行動原則

作用原理は、古典力学から量子力学、素粒子物理学、一般相対性理論に至るまで、物理学の基礎となるものです。 [ 1 ]作用原理は^{、物理系を記述する}ラグランジアンと呼ばれるエネルギー関数から始まります。系の2つの状態間のこのエネルギー関数の累積値は作用と呼ばれます。作用原理は、変分法を作用に適用します。作用はエネルギー関数に依存し、エネルギー関数は系内の位置、運動、相互作用に依存します。作用の変化により、ベクトルや力を使わずに運動方程式を導出できます。

いくつかの異なる作用原理は、初期条件と終了条件の制約において異なります。作用原理の名称は時とともに変化し、経路の終点や変化の性質など、細部が異なります。量子作用原理は、古くから存在する古典的原理が量子干渉パターンの直接的な結果であることを示すことで、それらを一般化し、正当化します。作用原理は、ファインマン版の量子力学、一般相対性理論、そして量子場の理論の基礎となっています。

作用原理は物理学の幅広い分野に応用されており、古典力学の多くの問題、特に量子力学や一般相対性理論といった現代の問題に広く適用されています。これらの応用は、この方法の威力と数学的発展の進展に伴い、2世紀以上にわたって積み重ねられてきました。

この記事では、アクション原則の概念を紹介し、概念と具体的な原則の詳細を説明した他の記事を要約します。

共通の概念

作用原理は、ニュートン力学の「微分」アプローチではなく、「積分」アプローチです。^[2]^：162中核となる考え方は、エネルギー、経路、経路に沿ったラグランジアンと呼ばれるエネルギー関数、および「作用」、つまり経路に沿ったラグランジアンの連続的な和または積分に応じた経路の選択に基づいています。

力ではなくエネルギー

相互作用する物体の科学である力学の入門研究は、通常、力の概念に基づくニュートンの法則から始まります。力は、質量に加えられたときに生じる加速度によって定義されます。この力学へのアプローチは、空間と時間内の単一の点に焦点を当て、「次に何が起こるか」という質問への答えを試みます。^{[3]作用原理に基づく力学は、問題の物理的性質によって定義される、}運動エネルギーと位置エネルギー間のエネルギーのトレードオフである作用の概念から始まります。これらのアプローチは、開始点と終了点に関する質問に答えます。バスケットボールをゴールに入れる軌道はどれですか? 今日ロケットを月に打ち上げた場合、5日後にどのように着陸できますか? ^[3]ニュートンの形式と作用原理の形式は同等であり、どちらでも同じ問題を解くことができますが、適切な形式を選択すると解決がはるかに簡単になります。 $F=ma.$

作用原理におけるエネルギー関数は、全エネルギー（孤立系では保存される）ではなく、運動エネルギーと位置エネルギーの差であるラグランジアンである。運動エネルギーは系内のすべての物体の運動エネルギーを統合する。位置エネルギーは物体の瞬間的な位置に依存し、物体の運動を駆動する。物体の運動は、物体を新たな位置と新たな位置エネルギー値に置き、ラグランジアンに新たな値を与える。^[4]^{: 125}

力ではなくエネルギーを使用すると、力学の基礎としてすぐに利点が得られます。力の力学は、シナリオ内の各オブジェクトに対して3つの空間座標と3つの運動量座標を使用する3次元ベクトル計算を含みます。エネルギーはすべてのオブジェクトからの情報を組み合わせたスカラー量であり、多くの場合、すぐに単純化されます。力の成分は座標系によって異なりますが、エネルギーの値はすべての座標系で同じです。^[5]^{: xxv}力には慣性フレームが必要です。^[6]^{: 65}速度が光速に近づくと、特殊相対性理論が力に基づく力学に大きな影響を与えます。作用原理では、相対性理論は異なるラグランジアンのみを必要とします。原理自体は座標系に依存しません。^[7]

点ではなくパス

力に基づく力学の説明図は通常、運動量中心のような一点に焦点を当て、力と速度のベクトルを示します。作用に基づく力学の説明図では、2つの点と、それらを結ぶ実際の経路と可能な経路が示されます。^[8]これらの図式的慣習は、それぞれの手法の異なる長所を繰り返し強調しています。

作用原理に応じて、図中の経路で結ばれた2点は、異なる時間における2つの粒子の位置を表す場合もあれば、配置空間または位相空間における値を表す場合もあります。作用原理の数学的技術と用語は、物理空間の観点から考えることで習得でき、その後、より強力で一般的な抽象空間に応用することができます。

