極限（圏論）

数学の一分野である圏論において、極限という抽象概念は、積、引き戻し、逆極限といった普遍構成の本質的な性質を捉える。双対的な余極限の概念は、素和、直和、余積、押し出し、直極限といった構成を一般化する。

極限と余極限は、強く関連した普遍性や随伴関手といった概念と同様に、高度な抽象度で存在します。これらを理解するには、まずこれらの概念が一般化しようとしている具体的な例を研究することが有用です。

意味

カテゴリ の極限と余極限は、 の図式によって定義されます。正式には、の形をした図式はからへの関手です。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle F:J\to C.}$

カテゴリはインデックス カテゴリとして考えられ、図はをパターン化したオブジェクトと射のコレクションをインデックスするものと考えられています。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$

最も関心を引くのは、圏が小さい、あるいは有限圏である場合です。図が小さい、あるいは有限であると言われるのは、いつでもその場合です。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

制限

カテゴリ における図形 の図式とします。への円錐は の対象と、の対象で添字付けされた射の族を組み合わせたもので、の任意の射に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{X}:N\to F(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}}$

図の極限はへの円錐であり、へのすべての円錐に対して のすべての に対して となる一意の射が存在する。 ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:N\to L}$ ${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

ユニバーサルコーン

錐 は、唯一の因数分解を持つ錐 を通して因数分解されると言われています。この射は媒介射と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

極限は普遍的な性質（詳細は後述）を持つため、普遍錐とも呼ばれます。他の普遍的な性質と同様に、上記の定義は一般性のバランスの取れた状態を表しています。つまり、極限対象は、あらゆる錐がそれを因数分解できるほど十分に一般化されている必要があります。一方で、あらゆる錐に対してそのような因数分解が1つしか存在しないほど十分に具体的である必要があります。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

極限は、 Fへの円錐のカテゴリ内の終端オブジェクトとして特徴付けることもできます。

図式に極限が全く存在しないこともあり得る。しかし、もし図式に極限が存在するならば、その極限は本質的に一意である。すなわち、同型写像が唯一である点を除いて一意である。このため、しばしばFの極限と呼ばれる。

余極限

極限と錐の双対概念は、余極限と余錐である。これらの定義は、上記の定義におけるすべての射を反転させることで簡単に得られるが、ここでは明示的に述べる。

図の余錐は射の族とともに ある対象である${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\to N}$

のあらゆる対象に対して、のあらゆる射に対して が成り立つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \psi _{Y}\circ F(f)=\psi _{X}}$

図の余極限とは、の余錐であり、の他の任意の余錐に対して、内のすべての に対してとなる一意の射が存在するようなものである。 ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:L\to N}$ ${\displaystyle u\circ \phi _{X}=\psi _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

ユニバーサルココーン

余極限は普遍余錐とも呼ばれる。余錐は からの余錐の圏における始対象として特徴付けられる。 ${\displaystyle F}$

極限と同様に、図に余極限がある場合、この余極限は一意の同型性を除いて一意です。 ${\displaystyle F}$

バリエーション

極限と余極限は、図を使わずにオブジェクトと射のコレクションに対して定義することもできます。定義は同じです（上記の定義では、における射の合成を使用する必要がなかったことに注意してください）。ただし、このバリエーションでは新しい情報は追加されません。任意のオブジェクトと射のコレクションは、（おそらく大きな）有向グラフを定義します。が生成する自由カテゴリをとれば、その像に が含まれる普遍図が存在します。この図の極限（または余極限）は、元のオブジェクトと射のコレクションの極限（または余極限）と同じです。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle G}$

