時間の遅れとは、2つの時計で測定された経過時間の差のことです。これは、2つの時計間の相対速度（特殊相対性理論）、または2つの位置間の重力ポテンシャルの差（一般相対性理論）によって生じます。特に明記されていない場合、「時間の遅れ」は通常、速度による影響を指します。この遅れは、異なる慣性系で測定された事象間の「腕時計」の時計の読みを比較することで生じるものであり、動いている系間で時計を視覚的に比較することでは観察されません。

相対性理論のこれらの予測は実験によって繰り返し確認されており、 GPSやガリレオなどの衛星航法システムの運用など、実用的な関心事となっている。[1]

不可視

時間の遅れは、時計の読み値間の関係です。視覚的に観測される時計の読み値には、時計から観測者までの光の伝播速度による遅延が含まれます。したがって、時間の遅れを直接観測する方法はありません。時間の遅れの例として、0.86光速で通過する列車を測定する2人の実験者が、それぞれの時計に2秒の差が見られるのに対し、列車の機関士は実験者が通過した際にわずか1秒しか経過していないと報告する場合があります。列車の先頭にある時計を観測すると、全く異なる結果が得られます。列車からの光は、列車が通過するわずか0.27秒前には2番目の実験者に届かないからです。このように移動する物体が観測結果に与える影響は、ドップラー効果に関連しています。[2]

歴史

ローレンツ因子による時間の遅れは、20世紀初頭に複数の著者によって予言されていました。[3] [4] ジョセフ・ラーモア（1897）は、少なくとも原子核を周回する電子については、個々の電子が対応する軌道部分を[静止]系よりも短い時間で周回すると、その比率は：と書いています。[5]エミール・コーン（1904）は、この式を時計の速度と具体的に関連付けました。[6]特殊相対性理論の文脈では、アルバート・アインシュタイン（1905）がこの効果が時間の性質そのものに関係していることを示し、また彼はその相互性または対称性を初めて指摘しました。[7]その後、ヘルマン・ミンコフスキー（1907）が固有時の概念を導入し、時間の遅れの意味をさらに明確にしました。[8]

相対速度による時間の遅れ

青い時計のローカル座標系から見ると、動いている赤い時計の方が遅く進んでいると測定されます。[9]

特殊相対性理論によれば、慣性系における観測者にとって、観測者に対して相対的に動いている時計は、観測者の参照系において静止している時計よりもゆっくりと進むと測定されます。これは特殊相対論的時間の遅れと呼ばれることもあります。相対速度が速いほど、時計と観測者の間の時間の遅れは大きくなり、一方の時計が光速（299,792,458 m/s）に近づくと、時間は停止します。

理論上、時間の遅れは、高速で移動する乗り物に乗っている乗客が自身の時間のほんのわずかな時間で未来へ進むことを可能にする。速度が十分に高ければ、その効果は劇的となるだろう。例えば、1年間の移動は地球での10年に相当するかもしれない。実際、1Gの一定 加速度であれば、人間は一生のうちに既知の宇宙全体を旅することができる。 [10]

現在の技術では宇宙旅行の速度が著しく制限されているため、実際に経験される差はごくわずかです。国際宇宙ステーション（ISS）で地球を周回する宇宙飛行士は、約7,700m/sの速度で6ヶ月間滞在すると、地球上で過ごす場合よりも約0.005秒だけ若返ります。[11]セルゲイ・クリカレフとセルゲイ・アヴデーエフの宇宙飛行士は、地球上での経過時間と比較して、約20ミリ秒の時間の遅れを経験しました。[12] [13]

単純な推論

左：静止した観測者は、Aでの光信号生成とAへの光信号到達の共局所イベント間の時間2 L / cを測定します。
右：ミラーセットアップが右に移動するのを観測する観測者によるイベント：信号がt' = 0の時間に生成されたときの下のミラーA、信号がt' = D / cの時間に反射されたときの上のミラーB 、信号がt' = 2D / cの時間に戻ってくるときの下のミラーA [14]

時間の遅れは、特殊相対性理論の第二公理によって規定される、あらゆる基準系における光速度の観測的な不変性から推測できる。この光速度の不変性は、直感に反して、物質の速度と光の速度が加算されないことを意味する。光源に近づいたり遠ざかったりすることで、光速度を見かけ上速くすることは不可能である。[15] [16]

