有界演算子

関数解析と作用素論において、有界線型作用素は特別な種類の線型変換であり、特に無限次元において重要です。有限次元において、線型変換は有界集合を別の有界集合に変換します（例えば、平面上の長方形は、線型変換を適用すると平行四辺形または有界線分に変換されます）。しかし、無限次元においては、線型性だけでは有界集合が有界のままであることを保証できません。したがって、有界線型作用素は、有界集合を有界集合に変換する線型変換です。

正式には、これは位相ベクトル空間(TVS)と の間の線型変換であり、の有界部分集合を の有界部分集合に写像します。 とがノルムベクトル空間(特別な種類の TVS)である場合、 が有界になるのは、すべて に対して となるようなものが存在する場合のみです。 そのような最小のものはの演算子ノルムと呼ばれ、 で表されます。 ノルム空間間の線型演算子が連続であるためには、それが有界である必要があります。 ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|.}$

有界線形演算子の概念は、ノルム空間からすべての位相ベクトル空間に拡張されています。

関数解析の分野以外では、関数が「有界」と呼ばれる場合、これは通常、その像がその余域の有界部分集合であることを意味します。線型写像がこの性質を持つのは、それが同一である場合のみです。したがって 、関数解析において、線型作用素が「有界」と呼ばれる場合、それは決してこの抽象的な意味（有界像を持つという意味）で使われることはありません。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle 0.}$

ノルムベクトル空間では

あらゆる有界演算子は、${\displaystyle 0.}$

有界性と連続性の同値性

ノルム空間間の線形演算子は、連続である場合に限り、有界となります。

証拠

が有界であると仮定する。すると、非零のベクトルすべてに対して、が成り立つ。 を零にすると、 がで連続であることが わかる 。さらに、定数はに依存しないので、は実際には一様連続であり、さらには でリプシッツ連続であることがわかる。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x,h\in X}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle \|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle L}$

逆に、零ベクトルにおける連続性から、を持つすべてのベクトルに対してが存在することが分かります 。したがって、すべての非零ベクトルに対して が成り立ちます 。 これはが有界であることを証明しています。QED${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1}$ ${\displaystyle h\in X}$ ${\displaystyle \|h\|\leq \varepsilon .}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \varepsilon }L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \varepsilon }\left\Vert L\left(\varepsilon {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \varepsilon }\cdot 1={1 \over \varepsilon }\|x\|.}$$ ${\displaystyle L}$

相対的な境界

二つの部分的に定義された線型演算子が与えられているとき、が によって相対的に有界である（または が-有界である）とは、 が存在して となるときそのときに限ります。そのような演算子すべての最小値はの相対的な - 上界です。^[1]${\displaystyle A:D(A)\subset X\to Y,B:D(B)\subset X\to Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(B)\subset D(A)}$ ${\displaystyle a,b\geq 0}$ $${\displaystyle \|Bx\|\leq a\|Ax\|+b\|x\|,\quad \forall x\in D(B)}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

ヒルベルト空間において

ヒルベルト空間は内積によって誘導されるノルムを持つ完備ノルム空間であるため、前述のことはここでも当てはまる。特に、ヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素の空間はC*-代数、特に作用素空間となる。作用素 T に対しては、有界性に関する様々な概念を定義することが可能である。 ${\displaystyle L(H)}$

例えば、T がすべての自然数 n に対して有界であるとき、T はべき乗有界と呼ばれます。この条件は当然 T が有界であることを意味しますが、逆は必ずしも真ではありません。 ${\displaystyle \|T^{n}\|_{L(H)}<\infty }$

もう一つの有界性条件は、多項式有界性である。L(H)上の演算子Tが多項式的に有界であるとは、閉単位円板上で定義されるすべての（解析的）多項式pに対して、Tのみに依存する正の定数が存在することを意味する。この条件もまた、べき乗有界性とノルム有界性を意味するが、逆は必ずしも真ではない。 ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \|p(T)\|_{L(H)}\leq K\sup _{|z|\leq 1}|p(z)|}$$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$

さらに、すべての（解析的）多項式行列とすべての自然数nに対して、正の定数Kが存在し、かつKが成り立つとき、演算子は完全に多項式的に有界であると呼ばれる。ここで、それぞれの行列ノルムは行列空間の構造によって自然に誘導され、多項式関数計算として理解することができる。すべての完全に多項式的に有界な演算子は、ノルム有界であるだけでなく、多項式的およびべき乗的にも有界であるが、その逆は一般には成り立たない。 ${\displaystyle T\colon H\to H}$ $${\displaystyle \|P(T)\|_{M_{n\times n}(B(H))}\leq K\sup _{|z|\leq 1}\|P(z)\|_{M_{n\times n}}}$$ ${\displaystyle P=(p_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle P(T)}$

