数学は、経験科学や数学そのものの必要に応じて発展・証明された方法、理論、定理を発見し、体系化する学問分野です。数学には多くの分野があり、数論（数の研究）、代数学（公式や関連する構造の研究）、幾何学（図形とそれらを含む空間の研究）、解析学（連続的な変化の研究）、集合論（現在、あらゆる数学の基礎として用いられている）などが含まれます。

数学は、自然からの抽象概念、あるいは現代数学においては公理と呼ばれる特定の性質を持つと規定された純粋に抽象的な実体からなる抽象対象の記述と操作を伴う。数学は純粋理性を用いて、証明を通じて対象の性質を証明する。証明とは、既に確立された結果に演繹規則を適用していく一連の過程である。これらの結果は定理と呼ばれ、既に証明された定理、公理、そして自然からの抽象概念の場合は、検討中の理論の真の出発点とみなされるいくつかの基本的性質が含まれる。[1]

数学は自然科学、工学、医学、金融、コンピュータサイエンス、そして社会科学において不可欠な要素です。数学は現象のモデル化に広く用いられていますが、数学の根本的な真理はいかなる科学的実験からも独立しています。統計学やゲーム理論といった数学の分野は、その応用と密接に関連して発展しており、しばしば応用数学に分類されます。他の分野は応用とは独立して発展しており（そのため純粋数学と呼ばれます）、後に実用的な応用が見出されることがよくあります。[2] [3]

歴史的に、証明の概念とそれに伴う数学的厳密さは、ギリシャ数学、特にユークリッドの『原論』に初めて登場しました。[4]数学は誕生以来、 16世紀と17世紀に代数学[a]と微積分学が新しい分野として導入されるまで、主に幾何学と算術（自然数と分数の扱い）に分かれていました。それ以来、数学的革新と科学的発見の相互作用により、両方の発展が相関して増加しました。[5] 19世紀末、数学の基礎的危機により公理的方法が体系化され、[6]数学の領域の数とその応用分野が劇的に増加しました。現代の数学主題分類では、60を超える第一レベルの数学領域が挙げられています。[7] [8]

数学の分野

ルネサンス 以前、数学は主に二つの分野に分かれていました。一つは数の操作に関する算術、もう一つは図形の研究に関する幾何学です。[ 9]数秘術や占星術などの疑似科学は、当時は数学と明確に区​​別されていませんでした。[10]

ルネサンス期には、さらに二つの分野が登場した。数学的記法は代数学へとつながり、これは大まかに言えば、公式の研究と操作から構成される。微積分学は、微分積分と積分という二つの分野から成り、連続関数の研究であり、変数で表される変動量間の典型的には非線形な関係をモデル化する。算術、幾何学、代数学、微積分学の四つの主要分野へのこの区分[11]は、19世紀末まで続いた。天体力学や固体力学といった分野は当時数学者によって研究されていたが、現在では物理学に属するものと考えられている[12] 。組合せ論という主題は、有史以来ずっと研究されてきたが、17世紀まで数学の独立した分野とはならなかった[13] 。

19世紀末、数学における基礎的危機と、その結果生じた公理的方法の体系化は、数学の新しい分野を爆発的に増加させた。[14] [6] 2020年版の数学科目分類には、 63もの第一レベル領域が含まれている。 [8]これらの領域の一部は、数論（高等算術の現代の名称）や幾何学のように、以前の分類に対応している。他のいくつかの第一レベル領域は、名称に「幾何学」が含まれているか、そうでなければ一般的に幾何学の一部と見なされている。代数と微積分は第一レベル領域としては登場しないが、それぞれ複数の第一レベル領域に分割されている。その他の第一レベル領域は、数理論理学や基礎づけなど、20世紀に出現したか、以前は数学とは見なされていなかった。[7]

数論

これはウラム螺旋で、素数の分布を示しています。螺旋の濃い対角線は、素数であることと二次多項式の値であることの間に近似的な独立性があるという仮説を示唆しており、これは現在ハーディとリトルウッドの予想Fとして知られています。

数論は数、すなわち自然数 の操作から始まり、後に整数と有理数へと拡張されました。数論はかつて算術と呼ばれていましたが、今日この用語は主に数値計算に使用されています。[15]数論の起源は古代バビロニア、おそらく中国にまで遡ります。初期の著名な数論者としては、古代ギリシャのユークリッドとアレクサンドリアのディオファントスがいます。[16]抽象的な形での数論の現代研究は、ピエール・ド・フェルマーとレオンハルト・オイラーによるところが大きいです。この分野はアドリアン＝マリー・ルジャンドルとカール・フリードリヒ・ガウスの貢献により完全に結実しました。[17]

簡単に述べられる数の問題の多くには、しばしば数学のあらゆる分野にまたがる洗練された手法を必要とする解法がある。その顕著な例としてはフェルマーの最終定理が挙げられる。この予想は1637年にピエール・ド・フェルマーによって提唱されたが、代数幾何学のスキーム理論、圏論、ホモロジー代数などの手法を用いて1994年にアンドリュー・ワイルズによって証明された。[18]もう1つの例としてはゴールドバッハの予想があり、これは2より大きいすべての偶数は2つの素数の和であると主張するものである。これは1742年にクリスチャン・ゴールドバッハによって提唱され、多大な努力にもかかわらず未だ証明されていない。[19]

数論には、解析的数論、代数的数論、数幾何学（方法指向）、ディオファントス解析、超越理論（問題指向）など、いくつかのサブ領域が含まれます。[7]

