ノルムベクトル空間

数学的空間の階層。内積空間はノルムベクトル空間のサブセットであり、ノルムベクトル空間は計量空間のサブセットであり、計量空間は位相空間のサブセットである。

数学において、ノルムベクトル空間（ノルムベクトルかん、ノルムつきベクトルかん、ノルムつき空間）とは、通常実数または複素数上のベクトル空間であり、その上でノルムが定義されている。^[1]ノルムとは、物理世界における「長さ」という直観的な概念を一般化したものである。が上のベクトル空間であり、が または に等しい体である場合、 上のノルムは写像であり、通常 で表され、以下の4つの公理を満たす。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

1. 非負性: すべての に対して、。${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$
2. 正定値性: 任意の に対して、が零ベクトルである場合に限ります。${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$ ${\displaystyle x}$
3. 絶対同次性: すべてのおよびに対して、${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle x\in V}$ $${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. 三角不等式：任意のおよびに対して、${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in V}$ $${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

が上記のように実ベクトル空間または複素ベクトル空間であり、が上のノルムである場合、その順序付きベクトル空間はノルム付きベクトル空間と呼ばれます。文脈からどのノルムを意図しているかが明らかな場合は、ノルム付きベクトル空間を単に と表記するのが一般的です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$ ${\displaystyle V}$

ノルムは、 任意のノルムベクトル空間を計量空間と位相ベクトル空間に変換する公式によって 、距離（ノルム誘導計量）を誘導します。この計量空間が完備であれば、ノルム空間はバナッハ空間です。すべてのノルムベクトル空間はバナッハ空間に「一意に拡張」することができ、これによりノルム空間はバナッハ空間と密接に関連します。すべてのバナッハ空間はノルム空間ですが、その逆は成り立ちません。例えば、実数の有限列の集合はユークリッドノルムでノルム化できますが、このノルムに対しては完備ではありません。 $${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$

内積空間は、ベクトルとそれ自身の内積の平方根をノルムとするノルム付きベクトル空間である。ユークリッドベクトル空間のユークリッドノルムは、ユークリッド距離を次の式で 定義できる特別な場合である。$${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

ノルム空間とバナッハ空間の研究は、数学の主要な分野である関数解析の基本的な部分です。

意味

ノルムベクトル空間はノルムを備えたベクトル空間である。半ノルムベクトル空間は、半ノルムを備えたベクトル空間です。

三角不等式の便利なバリエーションは、 任意のベクトルと$${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

これはベクトルノルムが（一様）連続関数であることも示しています。

性質3は、スカラー体上のノルムの選択に依存します。スカラー体が（またはより一般的には の部分集合）のとき、これは通常、通常の絶対値とみなされますが、他の選択も可能です。例えば、 上のベクトル空間では、を -進絶対値とすることができます。 ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle p}$

位相構造

がノルムベクトル空間である場合、ノルムは計量（距離の概念）を誘導し、したがって上の位相を誘導します。この計量は自然な方法で定義されます。つまり、2 つのベクトルとの距離は、次のように与えられます。この位相は、連続となり、次の意味で の線型構造と互換性を持つ最も弱い位相です。${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V}$

1. ベクトルの加法はこの位相に関して共連続である。これは三角不等式から直接導かれる。${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$
2. のスカラー乗法（ただしは の基底スカラー体）は共連続である。これは三角不等式とノルムの同次性から導かれる。${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle V,}$

同様に、任意の半ノルムベクトル空間に対して、2つのベクトルとベクトル間の距離を と定義できます。これにより、半ノルム空間は擬距離空間（距離よりも弱いことに注意）となり、連続性や収束性といった概念の定義が可能になります。より抽象的に言えば、すべての半ノルムベクトル空間は位相ベクトル空間であり、したがって半ノルムによって誘導される 位相構造を持ちます。${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$

特に興味深いのは、完備ノルム空間、すなわちバナッハ空間である。任意のノルムベクトル空間は、何らかのバナッハ空間内の稠密部分空間として存在する。このバナッハ空間は本質的に一意に定義され、完備化と呼ばれる。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