パスに沿ったアクション

行動原理は、2点間の各経路に数値（行動）を割り当てます。この数値は、経路の各小区間のエネルギー値に、その区間で費やされた時間を乗じて算出されます。^[8]

アクション

S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\text{KE}}(t)-{\text{PE}}(t)\right)\,dt,

ここで、運動エネルギー（）と位置エネルギー（）の式の形は物理問題に依存し、経路上の各点におけるそれらの値は、その点に対応する相対座標に依存します。エネルギー関数はラグランジアンと呼ばれ、単純な問題では、運動エネルギーから系の位置エネルギーを差し引いた値となります。 ${\text{KE}}$ ${\text{PE}}$

パスの変化

古典力学では、2点間を移動する系は特定の経路を辿り、他の類似経路は辿らないとされます。考えられる経路はそれぞれ、作用の値に対応しています。作用原理は、特定の経路がとる場合、系の作用の値が定常であることを予測または説明します。つまり、とる経路に近い類似経路は、作用値が非常に近くなります。この作用値の変化が、作用原理の鍵となります。

量子力学では、あらゆる可能な経路が系の挙動に振幅を与え、各振幅の位相はその経路に対する作用によって決定される（位相 = 作用/ ）。古典経路は、以下の理由から出現する：^[^要出典^] ${\textstyle \hbar }$

定常作用の経路の近くでのみ、隣接する経路は同様の位相を持ち、建設的な干渉につながる。
隣接する経路は位相が急速に変化し、他の経路に干渉する。

問題の規模がプランク定数（古典的限界）よりもはるかに大きい場合、定常動作経路のみが干渉を生き残ります。 ${\textstyle \hbar }$

この記号は経路の変化を示すために使用され、動作原理は数学的に次のように表されます。 $\delta$

(\delta S)_{C}=0,

は、静止点において、ある固定された制約条件の下での作用の変化がゼロであることを意味する。^[9]^{: 38} 作用原理では、静止点は最小値または鞍点となることはあるが、最大値にはならない。^[10]楕円惑星軌道は、作用が等しい 2 つの経路 (軌道の各方向に 1 つずつ) の簡単な例を提供する。どちらも最小値、つまり「最小作用」にはならない。^[2]^{: 175}によって暗示される経路変化は、のような微分と同じではない。作用積分は物体の座標に依存し、これらの座標はとられる経路に依存する。したがって、作用積分は関数、つまり関数の関数である。 $S$ $C$ $\delta$ $dt$

保全の原則

ノイマンの定理として知られる幾何学からの重要な結果は、ラグランジアンにおける任意の保存量は連続対称性を意味し、その逆もまた真であると述べている。^[11]例えば、時間に依存しないラグランジアンはエネルギー保存則を持つシステムに対応し、空間並進非依存性は運動量保存則を意味し、角回転不変性は角運動量保存則を意味する。^[12]^{: 489} これらの例は、独立性自体が空間や時間に依存しないグローバル対称性である。より一般的な、空間や時間に関数的に依存するローカル対称性は、ゲージ理論につながる。^{[13]観測された}アイソスピン保存則は、 1953 年にヤン・チェンニンとロバート・ミルズによって中間子のゲージ理論を構築するために使用され、数十年後の現代の素粒子物理学の理論につながった。^[14]^{: 202}

明確な原則

作用原理は、基礎物理学のすべてを含む、幅広い物理的問題に適用されます。唯一の大きな例外は、摩擦が関与する場合、または初期位置と速度のみが与えられている場合です。^[3]作用原理によって、その変分に対する意味は異なります。作用原理のそれぞれの具体的な適用には、その物理学を記述する特定のラグランジアンが必要です。これらの原理の一部またはすべては、「最小作用の原理」と呼ばれる一般的な名称で呼ばれています。これらの原理の名称と歴史的起源については、作用原理の名称を参照してください。