弱極限と弱余極限は、媒介射の一意性プロパティが削除されることを除いて、極限と余極限と同様に定義されます。

例

制限

極限の定義は、実務上有用な様々な構成を包含できるほど一般化されている。以下では、図式F  : J → Cの極限 ( L , φ ) を考える。

• 終端対象。J が空圏である場合、 Jの形をした図式はただ一つ、すなわち空図式（集合論における空関数に類似）のみが存在する。空図式の錐は本質的にCの対象に過ぎない。Fの極限は、他のすべての対象によって一意に因数分解される任意の対象である。これは終端対象の定義に過ぎない。
• 積。J が離散圏であるならば、図式Fは本質的にJで添え字付けされたCの対象の族に他ならない。Fの極限Lはこれらの対象の積と呼ばれる。円錐φは、積の射影と呼ばれる射影の族φ _X  : L → F ( X )。例えば集合の圏では、積は直積で与えられ、射影は様々な因子への自然な射影に過ぎない。
  • べき乗。積の特別なケースとして、図式FがCのオブジェクトXへの定数関数である場合が挙げられます。この図式の極限はXのJ^乗と呼ばれ、X ^Jと表記されます。
• イコライザー。Jが2つの対象と、一方の対象から他方の対象への2つの平行射を持つ圏である場合、 Jの形をした図式はCにおける平行射のペアであるこのような図式の極限L は、それらの射のイコライザーと呼ばれる。
  • カーネル。カーネルはイコライザーの特殊なケースであり、その射の 1 つがゼロ射です。
• プルバック。FをCから3 つの対象X、 Y、 Zを取り出す図式とする。ここで、非恒等射はf  : X → Zとg  : Y → Zのみである。Fの極限Lはプルバックまたはファイバー積と呼ばれる。これは可換平方としてうまく視覚化できる。

• 逆極限。Jを有向集合（ i ≥ jのときに限り、 i → jへの矢印を追加することで小さな圏として考える）とし、 F  : J ^op → Cを図式とする。F の極限は逆極限または射影極限と呼ばれる。
• J = 1 、つまり単一の対象と射を持つ圏の場合、形Jの図式は本質的にCの対象Xに等しい。対象Xへの錐は、余領域Xを持つ射に等しい。射f  : Y → X が図式Xの極限となるのは、 f が同型となる場合のみである。より一般的には、J が初期対象iを持つ任意の圏の場合、形Jの任意の図式には極限、すなわちF ( i ) と同型の任意の対象が存在する。このような同型は、 Fへの普遍錐を一意に決定する。
• 位相的極限。関数の極限はフィルタの極限の特殊なケースであり、カテゴリカルな極限と以下のように関連している。位相空間 Xが与えられ、 X上のフィルタの集合をFで表し、x ∈ Xを点、V ( x ) ∈ F をxの近傍フィルタ、A ∈ Fを特定のフィルタ、 Aよりも細かくxに収束するフィルタの集合とする。フィルタFには、 A ⊆ Bの場合にのみ、矢印A → Bを追加することで、小さく薄いカテゴリ構造が与えられる。この注入は関数となり、次の同値性が成り立つ。${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$ ${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$

xがAの位相極限であるのは、 Aが Aの圏的極限である場合に限ります。${\displaystyle I_{x,A}}$

余極限

余極限の例は、上記の例の双対バージョンで示されます。

• 初期オブジェクトは空の図の余極限です。
• 余積は、離散カテゴリによってインデックス付けされた図の余極限です。
  • 余べき乗は、離散カテゴリからの定数図の余極限です。
• 共等化子は、平行な一対の同型写像の共極限です。
  • コカーネルは、射影および並列ゼロ射影のコイコライザーです。
• プッシュアウトは、共通の定義域を持つ一対の射影の余極限です。
• 直接極限は、有向集合によってインデックス付けされた図の余極限です。

プロパティ

限界の存在

与えられた図式F  : J → C は、 Cに極限（あるいは余極限）を持つ場合もあれば、持たない場合もあります。実際、 Fへの錐は存在しない可能性があり、ましてや普遍錐など存在しないかもしれません。

カテゴリCがJの形の極限を持つとは、 Jの形をしたすべての図式がCに極限を持つことを意味する。具体的には、カテゴリCは

• 小さな離散カテゴリJごとに形状Jの極限を持つ場合、積を持つ（大きな積を持つ必要はない）。
• 形状の限界がある場合にはイコライザーを持つ（つまり、すべての平行射のペアにはイコライザーがある）${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$
• 形状の限界がある場合、プルバックが発生します(つまり、共通の余域を持つすべての射のペアにはプルバックがあります)。${\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$

完全カテゴリとは、すべての小さな極限 (つまり、すべての小さなカテゴリ J に対して形状Jのすべての極限) を持つカテゴリです。

双対的な定義も可能だ。J形の余極限を持つ圏とは、 J形の図式すべてにCの余極限が存在する圏である。余完備圏とは、すべての余極限が小さい圏である。

極限の存在定理は、カテゴリCが等化子とクラスOb( J )とHom( J )でインデックスされたすべての積を持つ場合、Cは形状Jのすべての極限を持つと述べている。^{[1] ：§V.2 Thm.1}この場合、図式F  ：J → Cの極限は、2つの射の等化子として構成できる^{[1] ：§V.2 Thm.2}

