点Bに対する点Aの速度は、それらの成分の差になります。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

あるいは、相対位置ベクトルr _B/Aの時間微分を計算することによって同じ結果を得ることができます。

相対加速度

ある点Cの別の点Bに対する加速度は、単純にそれらの加速度の差です。 つまり、それらの加速度の成分の差です。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}$$

点Cに加速度成分があり 、点Bにも加速度成分がある場合、点Bに対する点C の加速度は、それらの成分の差になります。${\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

位置、速度の初期条件が既知であると仮定すると、最初の積分によって粒子の速度が時間の関数として得られる。^{[ 20 ]}${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (\tau )\,{\text{d}}\tau }$$

変位、速度、加速度、時間の間には、さらに関係式を導くことができます。加速度が一定の場合、 上記の式に代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}$$

明示的な時間依存性のない速度、位置、加速度の関係は、平均加速度を時間に対して解き、代入して簡略化することで得られる。

$${\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}$$

$${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,}$$ ここで、はドット積を表します。これは、積がベクトルではなくスカラーであるため適切です。 ${\displaystyle \cdot }$ $${\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

ドット積は、ベクトル間の角度αのコサイン(詳細については ドット積の幾何学的解釈を参照) とベクトルの大きさで置き換えることができます。その場合、次のようになります。$${\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

加速度が常に運動の方向にあり、運動の方向が正か負のどちらかである場合、ベクトル（α）間の角度は0なので、となり、 これはベクトルの大きさの表記法を使って簡略化できる。ここで、一定の接線加速度がその経路に沿って適用されるので、任意の曲線経路をとることができる。 ${\displaystyle \cos 0=1}$ $${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$ ${\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r}$ ${\displaystyle \Delta r}$ $${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}$$

これにより、粒子の媒介変数運動方程式は、速度と位置の直交座標系における関係式に簡約されます。この関係式は、時間が未知の場合に有用です。また、またはは速度-時間グラフの下の面積であることも分かっています。^{[ 21 ]}${\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t}$ ${\displaystyle \Delta r}$

速度時間物理グラフ

上部の面積と下部の面積を足すことでが得られます。下部の面積は長方形で、長方形の面積は です。ここでは幅、は高さです。この場合、 および（ここでの は加速度 とは異なります）。つまり、下部の面積は です。次に上部の面積（三角形）を求めましょう。三角形の面積は です。ここでは底辺、 は高さです。^{[ 22 ]}この場合、およびまたは です。 と を式に追加すると になります。[ 23 ^]この式は、最終速度vが未知の場合に適用できます。 ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle A\cdot B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=t}$ ${\displaystyle B=v_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle tv_{0}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B=t}$ ${\displaystyle H=at}$ ${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle v_{0}t}$ ${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \Delta r}$ ${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$

図 2: 不均一な円運動の速度と加速度: 速度ベクトルは軌道に対して接線方向ですが、加速度ベクトルは回転速度を増加させる接線方向成分a _θがあるため、半径方向内側にはなりません: d ω /d t = | a _θ |/ R。

円筒極座標における粒子の軌跡

粒子の軌跡r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) をX - Y平面上の極座標を用いて定式化すると便利な場合が多い。この場合、速度と加速度は便利な形をとる。

粒子Pの軌道は、固定された基準系Fにおいて測定された座標ベクトルrによって定義されることを思い出してください。粒子が移動すると、その座標ベクトルr ( t ) は軌道を描きます。この軌道は空間上の曲線であり、次式で表されます。 ここで、 x̂、ŷ、ẑはそれぞれ基準系Fのx 軸、y軸、z軸に沿った単位ベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$

r ( t ) = 一定である円筒の表面上のみを移動する粒子Pを考えます。この場合、固定座標系FのZ軸を円筒の軸と一致させることができます。そして、 x – y平面におけるこの軸の周りの角度θを用いて、軌道を次のように定義できます。 ここで、中心からの一定距離はrで表され、θ ( t ) は時間の関数です。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$

r ( t )の円筒座標は、初等微積分から得られる放射状および接線方向の単位ベクトル とそれらの時間微分を導入することで簡略化できます。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }},\quad {\hat {\mathbf {\theta } }}=-\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t}}=\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(\omega {\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=\alpha {\hat {\mathbf {\theta } }}-\omega ^{2}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t}}=-\omega {\hat {\mathbf {r} }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(-\omega {\hat {\mathbf {r} }})}{{\text{d}}t}}=-\alpha {\hat {\mathbf {r} }}-\omega ^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}.}$$