時間の相対性は、2枚の鏡AとBからなる抽象的な垂直時計に基づく思考実験で説明することができる。この鏡の間を光パルスが跳ね返る。[17]鏡の間隔はLであり、光パルスが鏡Aに当たるたびに時計は1回進む。時計が静止しているフレーム（図の左側を参照）では、光パルスは長さ2 Lの経路を描き、時計の刻み間の周期は2 Lを光速cで割った値に等しい。

時計の静止系（図の右側）に対して速度vで移動する観測者の参照系から見ると、光パルスはより長く、角度のついた経路2 Dを描いているように見えます。すべての慣性観測者にとって光速を一定に保つには、移動する観測者の視点からこの時計の刻み目間の周期を長く（つまり膨張させ）る必要があります。つまり、局所時計に対して移動する系で測定すると、刻み目間隔は 1/ で割った値になるため、この時計はより遅く動きます（つまり、刻み目が遅くなります）。

ピタゴラスの定理をそのまま適用すると、よく知られている特殊相対性理論の予測が導き出されます。

光パルスが経路をたどる合計時間は次のように求められます。

半経路の長さは、次のように既知の量の関数として計算できます。

これら 3 つの方程式から 変数DとLを消去すると、次のようになります。

時間の遅れの方程式

これは、移動する観測者から見た時計の周期が、時計自身の座標系における周期よりも長いという事実を表す。ローレンツ因子ガンマ（γ）は[18]で定義される。

静止フレームで共通の周期を持つすべての時計は、運動フレームから観測した場合にも共通の周期を持つはずなので、他のすべての時計（機械式、電子式、光学式（例の時計の同一の水平バージョンなど））は、同じ速度依存の時間の遅れを示すはずである。[19]

相互関係

横方向の時間の遅れ。青い点は光のパルスを表しています。光が「跳ね返る」2つの点のペアはそれぞれ時計です。それぞれの時計のグループの座標系では、もう一方のグループの時系列の方が遅く刻んでいるように測定されます。これは、動いている時計の光パルスが、静止している時計の光パルスよりも長い距離を移動する必要があるためです。2つの時計は同一であり、相対的な動きが完全に逆方向であるにもかかわらず、このようになります。

特定の参照フレームと、前述の「静止した」観測者が与えられた場合、2 番目の観測者が「動いている」時計に同行すると、それぞれの観測者は、互いの時計が自身の静止した参照フレームに対して動いているものとして計測するため、互いの時計が自身のローカル時計よりも遅い速度で動いていると計測します。

常識的に考えれば、運動する物体の時間の経過が遅くなると、その物体は外界の時間をそれに応じて速く観測するはずです。しかし、直感に反して、特殊相対性理論はその逆を予測します。二人の観測者が互いに相対的に運動している場合、それぞれの観測者は、自身の基準系における相対的な運動に合わせて、相手の時計が遅くなるのを観測します。

S 内の時計の時間 UV は S′ 内の Ux′ に比べて短く、S′ 内の時計の時間 UW は S 内の Ux に比べて短い。

これは自己矛盾しているように見えますが、日常生活でも同様の奇妙な現象が起こります。AとBという二人の人物が遠くから互いを観察すると、BはAにとって小さく見えますが、同時にAもBにとって小さく見えます。遠近法の効果をよく理解していれば、この状況に矛盾やパラドックスは存在しません。[20]

この現象の相互性は、いわゆる双子のパラドックスにもつながります。双子のうち、片方は地球に残り、もう片方は宇宙旅行に出発する者の老化を比較すると、相互性から、再会したときには両者は同じ年齢になっているはずであることが示唆されます。ところが、往復旅行の終わりには、宇宙旅行中の双子は地球にいる兄弟よりも若くなります。このパラドックスによって生じるジレンマは、状況が対称的ではないという事実によって説明できます。地球に残る双子は単一の慣性系にあり、宇宙旅行中の双子は 2 つの異なる慣性系、つまり行きと帰りの慣性系にあります。「双子のパラドックス § 加速の役割」も参照してください。