${\displaystyle s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))}$

（成分形式で）

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{\operatorname {dom} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{\operatorname {cod} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}}$

余極限には、余等化子と余積の観点から双対的な存在定理が存在する。これらの定理はいずれも、 Jの形をしたすべての（余）極限が存在するための必要十分条件と必要条件を与える。

普遍的な財産

極限と余極限は普遍的構成の重要な特殊なケースです。

Cを圏とし、Jを小さな添字圏とする。関手圏 C ^{J は、} CにおけるJの形をしたすべての図式の圏と考えることができる。対角関手は

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

は、 C内の各オブジェクトNを定数関数 Δ( N ) : J → CからNへ写す関数である。つまり、J内の各オブジェクトXについて Δ( N )( X ) = N が成り立ち、 J内の各射fについてΔ( N )( f ) = id _{N が}成り立つ。

図式F : J → C ( C ^Jの対象と考えられる) が与えられたとき、自然変換 ψ  : Δ( N ) → F (これはカテゴリC ^Jの単なる射) はNからFへの錐と同じものである。これを理解するために、まずすべての X について Δ( N )( X ) = Nであるということは、 ψの成分がNという定義域を共有する射ψ _X  : N → F ( X ) であることを意味することに注意されたい。さらに、錐の図式が可換であるという要件は、このψが自然変換であるという理由だけで真である。(双対的に、自然変換ψ  : F → Δ( N ) はFからNへの余錐と同じものである。)

したがって、極限と余極限の定義は次の形式で言い換えることができます。

• Fの極限は Δ からFへの普遍射である。
• Fの余極限はFから Δ への普遍射です。

補助語

すべての普遍構成と同様に、極限と余極限の形成は本質的に関数的である。言い換えれば、Jの形を持つすべての図式がCに極限を持つ場合（Jが小さい場合） 、極限関数が存在する。

${\displaystyle \lim :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

これは各図式の極限と各自然変換η : F → Gに、対応する普遍錐と可換な唯一の射 lim η : lim F → lim Gを割り当てる。この関数は対角関数 Δ : C → C ^Jの右随伴である。この随伴は、 Nからlim Fへのすべての射の集合と、 NからFへのすべての錐の集合との間の一対一関係を与える。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \operatorname {Cone} (N,F)}$

これは変数NとFにおいて自然である。この随伴の余単位元は、単に lim FからFへの普遍錐である。添え字カテゴリJが連結（かつ空でない）である場合、随伴の単位元は同型であり、lim は Δ の左逆となる。J が連結でない場合、この仮定は成立しない。例えば、Jが離散カテゴリである場合、この単位元の成分は対角射δ : N → N ^Jである。

双対的に、 Jの形状の図式がCに余極限を持つ場合（Jが小さい場合）、余極限関手が存在する。

${\displaystyle \operatorname {colim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

は各図式に余極限を割り当てる。この関手は対角関手 Δ : C → C ^Jの左随伴であり、自然同型性を持つ。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \operatorname {Cocone} (F,N).}$

この随伴の単位元は、Fからcolim Fへの普遍余円錐である。J が連結（かつ空でない）であれば、余単位元は同型となり、 colim は Δ の左逆となる。

極限関数と余極限関数は両方とも共変関数であることに注意してください。

関数の表現として

Hom関手を用いて、圏Cの極限と余極限を、集合の圏Setの極限に関連付けることができる。これは、共変Hom関手 Hom( N , –) : C → Set がCのすべての極限を保存するという事実から部分的に導かれる。双対性により、反変Hom関手は余極限を極限に導く必要がある。

図F  : J → CがCに極限を持ち、lim Fで表される場合、標準同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \lim \operatorname {Hom} (N,F-)}$

これは変数Nについて自然である。ここで、関数 Hom( N , F –) は Hom 関数 Hom( N , –) とFの合成である。この同型は極限錐を尊重する唯一の同型である。

上記の関係を用いて、 CにおけるFの極限を定義することができる。まず、関数 Hom( N , F –) の極限が、 NからFに至るすべての錐の集合と同一視できることに注目する。

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (N,F-)=\operatorname {Cone} (N,F).}$