この表記を用いると、r ( t ) は次の式で表される。 一般に、軌道r ( t ) は円筒上を走るとは限らないため、半径Rは時間とともに変化し、円筒極座標における粒子の軌道は次のようになる。 ここで、 r、θ、z は連続的に微分可能な時間関数である可能性があり、簡略化のため関数表記は省略する。速度ベクトルv _Pは軌道r ( t )の時間微分であり、次の式で表される。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r(t){\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=v{\hat {\mathbf {r} }}+r\mathbf {\omega } {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v({\hat {\mathbf {r} }}+{\hat {\mathbf {\theta } }})+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

同様に、速度v _Pの時間微分である加速度a _Pは次のように表されます。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\hat {\mathbf {r} }}+v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\right)=(a-v\omega ){\hat {\mathbf {r} }}+(a+v\omega ){\hat {\mathbf {\theta } }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

経路上のその点における経路の曲率中心に向かう項は、一般に求心加速度と呼ばれます。この項はコリオリの加速度と呼ばれます。 ${\displaystyle -v\omega {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle v\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}}$

一定半径

粒子の軌道が円筒上を走るように制約されている場合、半径rは一定であり、速度ベクトルと加速度ベクトルは単純化される。速度v _Pは軌道r ( t )の時間微分である。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

平面円軌道

車輪上の各粒子は平面的な円軌道を描いて移動する（機械の運動学、1876年）。^{[ 24 ]}

円柱上の粒子軌道の特殊なケースは、Z軸に沿った動きがない場合に発生します。 ここで、rとz ₀は定数です。この場合、速度v _{P は}次のように与えられます。 ここで、は円柱の Z軸周りの単位ベクトルθ ^{^}の角速度です。$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},}$$ ${\displaystyle \omega }$

粒子Pの加速度a _Pは次のよ​​うに表されます。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

これらの成分は 、それぞれ加速度の半径方向成分と接線方向成分と呼ばれます。 $${\displaystyle a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,}$$

角速度と角加速度の表記は次のように定義されることが多い ため、円軌道の半径方向および接線方向の加速度成分も次のように表記される。 $${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$$ $${\displaystyle a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .}$$

平面上を移動する物体の点の軌跡

機械システムの構成要素の動きは、各部品に参照フレームを取り付け、それらの相対的な動きを決定することによって解析されます。部品の構造剛性が十分であれば、それらの変形は無視でき、この相対的な動きを定義するために剛体変換を使用することができます。これにより、複雑な機械システムの各部品の運動の記述は、各部品の形状と、各部品と他の部品との相対的な幾何学的関係を記述する問題へと簡略化されます。

幾何学とは、空間が様々な方法で変換されても図形の性質が変わらないかどうかを研究する学問であり、より専門的には、一連の変換に対する不変量を研究する学問です。^{[ 25 ]}これらの変換は、三角形の頂点角と頂点間の距離を変えずに、平面内で三角形を移動させることがあります。運動学はしばしば応用幾何学と呼ばれ、機械システムの運動をユークリッド幾何学の剛体変換を用いて記述します。

平面上の点の座標は、R ²（二次元空間）における二次元ベクトルである。剛体変換とは、任意の二点間の距離を保存する変換である。n次元空間における剛体変換の集合は、 R ⁿ上の特殊ユークリッド群と呼ばれ、SE( n )と表記される。

変位と動き

ボルトン＆ワット蒸気エンジン（1784）の各コンポーネントの動きは、連続した一連の剛体変位によってモデル化されます。

機械システムにおける一方の構成要素の、他方の構成要素に対する相対的な位置は、一方の構成要素に、固定されたもう一方の構成要素Fに対して相対的に移動する参照系（例えばM ）を導入することによって定義されます。M のFに対する剛体変換、すなわち変位は、 2つの構成要素の相対的な位置を定義します。変位は、回転と並進の組み合わせで構成されます。

Fに対するMのすべての変位の集合は、 Mの構成空間と呼ばれます。この構成空間内のある位置から別の位置への滑らかな曲線は、Fに対するMの運動と呼ばれる、連続した変位の集合です。物体の運動は、連続した回転と並進の集合で構成されます。