エネルギーが保存された固定エンドポイント

全エネルギーと端点が固定されている場合、モーペルテュイの最小作用原理が適用されます。たとえば、バスケットボールで得点するには、ボールはシューターの手を離れてフープを通過しなければなりませんが、飛行時間は制約されません。^{[3]モーペルテュイの最小作用原理は、数学的には}短縮作用（と書かれることもある）上の定常条件として書かれます。ここで、は粒子の運動量または一般座標の共役運動量であり、次式で定義されます。ここで、はラグランジアンです。教科書によっては^[15]^{: 76}^[9]^{: 356}をと書いて、この形式の作用原理で使用される変分がハミルトンの変分とは異なることを強調しています。ここでは、全エネルギーは変分の間固定されていますが、時間は固定されておらず、ハミルトンの原理に対する制約の逆です。^[16]その結果、同じ経路と終点が 2 つの形式で異なる時間とエネルギーをとります。モーペルテュイの原理のこの形式の場合の解は軌道、つまり座標同士を関連付ける関数であり、時間は単なるインデックスまたはパラメータである。^[16] $(\delta W)_{E}=0$ $W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} ,$ $S_{0}$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N})$ $p_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},$ $L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$ $(\delta W)_{E}=0$ $\Delta S_{0}$ $E$

時間に依存しないポテンシャル; 力なし

時間不変系の場合、作用はエネルギーと時間差に対して^[9]^{: 434}のように定常経路上の簡約作用と単純に関係する。正味の力が作用しない剛体の場合、作用は同一であり、変分原理はフェルマーの最小時間原理と等価となる。 ^[9]^{: 360} $S$ $W$ $\Delta S=\Delta W-E\Delta t$ $E$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ $\delta (t_{2}-t_{1})=0.$

固定イベント

物理学の問題が 2 つの端点を位置と時間、つまりイベントとして与える場合、ハミルトンの作用原理が適用されます。たとえば、月への旅行の計画を想像してください。旅行中、月は地球の周りを軌道を描き続けます。月は動く標的です。位置にある物体に対するハミルトンの原理は、数学的には次のように記述されます。制約は、同じ時間がかかり、同じ 2 点とを接続する経路のみを考慮することを意味します。ラグランジアンとは、経路上の各点における運動エネルギーと位置エネルギーの差です。^[17]^{: 62}結果として得られる方程式の解は、世界線を与えます。^[3]ハミルトンの原理から始めて、固定エネルギーシステムに対して局所微分オイラー–ラグランジュ方程式を導くことができます。ハミルトンの原理における作用は、モーペルテュイの原理における作用のルジャンドル変換です。 ^[18] $\mathbf {q} (t)$ $(\delta {\mathcal {S}})_{\Delta t}=0,\ \mathrm {where} \ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt.$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ $\mathbf {q} (t_{1})$ $\mathbf {q} (t_{2})$ $L=T-V$ $\mathbf {q} (t)$ $S$

古典場の理論

粒子力学に有用な概念や多くの手法は連続場にも適用できます。作用積分はラグランジアン密度上を動きますが、両者の概念は非常に近いため、密度は単にラグランジアンと呼ばれることがよくあります。^[19]^{: 15}

量子作用原理

量子力学にとって、作用原理には大きな利点がある。必要なのは力学的公理が1つだけであり、作用に共変ラグランジアンが使用される場合、結果は相対論的に正しく、それらは明らかに古典的な同等物に移行する。^[2]^{: 128}

リチャード・ファインマンとジュリアン・シュウィンガーは共に、ポール・ディラックの初期の研究に基づいて量子作用原理を発展させた。ファインマンの積分法は変分原理ではなく、古典的な最小作用原理に帰着し、ファインマン図へと繋がった。シュウィンガーの微分アプローチは、微小な振幅の変化と微小な作用の変化を関連付ける。^[2]^{: 138}

ファインマンの作用原理

量子効果が重要になる場合は、新しい作用原理が必要となる。粒子が経路をたどるのではなく、量子力学では、ある時点と時間における確率振幅が、それより後の別の時点での確率振幅と関連して定義される。ここで、は古典作用である。^[20]定常作用を伴う単一の経路の代わりに、すべての可能な経路は、複素確率振幅で重み付けされた ( 上の積分 ) を加算する。振幅の位相は、作用をプランク定数または作用量子で割ることで与えられる。粒子の作用がよりもはるかに大きい場合、は経路に沿って位相が急速に変化し、振幅は平均して小さな数になる。^[8] このように、プランク定数は古典力学と量子力学の境界を設定する。^[21] $\psi (x_{k},t)$ $x_{k}$ $t$ $\psi (x_{k+1},t+\varepsilon )={\frac {1}{A}}\int e^{iS(x_{k+1},x_{k})/\hbar }\psi (x_{k},t)\,dx_{k},$ $S(x_{k+1},x_{k})$ $x_{k}$ $e^{iS/\hbar }$ $S/\hbar$ $\hbar$ $S/\hbar \gg 1$