完全に多項式的に有界な演算子の正の例としては、収縮演算子T ^[2] 、すなわちが成り立つ演算子があります。 $${\displaystyle \|T\|_{L(H)}\leq 1}$$

位相ベクトル空間では

2つの位相ベクトル空間（TVS）間の線型作用素は、が で有界であるときはいつでもが で有界であるとき、有界線型作用素または単に有界である と呼ばれる。TVSの部分集合は、原点のすべての近傍がその部分集合を吸収するとき、有界（より正確にはフォン・ノイマン有界）であると呼ばれる。ノルム空間（さらには半ノルム空間）において、部分集合がフォン・ノイマン有界であるためには、ノルム有界である必要がある。したがって、ノルム空間においては、フォン・ノイマン有界集合の概念は、通常のノルム有界部分集合の概念と同一である。 ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle Y.}$

連続性と境界性

TVS間のすべての逐次連続線型作用素は有界作用素である。^[3] これは、計量​​化可能なTVS間のすべての連続線型作用素が有界であることを意味する。しかし、一般に、2つのTVS間の有界線型作用素は連続である必要はない。

この定式化により、一般位相ベクトル空間間の有界作用素を、有界集合を有界集合に写す作用素として定義することができる。この文脈では、すべての連続写像が有界であることは依然として成立するが、その逆は成立しない。すなわち、有界作用素は必ずしも連続である必要はない。これはまた、この文脈において、有界性はもはやリプシッツ連続性と同値ではなくなることを意味する。

定義域がボルノロジー空間（例えば、擬似計量化可能なTVS、フレシェ空間、ノルム空間）である場合、他の任意の局所凸空間への線型作用素が有界となることと、それが連続となることは同値である。LF空間の場合、より弱い逆が成り立ち、LF空間からの任意の有界線型写像は順次連続となる。

が2つの位相ベクトル空間間の線型作用素であり、かつ における原点の近傍が存在し、 が の有界部分集合となる場合、は連続である。^[4] この事実は、しばしば、原点のある近傍で有界となる線型作用素は必然的に連続である、と要約される。特に、原点のある近傍で有界となる任意の線型関数は連続である（たとえその定義域がノルム空間でなくても）。 ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F}$

ボルノロジー空間

ボルノロジー空間とは、他の局所凸空間への任意の有界線型作用素が必然的に連続となるような局所凸空間のことである。すなわち、局所凸TVSがボルノロジー空間となることと、任意の局所凸TVSに対して線型作用素が連続となること、そしてそれが有界となることが同値である。^[5]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$

すべての規範化された空間は生まれながらのものである。

有界線形作用素の特徴

を位相ベクトル空間間の線型作用素とします（ハウスドルフ作用素とは限らない）。以下の2つは同値です。 ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$ （局所的に）有界である；^[5]
2. （定義）：その定義域の有界部分集合をその余域の有界部分集合に写像する。^[5]${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle F}$ 定義域の有界部分集合をその像 の有界部分集合に写像する。^[5]${\displaystyle \operatorname {Im} F:=F(X)}$
4. ${\displaystyle F}$ すべてのヌルシーケンスを境界付きシーケンスにマッピングする。^[5]
   • ヌルシーケンスは、定義上、原点に収束するシーケンスです。
   • したがって、原点で連続的に連続する任意の線型写像は、必然的に有界線型写像になります。
5. ${\displaystyle F}$ ^{あらゆるマッキー収束零列を[注1]}の有界部分集合に写像する。${\displaystyle Y.}$
   • 数列が原点にマッキー収束するとは、正の実数の発散数列が存在し、その数列が有界部分集合であるときである。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$

および が局所的に凸である場合、次のものをこのリストに追加できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. ${\displaystyle F}$ 有界円を有界円に写像する。^[6]
7. ${\displaystyle F^{-1}}$ の食肉円盤を^[6]の食肉円盤にマッピングする${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

がボルノロジー空間であり、局所的に凸である場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$ は、その定義域のいくつかの点（あるいは同等に、すべての点）において連続的である。^[7]
   • 2つのTVS間の連続線形写像は常に有界であるが^[3]、その逆は追加の仮定（領域が境界付きであり、余領域が局所的に凸であるなど）を必要とする。
   • 定義域も順次空間である場合、が連続する場合に限り、は順次連続です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
9. ${\displaystyle F}$ は原点において連続的に進行する。