実験的テスト

動く粒子

  • 異なる速度におけるミューオンの寿命を比較することは可能である。実験室では低速ミューオンが生成され、大気中では宇宙線によって非常に高速に移動するミューオンが生成される。静止時のミューオン寿命を実験室値2.197μsとすると、光速の98%で移動する宇宙線生成ミューオンの寿命は約5倍長くなり、観測結果と一致する。一例として、ロッシとホール（1941年）は、山頂における宇宙線生成ミューオンの分布と海面で観測されるミューオンの分布を比較した。[21]
  • 粒子加速器で生成される粒子の寿命は、時間の遅れによって長くなります。このような実験では、「時計」とはミューオンの崩壊に至る過程にかかる時間であり、これらの過程は運動するミューオン自身の「時計速度」で進行します。この速度は実験室の時計よりもはるかに遅いものです。これは素粒子物理学において日常的に考慮されており、多くの専用測定が行われてきました。例えば、CERNのミューオン蓄積リングでは、γ = 29.327で周回するミューオンの寿命が64.378μsに遅れていることが分かり、0.9 ± 0.4 分の1千の精度で時間の遅れが確認されました。[22]

ドップラー効果

  • アイヴスとスティルウェル (1938, 1941) が述べたこれらの実験の目的は、ラモア・ローレンツのエーテル理論で予測される、エーテル中の運動による時間の遅れ効果を、陰極線のドップラー効果が適切な実験になるというアインシュタインの示唆を使って検証することだった。これらの実験では、真正面と真後ろから見たときに、陰極線から放射される放射線のドップラーシフトを測定した。検出された高周波数と低周波数は、古典的に予測された値ではなかった。移動する放射源からの放射線の高周波数と低周波数は、次のように測定された。[23]これは、アインシュタイン (1905) がローレンツ変換から推定したとおり、放射源がローレンツ因子だけ遅く移動しているときの値である。
  • ハッセルカンプ、モンドリー、シャーマン[24]（1979）は、視線に対して直角に移動する音源からのドップラーシフトを測定した。移動する音源からの放射の周波数間の最も一般的な関係は、アインシュタイン（1905）によって導かれたように、次式で表される。[25] ϕ = 90°（cos ϕ = 0 ）の場合、これはfdetected = frest γとなる。移動する音源からのこの低い周波数は、時間の遅れ効果に起因すると考えられ、しばしば横ドップラー効果と呼ばれ、相対性理論によって予測されていた。
  • 2010年には75メートルの光ファイバーで接続された光原子時計を使用して、毎秒10メートル未満の速度で時間の遅れが観測されました。[26]

固有時とミンコフスキー図

ミンコフスキー図と双子のパラドックス

右の最初の画像のミンコフスキー図では、慣性系S′にある時計Cが、S′にある時計Aとdで、そして時計Bとfで交差しています。3つの時計は同時にSで動き始めます。Aの世界線はct軸、fと交差するBの世界線はct軸と平行であり、Cの世界線はct′軸です。Sでdと同時に発生するすべての事象はx軸上にあり、S′ではx′軸上にあります。

二つの事象間の固有時刻は、両方の事象において存在する時計によって示される。[27]これは不変である。すなわち、すべての慣性系において、この時刻はその時計によって示されることが合意されている。したがって、間隔dfは時計Cの固有時刻であり、 Sにおける時計Bと時計Aの座標時刻ef=dgに対して短い。逆に、Bの固有時刻efはS′における時刻ifに対しても短い。なぜなら、同時性の相対性により、事象eはCが動き始めるずっと前に、時刻iにおいて既にS′において測定されていたからである。

そこから、2つの事象の双方に存在する非加速時計によって示される固有時刻は、他のすべての慣性系で測定された同期座標時刻と比較すると、常にそれらの事象間の最小時間間隔であることが分かる。しかし、2つの事象間の間隔は、両方の事象に存在する加速時計の固有時刻に対応する場合もある。2つの事象間のあらゆる可能な固有時刻において、非加速時計の固有時刻は最大であり、これが双子のパラドックスの解決策となる。[27]

導出と定式化

速度の関数としてのローレンツ因子（ c = 1の自然単位系）。速度が小さい場合（vがゼロに近づくにつれて）、γはほぼ1になることに注意してください。

上で使用した光時計に加えて、時間の遅れの式は、ローレンツ変換の時間部分からより一般的に導くことができる。[28]動く時計がとを示す2つの事象があるとすると 、

時計は慣性系内で静止しているので、 となり、間隔は次のように与えられます。

ここで、Δ tは、ある慣性系（たとえば、時計の刻み）にいる観測者にとっての2 つの共局在イベント（つまり、同じ場所で起こるイベント）間の時間間隔であり、固有時と呼ばれます。Δ t′は、前の観測者に対して速度vで慣性移動している別の観測者によって測定された、同じイベント間の時間間隔です。vは、観測者と移動する時計の相対速度です。cは光速です。ローレンツ因子（通常はギリシャ文字のガンマまたは γ で表されます）は次のとおりです。

