ADHM構築

数理物理学とゲージ理論において、ADHM構築またはモナド構築とは、マイケル・アティヤ、ウラジミール・ドリンフェルド、ナイジェル・ヒッチン、ユーリ・I・マニンが論文「インスタントンの構築」の中で 行った、線形代数の手法を用いたすべてのインスタントンの構築です

ADHMデータ

ADHM構築では以下のデータを使用します。

• k次元とN次元の複素ベクトル空間VとW
• k  ×  k複素行列B ₁、B ₂、k  ×  N複素行列I、N  ×  k複素行列 J、
• 実際の 瞬間マップ${\displaystyle \mu_{r}=[B_{1},B_{1}^{\dagger }]+[B_{2},B_{2}^{\dagger }]+II^{\dagger }-J^{\dagger }J,}$
• 複雑なモーメントマップ${\displaystyle \displaystyle \mu_{c}=[B_{1},B_{2}]+IJ.}$

そしてADHM構成は、ある規則性条件が与えられた場合、

• B ₁、B ₂、I、Jが与えられ、 SU( N )ゲージ理論においてインスタントン数kの反自己双対インスタントンが構成できる。${\displaystyle \mu_{r}=\mu_{c}=0}$
• このようにして、すべての反自己双対インスタントンを得ることができ、U( k )回転までの解と1対1に対応する。U( k)回転は、随伴表現の各Bと、基本表現および反基本表現を介してIとJに作用する。
• インスタントンのモジュライ空間上の計量は、 B、 I、J上の平坦計量から継承されたものです。

一般化

非可換インスタントン

非可換ゲージ理論では、ADHM構成は同一ですが、モーメント写像は 時空の非可換行列と単位行列の積の自己双対射影に等しく設定されます。この場合、ゲージ群がU(1)であってもインスタントンが存在します。非可換インスタントンは、1998年に ニキータ・ネクラーソフとアルバート・シュワルツによって発見されました ${\displaystyle {\vec {\mu}}}$

渦

B ₂とJをゼロに設定すると、超対称ゲージ理論における非可換渦の古典的なモジュライ空間が得られます。このモジュライ空間は、色とフレーバーの数が等しいため、渦、インスタントン、ブレーンで実証されています。より多くのフレーバーへの一般化は、「ヒッグス相におけるソリトン：モジュライ行列アプローチ」で示されました。どちらの場合も、スクォーク凝縮を決定するフェイエ・イリオポロス項 は、実モーメント写像における非可換性パラメータの役割を果たします。

構成式

xを四元数表記 で書かれた4次元ユークリッド時空座標とする${\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

2 k  × ( N  + 2 k ) 行列 を考える

${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

すると、条件は因数分解条件と等しくなります ${\displaystyle \displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$

${\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}$ ここでf ( x )はk × kのエルミート行列である。

すると、エルミート射影演算子Pは次のよ​​うに構築できる。

${\displaystyle P=\Delta ^{\dagger}{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}$

Δ( x ) の零空間は、一般のxに対してN次元である。この零空間の基底ベクトルは、直交化条件U ^† U = 1 を満たす ( N  + 2 k ) ×  N行列U ( x ) に組み立てることができる 。

Δの階数に関する正則性条件は完全性条件を保証する。

${\displaystyle P+UU^{\dagger }=1.\,}$

反自己双対接続はUから次の式によって 構築される。

${\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}$

参照

• モナド（ホモロジー代数）
• ツイスター理論

参考文献

• アティヤ、マイケル・フランシス(1979)、ヤン・ミルズ・フィールドの幾何学、ピサ高等師範学校、ピサ、MR  0554924
• マイケル・フランシス・アティヤ;ドリンフェルド, バージニア州;ヒッチン, ニュージャージー州;マニン、ユーリ・イワノビッチ(1978)、「インスタントンの構築」、Physics Letters A、65 (3): 185–187、Bibcode : 1978PhLA...65..185A、doi : 10.1016/0375-9601(78)90141-X、ISSN  0375-9601、MR  0598562
• Hitchin, N. (1983)、「モノポールの構築について」、Commun. Math. Phys. 89、145–190。