極限錐は写像族 π _X  : Cone( N , F ) → Hom( N , FX ) によって与えられ、ここでπ X ( ψ ) = ψ X である。C の対象 L と自然同型 Φ : Hom( L , _– ) → Cone ( _– , F ) が与えられた場合、対象Lは Fの極限となり、極限錐はΦ _L (id _L ) となる。より巧みに言えば、これはFの極限が関手 Cone(–, F ) : C → Setの表現であると言える。

双対的に、図式F  : J → CがCに余極限（colim Fと表記）を持つ場合、唯一の標準同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \lim \operatorname {Hom} (F-,N)}$

これは変数Nについて自然であり、余極限錐を尊重する。Hom( F –, N )の極限を集合Cocone( F , N )と同一視することで、この関係を用いて図式Fの余極限を関数Cocone( F , – )の表現として定義することができる。

集合の極限と余極限の交換

Iを有限カテゴリ、Jを小さなフィルタカテゴリとする。任意の双関数に対して

${\displaystyle F:I\times J\to \mathbf {Set} ,}$

自然同型性がある

${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{J}\lim _{I}F(i,j)\rightarrow \lim _{I}\operatorname {colim} \limits _{J}F(i,j).}$

言葉で言えば、集合におけるフィルターされた余極限は有限極限と可換である。また、小さな余極限は小さな極限と可換である。^[2]

関数と極限

F  : J → CがCの図式であり、G  : C → Dが関手である場合、合成（図式は単なる関手であることを思い出してください）により、図式GF  : J → Dが得られます。すると、当然次のような疑問が生じます。

「 GFの限界はFの限界とどのように関係していますか？」

限界の維持

関手G  : C → D は、 Cone( F ) から Cone( GF )への写像を誘導する。ΨがNからFへの錐であれば、GΨはGNからGFへの錐である。関手GがFの極限を保存するとは、 ( L , φ ) がFの極限であるときに必ず ( GL , Gφ ) がGFの極限となることを意味する。（ Fの極限が存在しない場合、G はFの極限を空虚に保存する。）

関数GがJの形のすべての極限を保存するとは、それがすべての図式F  : J → Cの極限を保存することを意味する。例えば、 Gは積、イコライザー、プルバックなどを保存すると言える。連続関数とは、すべての小さな極限を保存する関数である。

余極限についても同様の定義を行うことができる。例えば、関数G がFの余極限を保存するとは、 ( L , φ ) がFの余極限であるとき、 G ( L , φ )がGFの余極限となることを意味する。余連続関数とは、すべての小さな余極限を保存する関数である。

Cが完備圏である場合、上記の極限の存在定理により、関手G  : C → Dが連続となることと、それが（小さな）積と等化子を保存することとは同値である。双対的に、Gが余連続となることと、それが（小さな）余積と余等化子を保存することとは同値である。

随伴関手の重要な性質の一つは、すべての右随伴関手が連続であり、すべての左随伴関手が共連続であるということです。随伴関手は数多く存在するため、連続関手と共連続関手の例は数多く存在します。

与えられた図式F  : J → Cと関手G  : C → Dに対して、 FとGFの両方が指定された極限を持つ場合、唯一の標準射が存在する。

${\displaystyle \tau _{F}:G\lim F\to \lim GF}$

対応する極限錐を尊重する。関手GがFの極限を保存することと、この写像が同型であることは同値である。圏CとDがJの形をした極限をすべて持つ場合、limは関手であり、射τ _Fは自然変換の成分を形成する。

${\displaystyle \tau :G\lim \to \lim G^{J}.}$

関数GがJの形のすべての極限を保存することと、τが自然同型であることは同値である。この意味で、関数Gは（標準的な自然同型を除いて）極限と可換であると言える。

極限と余極限の保存は、共変関数にのみ適用される概念です。反変関数の場合、対応する概念は、余極限を極限に適用する関数、または極限を余極限に適用する関数となります。

制限の解除

関数G  : C → Dが図式F  : J → Cの極限を持ち上げるとは、( L , φ ) がGFの極限であるときはいつでも、 Fの極限 ( L ′, φ ′)が存在し、 G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ) が成り立つことを言う。関数G がJの形のすべての図式の極限を持ち上げるとは、 Jの形のすべての図式の極限を持ち上げることを意味する。したがって、積、イコライザー、プルバックなどの持ち上がりについて話すことができる。最後に、 G がすべての極限を持ち上げるとは、 G が極限を持ち上げることを意味する。余極限の持ち上がりには双対的な定義がある。