同じベクトル空間上の2つのノルムは、それらが同じ位相を定義する場合、同値であると呼ばれます。有限次元ベクトル空間（無限次元ベクトル空間ではない）上では、すべてのノルムは同値です（ただし、結果として得られる計量空間は同じである必要はありません）^[2]。また、任意のユークリッド空間は完備であるため、すべての有限次元ノルム付きベクトル空間はバナッハ空間であると結論付けることができます。

ノルムベクトル空間が局所コンパクトとなるのは、単位球がコンパクトである場合に限ります。これは、が有限次元である場合に限ります。これは、リースの補題の結果です。（実際、より一般的な結果が成り立ちます。位相ベクトル空間が局所コンパクトとなるのは、それが有限次元である場合に限ります。ここでのポイントは、位相がノルムから来ると仮定していないことです。） ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle V}$

半ノルムベクトル空間の位相には多くの優れた性質がある。0の周りの近傍系 が与えられれば、他のすべての近傍系は 次の ように構成できる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$ $${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

さらに、原点には吸収集合と凸集合からなる近傍基底が存在する。この性質は関数解析において非常に有用であるため、この性質を持つノルムベクトル空間の一般化は局所凸空間という名前で研究されている。

位相ベクトル空間上のノルム（または半ノルム）が連続であるための必要十分条件は、に誘導する位相が（つまり、 ）よりも粗い場合であり、これは、に（おそらく、たとえば のような）開球が存在し、それが に（異なる、つまり である）開球である場合に限ります。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in \tau }$

正規化可能空間

位相ベクトル空間が ノルム可能と呼ばれるのは、標準計量が 上の位相を誘導するようなノルムが存在するときである。 次の定理はコルモゴロフによるものである：^[3]${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

コルモゴロフの規範可能性基準：ハウスドルフ位相ベクトル空間が規範可能であるのは、その凸フォン・ノイマン境界近傍が存在する場合のみである。${\displaystyle 0\in X.}$

ノルム可能空間の族の積がノルム可能であることと、その空間のうちの有限個のみが非自明である（すなわち、 である）ことが同値である。^[3]さらに、ノルム可能空間を閉ベクトル部分空間で割った商はノルム可能であり、さらにの位相がノルムで与えられる場合、で与えられる写像は上の明確に定義されたノルムとなり、上の商位相を誘導する^[4]${\displaystyle \neq \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$ ${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$ ${\displaystyle X/C}$ ${\displaystyle X/C.}$

がハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$ 規範的です。
2. ${\displaystyle X}$ 原点の有界近傍を持ちます。
3. の強双対空間 はノルム可能である。^[5]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
4. の強双対空間は計量化可能である。^[5]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

さらに、が有限次元である場合、かつ が規範可能である場合に限ります (ここで は弱 * 位相を備えていることを示します)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

テスト関数と超関数の空間に関する記事で定義されているフレシェ空間の位相は、ノルムの可算な族によって定義されますが、このノルムが誘導する位相が次の式に等しいようなノルムが存在しないために、ノルム可能空間ではありません。${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$

計量化可能な位相ベクトル空間がノルムの族によって定義される位相を持つとしても、それでもなおノルム可能空間ではない可能性がある（つまり、その位相は単一のノルムによって定義できない）。そのような空間の例としては、テスト関数と超関数の空間に関する記事で定義されるフレシェ空間 が挙げられる。なぜなら、その位相はノルムの可算な族によって定義されるが、このノルムが誘導する位相がに等しい上のノルムが存在しないために、それはノルム可能空間ではないからである 。実際、局所凸空間の位相が上のノルムの族によって定義される となることと、 上に少なくとも 1 つの連続ノルムが存在することは同値である^[6]。${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

線型写像と双対空間

2つのノルムベクトル空間間の最も重要な写像は、連続 線型写像である。これらの写像とともに、ノルムベクトル空間は圏を形成する。

ノルムはそのベクトル空間上の連続関数である。有限次元ベクトル空間間のすべての線型写像も連続である。

2つのノルム付きベクトル空間間の等長写像は、ノルム（すべてのベクトル の意味）を保存する線型写像です。等長写像は常に連続かつ単射です。ノルム付きベクトル空間と の間の射影等長写像は等長同型写像と呼ばれ、 とは等長同型と呼ばれます。等長同型のノルム付きベクトル空間は、実用上は同一です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