このように、動いている時計の周期が長くなっていることが分かります。これは「遅く動いている」と測定されます。日常生活におけるこのような変動の範囲は、v ≪ cであり、宇宙旅行を考慮しても、容易に検出できる時間の遅れ効果を生み出すほど大きくはなく、このような無視できるほど小さな効果はほとんどの用途で安全に無視できます。おおよその閾値として、物体の速度が30,000 km/s（光速の1/10）に近づくと、0.5%の時間の遅れが重要になる可能性があります。[29]

双曲運動

特殊相対論では、相対速度が変化しない状況において、時間の遅れは最も簡単に説明されます。しかしながら、ローレンツ方程式を用いることで、測定期間全体を通して等速（すなわち等速度）運動する基準物体に対して単位質量あたりgに等しい力を受ける宇宙船という単純なケースについて、宇宙における固有時間と運動を計算することができます。

tを、後に静止系と呼ばれる慣性系における時刻とする。xを空間座標とし、一定加速度の方向と宇宙船の速度（静止系に対する相対速度）はx軸に平行とする。時刻t = 0における宇宙船の位置をx = 0、速度をv 0と仮定し、以下の略語を定義する。

以下の式が成り立つ：[30]

位置：

速度：

座標時間の関数としての固有時間:

v (0) = v 0 = 0 かつτ (0) = τ 0 = 0の場合、積分は対数関数として表すことができます。または、逆双曲線関数として表すことができます。

船の固有時間の関数として、次の式が成り立つ： [31]

位置：

速度：

固有時間の関数としての座標時間:

時計仮説

時計仮説とは、時計が時間の遅れの影響を受ける速度は、加速度ではなく瞬間速度のみに依存するという仮定である。これは、ある軌道に沿って移動する時計が、以下のように定義される固有時を測定するという仮定と同等である。

時計仮説は、1905年にアインシュタインが特殊相対性理論を初めて定式化した際に、暗黙的に（しかし明示的には）含まれていました。それ以来、時計仮説は標準的な仮定となり、特に粒子加速器における非常に高い加速度までの実験的検証を踏まえると、特殊相対性理論の公理にしばしば含まれています。[32] [33]

重力や加速による時間の遅れ

時間の遅れは、2つの時計が異なる加速後に異なる時刻を示す理由を説明します。例えば、国際宇宙ステーション（ISS）では時間が遅く進み、地球の12ヶ月ごとに約0.01秒遅れます。GPS衛星が機能するには、地球上のシステムと適切に連携するために、同様の時空の歪みを調整する必要があります。[1]

重力時間の遅れは、重力ポテンシャル井戸内の特定の高度において、観測者が自身の時計の経過時間が、より高度の高い（したがってより高い重力ポテンシャルを持つ）同じ時計よりも遅いことに気づく現象です。速度時間の遅れでは、両方の観測者が互いの時計の経過時間が遅くなると観測しますが（相互効果）、重力時間の遅れは相互効果ではありません。つまり、重力時間の遅れでは、両方の観測者が重力場の中心に近い時計の経過時間が遅いことに同意し、その差の比率についても同意します。[要出典]

重力による時間の遅れは、例えば国際宇宙ステーションの宇宙飛行士に作用します。宇宙飛行士の相対速度は彼らの時間を遅くしますが、彼らのいる場所では重力の影響が減少するため、程度は小さいものの、時間は速くなります。[要出典]また、登山者の時間は、理論的には海面にいる人よりも山頂ではわずかに早く流れます。

「地球の完全な自転を計測するために使用される時計は、基準ジオイドから高度が1km上昇するごとに、1日が約10ナノ秒/日長くなると計測します。」[34]ブラックホールの近く（ただし事象の地平線を越​​えない）など、極端な重力時間の遅れが起こっている宇宙領域への旅行は、ほぼ光速の宇宙旅行に類似した時間シフトの結果をもたらす可能性があります。

リチャード・ファインマンは講義の中で、時間の遅れにより地球の核は地殻よりも若いと示唆した。その後の計算では、核は45億年のうち2.5年若いことが示唆されている。[35]

実験的テスト

速度と重力による時間の遅れの複合効果

（円軌道半径r = rs / reの関数として、マイクロ秒単位で表した日周時間の遅れ（負の場合は増加、負の場合は減少）は、シュワルツシルト計量を用いて計算される、衛星軌道半径r = rs / reである。ここで、rsは衛星軌道半径、 reは赤道地球半径である。r ≈ 1.497 [注1] では時間の遅れは発生しない。ここでは、運動と重力減少の影響が打ち消される。国際宇宙ステーションの宇宙飛行士は下を飛行し、GPSと静止衛星は上を飛行する。[1]

