加法恒等式

数学において、加法の演算を備えた集合の加法単位元とは、その集合内の任意の要素xに加えるとxとなる要素のことです。最もよく知られている加法単位元の1つは初等数学における数0ですが、加法単位元は群や環など、加法が定義されている他の数学的構造にも現れます。

初等数学の例

• 初等数学でよく知られている加法単位元は0で、0と表記されます。例えば、

  ${\displaystyle 5+0=5=0+5.}$

• 自然数 （0${\displaystyle \mathbb {N} }$ が含まれる場合）、整数 、${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ 有理数、実数 、${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ 複素数において、加法単位元は0です。これは、これらの集合のいずれかに属する数nについて、 ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

  ${\displaystyle n+0=n=0+n.}$

正式な定義

を、+と表記される加法演算で閉じた群とします。Nの加法単位元（eと表記）は、Nの任意の元nに対して、となるようなNの元です。

${\displaystyle e+n=n=n+e.}$

その他の例

• 群の元であり、しばしば0と表記され、一意です（証明は下記を参照）。
• 環または体は加法演算で群となるため、これらも一意の加法単位元0を持ちます。これは、環（または体）が複数の元を持つ場合、乗法単位元1とは異なると定義されます。加法単位元と乗法単位元が同じ場合、環は自明です（下記で証明）。
• 環R上のm行n列行列の環M _{m × n} ( R )において、加法単位元は零行列^{[1]であり、} Oまたは0と表記され、Rの単位元0のみで構成されるm行n列行列です。例えば、整数上の2×2行列では、加法単位元は ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$

  ${\displaystyle 0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• 四元数では、0が加法単位元です。
• からの関数の環では、すべての数を0に写像する関数が加法単位元です。${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$
• のベクトルの加法群では、原点または零ベクトルが加法単位元です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

性質

加法単位元

( G , + )を群とし、Gの0と0 'はどちらも加法単位元を表すとします。したがって、Gの任意のgについて、

${\displaystyle 0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.}$

上記から次の式が成り立ちます

${\displaystyle {\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.}$

加法単位元は環の元を消滅させます

乗算演算が加算に対して分配するシステムにおいて、加法恒等式は乗法吸収元であり、S内の任意のsに対してs · 0 = 0が成り立つことを意味する。これは以下の理由から成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}}$

非自明な環では、加法単位元と乗法単位元は異なります。

R を環とし、加法単位元 0 と乗法単位元 1 が等しい、つまり 0 = 1 であると仮定します。rをRの任意の元とします。すると、

${\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0}$

Rが自明である、つまりR = {0}であることが証明されます。したがって、Rが自明でない場合には 0 は 1 と等しくないという逆説が示されます。

参照

• 0（数）
• 加法逆元
• 単位元
• 乗法単位元

参考文献

1. Weisstein, Eric W. "Additive Identity". mathworld.wolfram.com . 2020年9月7日閲覧。

参考文献

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra , Wiley (第3版): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

外部リンク

• PlanetMathにおける環における加法恒等式の一意性。