ノルムベクトル空間について話すとき、ノルムを考慮に入れるために双対空間の概念を拡張します。ノルムベクトル空間の双対は、 から基底体（複素数または実数）へのすべての連続線型写像の成す空間です。このような線型写像は「汎関数」と呼ばれます。汎関数のノルムは、 のすべての単位ベクトル（つまり、ノルム のベクトル）にわたるの上限として定義されます。これはノルムベクトル空間になります。ノルムベクトル空間上の連続線型関数に関する重要な定理は、ハーン・バナッハの定理です。 ${\displaystyle V^{\prime }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V^{\prime }}$

半ノルム空間の商空間としてのノルム空間

多くのノルム空間（特にバナッハ空間）の定義には、ベクトル空間上に定義された半ノルムが含まれ、そのノルム空間は半ノルムが零である元の部分空間による商空間として定義されます。例えば、空間では、 によって定義される関数は、 右辺のルベーグ積分が定義され有限 であるすべての関数のベクトル空間上の半ノルムです。しかし、ルベーグ測度零の集合上に支えられる任意の関数に対しては、半ノルムは零に等しくなります。これらの関数は部分空間を形成し、それを「商で取り出す」ことで零関数と等価になります。 ${\displaystyle L^{p}}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$

有限積空間

与えられた半ノルム空間は積空間を次のように 表す。 ここでベクトル加算は次のように定義され 、スカラー乗算は次のように定義される。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$ ${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$ $${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$ $${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

が 上の半ノルムと なる新しい関数を定義します。関数がノルムとなるのは、すべてがノルムである場合のみです。 ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{i}}$

より一般的には、各実数に対して、によって定義される 写像は 半ノルムである。各に対して、これは同じ位相空間を定義する。 ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$ ${\displaystyle p}$

初等線型代数を用いた直接的な議論から、有限次元半ノルム空間は、ノルム空間と自明な半ノルムを持つ空間との積空間として生じる空間のみであることが示される。したがって、半ノルム空間のより興味深い例や応用の多くは、無限次元ベクトル空間において生じる。

参照

• バナッハ空間、ノルムによって誘導される計量に関して完備なノルムベクトル空間
• Banach–Mazur COMPACTUM  – 機能解析における概念
• フィンスラー多様体では、各接ベクトルの長さはノルムによって決定される。
• 内積空間、ノルムが内積で与えられるノルム付きベクトル空間
• コルモゴロフの規範可能性基準 – 規範可能空間の特徴づけ
• 局所凸位相ベクトル空間- 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 空間（数学） - 何らかの構造が追加された数学的集合
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

参考文献

1. Callier, Frank M. (1991).線形システム理論. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X。
2. ケドラヤ、キランS.（2010）、p進微分方程式、ケンブリッジ高等数学研究、第125巻、ケンブリッジ大学出版局、CiteSeerX  10.1.1.165.270、ISBN 978-0-521-76879-5、定理1.3.6
3. Schaefer 1999、41ページ。
4. シェーファー 1999、42ページ。
5. Treves 2006、136–149、195–201、240–252、335–390、420–433。
6. ジャーコウ 1981年、130ページ。

参考文献

• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。数学ライトフェーデン。 [数学の教科書]。 BG トイブナー、シュトゥットガルト。ISBN 3-519-02224-9. MR  0632257。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• ステファン・バナハ（1932年）。 Théorie des Opérations Linéaires [線形演算の理論] (PDF)。 Monografie Matematyczne (フランス語)。 Vol. 1. ワルシャワ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej。Zbl  0005.20901。2014 年 1 月 11 日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2020年7月11日に取得。
• Rolewicz, Stefan (1987),関数解析と制御理論：線形システム、数学とその応用（東ヨーロッパシリーズ）、第29巻（ポーランド語からの翻訳：Ewa Bednarczuk編）、ドルドレヒト、ワルシャワ：D. Reidel出版社、PWN—Polish Scientific Publishers、pp. xvi+524、doi :10.1007/978-94-015-7758-8、ISBN 90-277-2186-6、MR  0920371、OCLC  13064804
• Schaefer, HH (1999).位相ベクトル空間. ニューヨーク, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの標準化空間に関連するメディア