行列表現

平面R ²における回転と並進の組み合わせは、同次変換と呼ばれる3×3行列の一種で表すことができます。3×3同次変換は、2×2回転行列A ( φ ) と2×1並進ベクトルd = ( d _x , d _y ) から次のように 構成されます。 これらの同次変換は、平面z = 1 上の点、つまり座標r = ( x , y , 1 ) の点に対して剛体変換を実行します。 $${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

特に、r は、固定座標系Fと一致する参照座標系M内の点の座標を定義します。Mの原点がFの原点に対して並進ベクトルdだけ移動し、 Fの x 軸に対して角度 φ だけ回転すると、 M内の点のFにおける新しい座標は次のように与えられます。 $${\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

同次変換はアフィン変換を表す。この定式化は、平行移動がR ²の線型変換ではないため必要となる。しかし、射影幾何学を用いると、R ^{2 は}R ³の部分集合とみなされ、平行移動はアフィン線型変換となる。^{[ 26 ]}

純粋な翻訳

剛体が、その基準系M が固定系Fに対して回転しない（θ = 0 ）ように運動する場合、その運動は純粋並進運動と呼ばれます。この場合、剛体上のすべての点の軌道は、 Mの原点の軌道d ( t )からのオフセットであり、すなわち次の式となります。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .}$$

したがって、純粋に並進運動する物体の場合、物体内の 各点Pの速度と加速度は次のように表されます。 ここで、点は時間に関する微分を表し、v _Oとa _Oはそれぞれ移動フレームMの原点における速度と加速度です。Mの座標ベクトルpは定数であるため、その微分はゼロであることを思い出してください。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\dot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P}={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\ddot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {a} _{O},}$$

固定軸を中心とした物体の回転

図1：角速度ベクトルΩは、右手の法則に従って、反時計回りの回転では上向き、時計回りの回転では下向きになります。角度位置θ ( t )は時間とともにω ( t ) = dθ / dtの速度で変化します。

遊び場のメリーゴーランド、換気扇、蝶番付きのドアなどの物体は、単一の固定軸を中心に回転する剛体としてモデル化することができます。^{[ 27 ]：37} 慣例によりz軸が選択されました。

位置

これにより、平面座標系Mの、この共通のz軸を中心とした固定座標系Fに対する角度位置として回転を記述することが可能になります。Mの座標p = ( x , y )は、 Fの座標P = ( X , Y )と次の行列方程式 によって関連付けられます。$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$$

ここで 、は時間の関数として Fに対するM の角度位置を定義する回転行列です。$${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}$$

速度

点pがM内で移動しない場合、Fにおけるその速度は次のように表される。 座標pを消去し、これを軌道P ( t ) 上の操作として記述すると便利である。 ここで、行列は Fに対するM の角速度行列と呼ばれる。パラメータωは角度θの時間微分であり、次の式で表される。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ $${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.}$$

加速度

FにおけるP ( t )の加速度は速度の時間微分として得られ、 これは次のように表される。 ここで 、はFにおけるM の角加速度行列であり、 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ $${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.}$$

回転の説明には次の 3 つの量が含まれます。

• 角度位置：回転軸上の選択された原点から物体の点までの方向距離は、その点の位置を示すベクトルr ( t ) です。ベクトルr ( t ) は、回転軸に垂直な平面上に投影された（または、それと同等の成分）r _⊥ ( t ) を持ちます。この場合、その点の角度位置は、基準軸（通常は正のx軸）からベクトルr _⊥ ( t ) までの、既知の回転方向（通常は右手の法則によって与えられます）における角度θです。
• 角速度: 角速度ωは、時間tに対する角度位置θの変化率です。図 1 では、角速度は、回転軸に沿ったベクトルΩで表され、大きさはωで、方向は右手の法則に従って回転方向によって決まります。$${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}$$
• 角加速度：角加速度αの大きさは、角速度ωが時間tに対して変化する速度である。$${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}}$$

並進運動学の方程式は、単純な変数の交換により、一定の角加速度に対する平面回転運動学に簡単に拡張できます。 $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$$ $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$$

ここで、θ _iとθ _fはそれぞれ初期および最終の角度位置、ω _iとω _fはそれぞれ初期および最終の角速度、αは一定の角加速度です。空間における位置と空間における速度はどちらも（回転時の特性の観点から）真のベクトルですが、角速度と同様に、角度自体は真のベクトルではありません。