例

• 2 つの有限次元ノルム空間間の任意の線形演算子は有界であり、そのような演算子はある固定行列による乗算として見ることができます。
• 有限次元ノルム空間上で定義された任意の線形演算子は有界です。
• 最終的にゼロとなる実数列のシーケンス空間 では、ノルムを考慮すると、シーケンスの合計を返す実数への線形演算子は、演算子ノルム 1 で有界になります。同じ空間をノルムで考慮すると、同じ演算子は有界になりません。${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• 多くの積分変換は有界線型作用素である。例えば、 が連続関数である場合、一様ノルムを持ち、かつ式 によって与えられる 空間に値を持つ連続関数の空間上で定義される作用素は 有界である。この作用素は実際にはコンパクト作用素である。コンパクト作用素は、有界作用素の重要なクラスを形成する。$${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[c,d]}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}$$
• ラプラス演算子 （その定義域はソボレフ空間であり、平方積分可能な関数の空間で値を取る）は有界です。$${\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}$$
• 実数列全体のLp空間上の片側シフト作用素は 有界である。その作用素ノルムは容易に次のように表せる。 ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$ $${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$$ ${\displaystyle 1.}$

非有界線形演算子

をノルムを 持つすべての三角多項式空間とする${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ],}$

$${\displaystyle \|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.}$$

多項式をその導関数に写す演算子は有界ではありません。実際、をとすると となり、となるので、は有界ではありません。 ${\displaystyle L:X\to X}$ ${\displaystyle v_{n}=e^{inx}}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,}$ ${\displaystyle \|v_{n}\|=2\pi ,}$ ${\displaystyle \|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty ,}$ ${\displaystyle L}$

有界線型作用素の空間の性質

からまでのすべての有界線形演算子の空間はで表されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

• ${\displaystyle B(X,Y)}$ ノルムベクトル空間です。
• がバナッハであれば、 もバナッハです。特に、双対空間はバナッハです。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$
• 任意の に対して、の核はの閉じた線形部分空間です。${\displaystyle A\in B(X,Y)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
• がバナッハであり、が非自明である場合、はバナッハです。${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

参照

• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 縮約（作用素論）  - 部分単位ノルムを持つ有界作用素
• 不連続線形マップ
• 連続線形作用素 – 位相ベクトル空間間の関数
• 局所的な有界性
• ノルム（数学）  - ベクトル空間における長さ
• 作用素代数 – 関数解析の分野
• 演算子ノルム – 線形演算子の「大きさ」の尺度
• 作用素論 – 数学の研究分野
• セミノルム – 数学関数
• 非有界演算子 – 稠密な線形部分空間上で定義された線形演算子

参考文献

1. 証明: 矛盾を避けるために、はに収束するが では有界ではないと仮定する。 において、 が数列を吸収しない、原点の開いた均衡のとれた近傍を選ぶ。 必要であれば部分列に置き換えても、一般性を失うことなく、すべての正の整数 に対して数列は原点にマッキー収束する ( はで有界であるため) と仮定することができる。したがって、すべての整数に対して となる実数を選ぶ。が整数であれば は均衡しているので、これは矛盾である。 QED この証明は容易に一般化でき、「 は有界である」のさらに強い特徴付けを与えることができる。例えば、「 は原点にマッキー収束する」の定義における「が の有界部分集合であるような」という語は、 「においてとなるような」に置き換えることができる。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle F\left(z_{i}\right)\in rV}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle i>r}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

1. Mortad, Mohammed Hichem (2022), Mortad, Mohammed Hichem (ed.), "Relative Boundedness" , Counterexamples in Operator Theory , Cham: Springer International Publishing, pp.  553– 566, doi :10.1007/978-3-030-97814-3_31, ISBN 978-3-030-97814-3
2. Paulsen, Vern編 (2003)、「完全正値写像」、完全有界写像と作用素代数、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、Cambridge: Cambridge University Press、pp.  26– 42、doi :10.1017/cbo9780511546631.004、ISBN 978-0-521-81669-4、2025年8月3日取得
3. Wilansky 2013、47～50頁。
4. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、156–175頁。
5. Narici & Beckenstein 2011、pp. 441–457。
6. Narici & Beckenstein 2011、p. 444。
7. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、451–457頁。

参考文献

• 「有界作用素」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• クレイジグ、エルウィン：『関数解析入門とその応用』、ワイリー、1989年
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114。