関数G が図式Fの極限を一意に解除するとは、( L ′, φ ′)がFの極限であり、かつG ( L ′, φ ′) = (L,φ)となるような、唯一の原像錐(L′,φ′)が存在することを言う。Gが極限を一意に解除することは、 Gが極限を解除し、かつ健忘性を持つことと同値であることを示すことができる。

極限の解除は極限の保存と明らかに関連している。Gが図式Fの極限を解除し、GF に極限がある場合、F にも極限があり、G はFの極限を保存する。したがって、以下のようになる。

• G がすべての形状Jの極限を持ち、D が形状Jのすべての極限を持つ場合、Cも形状Jのすべての極限を持ち、G はこれらの極限を保存します。
• G がすべての小さな極限を解除し、Dが完全であれば、 Cも完全で、Gは連続です。

余極限に対する双対ステートメントは同様に有効です。

限界の創造と反映

F  : J → Cを図式とする。関手G  : C → Dは

• ( L、φ ) が GF の極限である場合に、 G ( L ′ 、 φ ′ ) = ( L、φ )となるようなFへの唯一の錐 ( L ′、φ ′)が存在し、さらにこの錐がFの極限である場合に、 F の極限を作成します。
• Gによる像がGFの極限となるFへの各錐がすでに F の極限である場合、 Fの極限を反映します。

二重に、余極限の作成と反射を定義することができます。

次の文は同等であると簡単にわかります。

• 関数Gは限界を作成します。
• 関数Gは、極限を一意に持ち上げ、極限を反映します。

限界を一意に解除するが、限界を作成したり反映したりしない関数の例があります。

例

• 表現可能な関数 C → Set はすべて極限を保存します（ただし、必ずしも余極限を保存するとは限りません）。特に、Cの任意のオブジェクトAに対して、共変Hom関数Hom( A ,–) : C → Set は真です。
• 忘却関手 U :  Grp → Setは、すべての小さな極限とフィルター付き余極限を生成（および保存）しますが、余積は保存しません。これは代数的忘却関手に典型的な状況です。
• 自由関手 F  : Set → Grp（任意の集合SにS上の自由群を割り当てる）は忘却関手Uの左随伴であり、したがって共連続である。これは、2つの自由群GとHの自由積が、 GとHの生成元同士の素和によって生成される自由群である理由を説明できる。
• 包含関数Ab → Grpは極限を作成しますが、余積は保存しません (2 つのアーベル群の余積は直和です)。
• 忘却関手Top → Set は、極限と余極限を一意に持ち上げますが、どちらも作成しません。
• Met _cを射の連続関数を持つ距離空間の圏とする。忘却関手Met _c → Set は有限極限を持ち上げるが、一意には持ち上がらない。

用語に関する注意

昔の用語では、極限は「逆極限」または「射影極限」、余極限は「順極限」または「帰納極限」と呼ばれていました。これが多くの混乱の原因となっていました。

現代の用語を覚える方法はいくつかあります。まず、

• コカーネル、
• 副産物、
• コイコライザー、および
• コドメイン

は余極限の一種であるが、

• カーネル、
• 製品
• イコライザー、そして
• ドメイン

は極限の一種です。第二に、接頭辞「co」は「」の最初の変数を意味します。「コホモロジー」や「コファイブレーション」といった用語はすべて、双関手の最初の変数、つまり反変変数とやや強い関連性があります。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

参照

• デカルトの閉圏 – 圏論における圏の種類
• ∞-カテゴリにおける極限と余極限

参考文献

1. Mac Lane, Saunders (1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 . 『数学大学院テキスト』 . 第5巻（第2版）. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001。
2. nラボにおける極限と余極限の可換性

さらに読む

• アダメク、イジー。ホルスト・ヘルリッヒ;ジョージ E. ストレッカー (1990)。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ(PDF)。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6。
• マック・レーン、サンダース(1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 .大学院数学テキスト. 第5巻（第2版）.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001。
• ボルセウ, フランシス (1994). 「極限」.圏論代数ハンドブック. 数学とその応用百科事典, 50-51, 53 [ie 52]. 第1巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-44178-1。

外部リンク

• 有限集合の圏における極限と余極限の例を生成するインタラクティブなウェブページ。作者：Jocelyn Paine。
• nラボの限界