高精度計時、低軌道衛星の追跡、パルサーのタイミングなどは、質量と運動の複合的な影響が時間の遅れを生み出すことを考慮する必要がある応用分野です。具体的な例としては、国際原子時標準と、惑星間物体に用いられる重心座標時標準との関係が挙げられます。

太陽系と地球における相対論的な時間の遅れ効果は、アインシュタイン場の方程式のシュワルツシルト解によって非常に正確にモデル化できる。シュワルツシルト計量では、区間は次のように与えられる: [38] [39]

どこ：

  • 固有時間の小さな増分（原子時計で記録できる間隔）である。
  • 座標（座標時間）の小さな増分であり、
  • 時計の位置の3つの座標の小さな増分である。
  • 近傍の質量によるニュートン重力ポテンシャルの合計を、時計からの距離に基づいて表します。この合計には潮汐ポテンシャルも含まれます。

時計の座標速度は次のように表されます。

座標時とは、あらゆる重力質量から無限に遠く離れた場所（ ）に位置し、座標系において静止している仮想的な「座標時計」で読み取られる時間である（ ）。速度の半径方向成分を持つ時計における固有時の速度と座標時の速度の正確な関係は以下の通りである。

どこ：

  • は視線速度であり、
  • 脱出速度は
  • 、およびは光速cのパーセンテージとしての速度です。
  • はニュートン力学のポテンシャルであり、したがって脱出速度の二乗の半分に等しくなります。

上記の式は、シュワルツシルト解の仮定の下では正確である。運動があり重力がない場合、速度時間の遅れ方程式に帰着し、すなわち となる。運動がなく重力がある場合、重力時間の遅れ方程式に帰着し、すなわち となる。

実験的テスト

円軌道高度における日々の時間の遅れを、その構成要素に分割して示しています。この図では、一般相対性理論を検証するために打ち上げられたのは重力探査機Aのみです。この図の他の宇宙船（ISSを除く。ISSの点の範囲は「理論」と記されています）は、一般相対性理論の妥当性に正しく動作するかどうかが重要な原子時計を搭載しています。
  • 1971年、ハーフェレとキーティングは、セシウム原子時計を民間航空機で地球の東西に飛ばし、米国海軍天文台に残された時計の経過時間と比較した。2つの相反する効果が働いた。時計は、旅行のほとんどの間、高い（弱い）重力ポテンシャルにあったため、基準時計よりも早く老化する（経過時間が長くなる）と予想された（パウンド・レプカの実験を参照）。しかしまた、対照的に、移動する時計は、その移動速度のため、よりゆっくりと老化すると予想された。各旅行の実際の飛行経路から、理論は、米国海軍天文台の基準時計と比較して、飛行中の時計は東行きの旅行中に40±23ナノ秒遅れ、西行きの旅行中に275±21ナノ秒進むはずであると予測した。アメリカ海軍天文台の原子時間スケールと比較すると、飛行時計は東行きの旅で59±10ナノ秒遅れ、西行きの旅で273±7ナノ秒進んだ（エラーバーは標準偏差を表す）。[40] 2005年、英国国立物理学研究所はこの実験の限定的な再現を報告した。 [41] NPLの実験は、セシウム時計の旅程がロンドンからワシントンD.C.への往復という点でオリジナルのものと異なっていたが、時計の精度はより高かった。報告された結果は、測定の不確かさの範囲内で、相対性理論の予測値の4%以内であった。
  • 全地球測位システムは、特殊相対論と一般相対論の両方において、継続的に稼働する実験と考えることができます。軌道上の時計は、前述のように特殊相対論と一般相対論の両方の時間の遅れ効果に対して補正されているため、（地球表面から観測すると）地球表面の時計と同じ速度で動きます。[42]

時間の遅れは予期せぬ性質を持つため、誤解されやすい。ある誤解では、時間の遅れは光時計、例えば多くの教科書でローレンツ変換の導出に用いられる「光時計」のような光時計にのみ適用され、機械式、原子式、あるいは生物式計時装置には適用されないとされている。この誤解は、地球を周回する原子時計を用いたハーフェレ・キーティング実験のような実験結果について誤った結論につながる可能性がある。[43]