3次元的に移動する物体の点軌跡

運動学における重要な公式は、運動物体内の点が三次元空間で軌道を描く際の速度と加速度を定義します。これは特に物体の重心において重要であり、ニュートンの運動の第二法則またはラグランジュの方程式を用いて運動方程式を導く際に用いられます。

位置

これらの式を定義するために、機械システムのコンポーネントBの運動は、回転[A( t )]と並進d ( t )]の集合を同次変換[T( t )]=[A( t ), d ( t )]に組み込むことによって定義されます。pを、移動参照フレームMで測定されたB内の点Pの座標とすると、この点がFで描く軌跡は次のように表されます。 この表記法では、 P = (X, Y, Z, 1)とP = (X, Y, Z) を区別しませんが、文脈から明らかであると考えられます。$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Pの軌道に関するこの式を逆にすると、 Mの座標ベクトルp を次のように計算できます。 この式では、回転行列の転置はその逆行列でもあるという事実を利用しています。つまり、 $${\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}$$

速度

点Pの軌跡P ( t ) に沿った速度は、この位置ベクトルの時間微分として得られます。 点は時間に関する微分を表します。p は定数なので、その微分はゼロです。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

この式は、固定座標系Fで測定された軌道P ( t ) に作用することで、 Pの速度を求めるように修正できます。速度方程式に pの逆変換を代入すると、次の式が得られます。 行列 [ S ] は次のように与えられます。 ここで 、は角速度行列です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}$$

演算子 [ S ] を掛けると、速度v _Pの式は次のようになります。 ここで、ベクトルωは行列 [Ω] の要素から得られる角速度ベクトルです。ベクトルは、 移動フレームMの原点Oに対するP の位置です。ベクトルは、 原点O の速度です。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}$$

加速度

運動する物体Bの点Pの加速度は、その速度ベクトルの時間微分として得られる。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

この式は、まず計算して展開することができ 、 $${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

加速度A _Pの式は次のように得られます。 または、 ここでαは角速度ベクトルの導関数から得られる角加速度ベクトル、 は相対位置ベクトル（移動フレームMの原点Oに対するPの位置）、は 移動フレームM の原点の加速度です。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}$$

運動学的制約

運動学的拘束とは、機械システムの構成要素の動きに対する拘束です。運動学的拘束には、(i) ヒンジ、スライダー、カムジョイントなどから生じる拘束で、システムの構造を定義するホロノミック拘束と、(ii) 平面上のアイススケートのナイフエッジ拘束や、平面に接触した円盤や球が滑らずに転がるといったシステムの速度に課される拘束の2つの基本的な形態があります。以下に一般的な例を示します。

運動学的カップリング

運動学的結合は6 つの自由度すべてを正確に制約します。

滑らずに転がる

滑らずに表面を転がる物体は、その重心の速度が接触点から重心へのベクトルと角速度の 外積に等しいという条件に従います。$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$$

傾いたり回転したりしない物体の場合、これは になります。 ${\displaystyle v=r\omega }$

伸縮しないコード

これは、張力を受け、長さを変えることができない理想的な紐で物体が接続されているケースである。制約条件は、紐のすべての部分の長さの合計が全長であり、したがってこの合計の時間微分はゼロであるということである。^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}この種の力学の問題としては振り子がある。別の例としては、伸縮しない紐で縁に取り付けられた重りが落下し、重力によって回転するドラムがある。^{[ 31 ]}この種の平衡問題（つまり運動学的な問題ではない問題）としては懸垂線がある。^{[ 32 ]}

運動学的対偶

ルーローは、機械を構成する部品間の理想的な連結を運動学的対偶と呼んだ。彼は、2つのリンク間に線接触があると言われる高次の対偶と、リンク間に面接触がある低次の対偶を区別した。J.フィリップスは、この単純な分類に当てはまらない対偶を構築する方法が数多くあることを示している。^{[ 33 ]}

下のペア

下側ペアとは、移動する立体（三次元）内の点、線、または面と、固定された立体内の対応する点、線、または面との接触を維持する理想的なジョイント、またはホロノミック拘束です。以下のケースがあります。