量子作用原理においては、すべての経路が寄与する。経路が交わる終点では、位相が近い経路は加算され、位相の異なる経路は減算される。古典物理学から予想される経路に近い場合、位相は揃う傾向があり、この傾向は、作用の値が大きい質量の大きい物体ほど強くなる。古典極限では、一つの経路、すなわち定常作用の経路が支配的となる。^[22] $\pi$

シュウィンガーの作用原理

シュウィンガーのアプローチは、遷移振幅の変化をアクションマトリックス要素の変化に関連付けます。 $(q_{\text{f}}|q_{\text{i}})$

\delta (q_{r_{\text{f}}}|q_{r_{\text{i}}})=i(q_{r_{\text{f}}}|\delta S|q_{r_{\text{i}}}),

ここでアクション演算子は

S=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}L\,dt.

シュウィンガー形式は、ラグランジアン自体の変化、例えば潜在的ソース強度の変化の解析を特に明確にする。^[2]^{: 138}

光学機械のアナロジー

あらゆる経路において、作用積分は開始点のゼロから終了点の最終値まで値を徐々に増加させます。近傍の経路は、開始点から同様の距離で同様の値を持ちます。経路を横切るように、作用の一定部分値を持つ線または面を描くことで、作用の波のような図を作成できます。このような解析は、幾何光学における粒子のような光線とホイヘンス・フレネル原理の波面を結び付けます。

[モーペルテュイ] …こうして、光学現象と力学現象の間にある驚くべき類似性を指摘した。この類似性は、はるか以前にジョン・ベルヌーイによって観察され、後にハミルトンの独創的な光力学理論において完全に発展させられた。この類似性は、現代の波動力学の発展において根本的な役割を果たした。

— C.ランチョス^[5]^:136

アプリケーション

作用原理は、オイラー-ラグランジュ方程式^[9]^:44のような微分方程式を導出するために適用されたり、物理的問題への直接的な応用として適用されたりします。

古典力学

作用原理は、古典力学の多くの問題に直接適用できます。たとえば、荷重を受けた弾性棒の形状、^[23]^{: 9} 2枚の垂直板（毛細管）間の液体の形状、 ^[23]^{: 22} または支持部が動いているときの振り子の運動などです。^[23]^{: 39}

化学

量子作用原理は分子内の原子の量子理論（QTAIM）で使用されており、化学結合についての洞察を得る方法として、分子内の計算された電子密度を原子に分解する方法です。^[24]

一般相対性理論

アインシュタインの一般相対性理論の研究に触発されて、有名な数学者デイヴィッド・ヒルベルトは最小作用の原理を適用して一般相対性理論の場の方程式を導出した。^[25]^{: 186}彼の作用は現在アインシュタイン-ヒルベルト作用として知られている。

S={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,

相対論的に不変な体積要素とリッチスカラー曲率を含んでいた。スケール係数はアインシュタインの重力定数である。 ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ $R$ $\kappa$

その他のアプリケーション

作用原理は現代の物理学と数学において非常に中心的な役割を担っており、熱力学^[26]、^[27]、^[28] 流体力学^[29]相対性理論、量子力学^[30]素粒子物理学、弦理論^[31]など、幅広く応用されています。

歴史

この作用原理は、光学における初期の考えに先行する。古代ギリシャでは、ユークリッドは『カトプトリカ』の中で、鏡から反射する光の経路において、入射角は反射角に等しいと記している。^[32]後にアレクサンドリアのヘロンは、この経路が最短距離かつ最短時間であることを示した。^[33]

ピエール＝ルイ・モーペルチュイ、レオンハルト・オイラー、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによる最小作用の原理の定義に基づく初期の研究を基にして、^[34]^{: 580} ウィリアム・ローワン・ハミルトンはカール・グスタフ・ヤコビと協力してハミルトン・ヤコビ方程式として知られる古典力学の変分形式を開発した。^[35]^{: 201}

1915年、デイヴィッド・ヒルベルトは変分原理を応用してアルベルト・アインシュタインの一般相対性理論の方程式を導出した。^[36]

1933年、物理学者ポール・ディラックは、この原理の量子力学的根拠を振幅の量子干渉に見出すことで、この原理が量子計算にどのように応用できるかを実証した。 ^[37]その後、ジュリアン・シュウィンガーとリチャード・ファインマンが独立してこの原理を量子電気力学に応用した。^[38]^[39]

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