この問題を解決するために、物理学者ヴァル・G・ルソーは「アインシュタインの猫」として知られる思考実験を提唱した。 [43]このシナリオでは、光時計と機械式ストップウォッチの同期を比較する架空の装置「同期か死か時計」が用いられる。猫の寿命は、異なる慣性系で分析した場合のこれら2つの時計の正確なタイミングに左右される。時間の遅れが光パルスにのみ適用され、機械式時計には適用されないと仮定すると、パラドックスが生じる。この誤った仮定の下では、猫は、猫に対して相対的に移動する観測者によってのみ死ぬと予想されることになる。この見かけ上の矛盾は、両方の時計が等しく相対論的な時間の遅れの影響を受けると認識すると解消される。これは、時間の遅れは時計の内部機構とは無関係に、特殊相対性理論の普遍的な特徴であるという基本原理を示している。

フィクションでは

速度と重力による時間の遅れは、様々なメディアのSF作品の主題となってきました。映画では、『インターステラー』や『猿の惑星』などがその例です。[44] 『インターステラー』では、回転するブラックホールに近い惑星が重要なプロットポイントとなっており、その表面では時間の遅れにより1時間が地球の7年に相当するとされています。[45]物理学者のキップ・ソーンはこの映画の制作に協力し、 『インターステラーの科学』という書籍でその科学的概念を解説しています。[46] [47]

クイーンの曲「39」は、天体物理学者でありミュージシャンでもあるブライアン・メイによって書かれたもので、人類が地球を徐々に破壊していく中で、人類の新たな故郷を探す宇宙飛行士たちに及ぼす時間の遅れの影響をテーマにしています。彼らは無事に帰還しますが、そこで彼らが知っていたすべてのものが、はるか昔に失われていたことに気づきます。

時間の膨張は、ドクター・フーのエピソード「World Enough and Time」と「The Doctor Falls 」で使用されており、これらのエピソードはブラックホール付近の宇宙船を舞台としている。ブラックホールの巨大な重力と宇宙船の長さ（400マイル）により、時間の進行は片側でもう片側よりも速くなる。ドクターの相棒であるビルが宇宙船の反対側に連れ去られたとき、彼女はドクターに救出されるまで何年も待つが、彼の時間では数分しか経過していない。[48]さらに、時間の膨張により、サイバーマンは以前の番組よりも「速い」速度で進化することができる。

ポール・アンダーソンの小説『タウ・ゼロ』は、 SF文学におけるこの概念の初期の例である。この小説では、宇宙船がブサード・ラムジェットエンジンを使って十分な速度まで加速し、乗組員は船内で5年間過ごすが、地球上では目的地に到着するまでに33年かかる。アンダーソンは、この速度による時間の遅れをタウ係数で説明している。タウ係数は、宇宙船が光速に近づくにつれてゼロに近づくため、小説のタイトルの由来にもなっている。 [49]ある事故により、乗組員は宇宙船の加速を止めることができなくなり、極端な時間の遅れが生じ、乗組員は宇宙の果てでビッグクランチを経験する。 [50]文学における他の例としては、『ロカノンの世界』、『ハイペリオン』、『永遠の戦争』などが挙げられる。これらも同様に、相対論的な時間の遅れを科学的に妥当な文学的手法として用い、特定の登場人物の老化が宇宙の他の部分よりも遅くなるようにしている。 [51] [52]

参照

脚注

  1. ^ 平均時間の遅れは軌道傾斜角に弱い依存性を示す（Ashby 2003, p.32）。r ≈ 1.497という結果は、[37]現代のGPS衛星の軌道傾斜角55度に相当する。

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さらに読む

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  • アインシュタイン、A. (1907)。 "Über die Möglichkeit einer neuen Prüfung des Relativitätsprinzips"。アンナレン・デア・フィジーク。328 (6): 197–198。書誌コード:1907AnP...328..197E。土井：10.1002/andp.19073280613。
  • ハッセルカンプ、D.モンドリー、E.シャーマン、A. (1979)。 「横ドップラーシフトの直接観察」。物理学の時代 A。289 (2): 151–155。書誌コード:1979ZPhyA.289..151H。土井：10.1007/BF01435932。S2CID  120963034。
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  • ウィキメディア・コモンズの「時間の遅れ」に関連するメディア
  • メリフィールド、マイケル. 「ローレンツ因子（および時間の遅れ）」. 60 Symbols .ブレイディ・ハラン（ノッティンガム大学）.