• 回転対偶、またはヒンジジョイントでは、移動体の直線（軸）が固定体の直線と共線を保ち、かつ移動体のこの直線に垂直な面が固定体の同様の垂直面と接触している必要があります。これにより、リンクの相対運動には5つの拘束が課せられ、したがって1つの自由度、すなわちヒンジの軸を中心とした純粋な回転運動が与えられます。
• 直動ジョイント（スライダー）では、移動体の直線（軸）が固定体の直線と共線を保ち、かつ移動体のこの直線に平行な面が固定体の同様の平行面と接触している必要があります。これにより、リンクの相対的な動きに5つの拘束が課せられ、1つの自由度が与えられます。この自由度は、直線に沿ったスライドの距離です。
• 円筒ジョイントでは、移動体の直線（軸）が固定体の直線と同一直線上になければなりません。これは回転ジョイントとスライドジョイントを組み合わせたものです。このジョイントは2つの自由度を持ちます。移動体の位置は、軸を中心とした回転と軸に沿ったスライドの両方によって定義されます。
• 球面ジョイント（ボールジョイント）では、移動体の一点が固定体の一点と接触し続ける必要があります。このジョイントは3つの自由度を持ちます。
• 平面関節では、移動体の平面が固定体の平面と接触する必要があります。この関節は3つの自由度を持ちます。

より高いペア

一般的に、高次の対偶とは、移動体の曲線または面が固定体の曲線または面との接触を維持することを要求する拘束条件です。例えば、カムとその従動子間の接触は、カムジョイントと呼ばれる高次の対偶です。同様に、2つの歯車のかみ合い歯を形成するインボリュート曲線間の接触もカムジョイントです。

運動連鎖

1876年の『機械の運動学』に掲載された4節リンク機構の図

剛体（「リンク」）が運動学的な対偶（「ジョイント」）によって連結されたものは、運動連鎖と呼ばれます。機構やロボットは、運動連鎖の例です。運動連鎖の自由度は、可動性の公式を用いて、リンクの数とジョイントの数および種類から計算されます。この公式は、与えられた自由度を持つ運動連鎖のトポロジーを列挙するためにも使用でき、これは機械設計における型合成として知られています。

例

N個のリンクとj 個のヒンジまたはスライディング ジョイント から組み立てられた平面 1 自由度リンク機構は次のとおりです。

• N = 2、j = 1 : レバーとなる 2 節リンク機構。
• N = 4、j = 4：4リンク機構。
• N = 6, j = 7 : 6節リンク機構。これは3つの関節を支える2つのリンク（「三元リンク」）を持つ必要があります。2つの三元リンク機構の接続方法によって、2つの異なるトポロジーが存在します。ワットトポロジーでは、2つの三元リンクは共通の関節を持ちます。スティーブンソントポロジーでは、2つの三元リンクは共通の関節を持たず、2元リンクによって接続されます。^{[ 34 ]}
• N = 8、j = 10 : 16 種類のトポロジを持つ 8 節リンク機構。
• N = 10、j = 13 : 230 種類のトポロジを持つ 10 節リンク機構。
• N = 12、j = 16: 6,856 のトポロジを持つ 12 節リンク機構。

より大きなチェーンとそのリンクトポロジーについては、RP Sunkari とLC Schmidt の「Mckay 型アルゴリズムの適応による平面運動チェーンの構造合成」、Mechanism and Machine Theory #41、pp. 1021–1030 (2006) を参照してください。

参照

• 欠席
• 加速度
• アフィン幾何学 § 運動学
• 解析力学
• 応用力学
• 天体力学
• 求心力
• 古典力学
• 距離
• 力学（物理学）
• 架空の力
• 順方向運動学
• 4節リンケージ
• 逆運動学
• ジャーク（物理学）
• ケプラーの法則
• 運動学的カップリング
• 運動図
• 運動学的統合
• 運動学（物理学）
• 運動（物理学）
• 軌道力学
• 静力学
• 速度
• 積分運動学
• チェビシェフ・グルブラー・クッツバッハ基準

参考文献

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さらに読む

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• エドゥアルト・スタディ（1913）DHデルフェニッチ訳「解析運動学の基礎と目的」。

外部リンク

• 1D運動学のJavaアプレット
• Physclips:ニューサウスウェールズ大学のアニメーションとビデオクリップによる力学。
• Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL) には、コーネル大学の機械システムの何百もの動作モデルの動画と写真、および機械設計とエンジニアリングに関する古典的なテキストの電子書籍ライブラリが掲載されています。
• 運動学的コンポーネントによるマイクロインチ位置決め