幾何学

球面上では、ユークリッド幾何学は局所的な近似としてのみ適用されます。より大きなスケールでは、三角形の角度の和は180°に等しくありません。

幾何学は数学の最も古い分野の一つです。直線、角度、円といった図形に関する経験的な方法論から始まり、主に測量や建築の分野で発展しましたが、その後、多くの分野へと発展しました。[20]

根本的な革新は、古代ギリシャ人が証明の概念を導入したことでした。これは、すべての主張が証明されなければならないことを要求するものです。たとえば、 2つの長さが等しいことを測定によって検証するだけでは不十分です。それらの等しいことは、以前に受け入れられた結果（定理）といくつかの基本的な命題からの推論によって証明されなければなりません。基本的な命題は自明であるため（公理）、または研究対象の定義の一部であるため（公理）、証明の対象にはなりません。すべての数学の基礎となるこの原理は、幾何学のために初めて詳述され、紀元前300年頃にユークリッドによって著書『原論』で体系化されました。[21] [22]

ユークリッド幾何学は、ユークリッド平面（平面幾何学）と三次元ユークリッド空間における直線、平面、円で構成される図形とその配置を研究するものである。[b] [20]

ユークリッド幾何学は、17世紀にルネ・デカルトが現在では直交座標と呼ばれるものを導入するまで、方法や範囲を変えることなく発展してきました。これはパラダイムの大きな転換でした。実数を線分の長さ（数直線を参照）として定義する代わりに、点をその座標（つまり数値）を用いて表現できるようになりました。こうして、代数学（そして後に微積分学）を用いて幾何学の問題を解くことができるようになりました。幾何学は、純粋に幾何学的な手法を用いる総合幾何学と、座標を体系的に用いる解析幾何学という2つの新しい分野に分割されました。[23]

解析幾何学は、円や直線とは無関係な曲線の研究を可能にする。このような曲線は関数のグラフとして定義することができ、その研究は微分幾何学へと発展した。また、それらは暗黙方程式、多くの場合多項式方程式（代数幾何学の源泉となった）として定義することもできる。解析幾何学は、3次元を超えるユークリッド空間の考察も可能にする。[20]

19世紀、数学者たちは平行線公準に従わない非ユークリッド幾何学を発見した。この発見は、平行線公準の真偽を疑問視することで、ラッセルのパラドックスに加わり、数学の根本的な危機を明らかにしたとみなされてきた。この危機の側面は、公理的方法を体系化し、選択された公理の真偽は数学的な問題ではないとすることで解決された。[24] [6]一方、公理的方法は、公理を変更することによって、または空間の特定の変換下で変化しない特性を考慮することによって得られる様々な幾何学の研究を可能にする。[25]

今日の幾何学のサブ領域には以下が含まれる: [7]

代数

キャプションを参照
すべての二次方程式の解を簡潔に表す二次公式
シャッフルされた3x3ルービックキューブ
ルービックキューブ群は群論の具体的な応用である。[26]

代数学は方程式や公式を扱う技術です。ディオファントス（3世紀）とアル＝フワーリズミー（9世紀）は代数学の先駆者として二大巨頭に数えられます。[27] [28]ディオファントスは、未知の自然数を含むいくつかの方程式を、解を得るまで新たな関係を導き出すことで解きました。[29]アル＝フワーリズミーは、方程式の一方の項をもう一方の項に移動するなど、方程式を変換するための体系的な手法を導入しました。[30]代数学という用語は、彼がこれらの手法の一つを自身の主要論文の題名に用いた「壊れた部分の再結合」を意味するアラビア語の「アル＝ジャブル」に由来しています。[31] [32]

代数学が独自の分野として確立したのは、フランソワ・ヴィエト（1540-1603）が未知数や不特定の数を表すための変数の使用を導入した時でした。[33]変数を用いることで、数学者は数式を用いて表された数に対して行うべき演算を記述することができます。[34]

19 世紀まで、代数学は主に線形方程式(現在は線型代数) と、未知数が 1 つの多項式方程式(代数方程式(あいまいな場合もあるが、現在でも使用されている用語)の研究で構成されていました。19 世紀には、数学者は数値以外のもの (行列、モジュラー整数、幾何学的変換など) を表すために変数を使用し始め、これらの変数に基づいて算術演算の一般化がしばしば有効になります。[35]代数構造の概念はこれに対応しており、要素が指定されていない集合、集合の要素に作用する演算、およびこれらの演算が従わなければならない規則で構成されます。このようにして、代数学の範囲は代数構造の研究を含むまでに拡大しました。この代数学の対象は、エミー・ネーターの影響と著作によって確立され、現代代数学または抽象代数学と呼ばれ、[36]ファン・デル・ワールデンの著書「現代代数学」 によって普及しました。

いくつかの種類の代数構造は、数学の多くの分野において有用で、しばしば基本的な性質を持っています。それらの研究は代数学の独立した分野となり、以下のものが含まれます。[7]

代数的構造の型を数学的対象として研究することが、普遍代数学と圏論の目的である。[37]圏論は、あらゆる数学的構造（代数的構造に限らない）に適用される。その起源においては、ホモロジー代数と共に、位相空間などの非代数的対象の代数的研究を可能にするために導入された。この特定の応用分野は代数的位相幾何学と呼ばれる。[38]

微積分と解析

コーシー列は、列が進むにつれて（左から右へ）、項の後続のすべての項が互いに任意に近くなる要素で構成されます。

微積分学は、かつては微積分学と呼ばれ、17世紀の数学者ニュートンとライプニッツによって独立して同時に導入されました。[39]微積分学は、基本的に、互いに連続的に依存する変数間の関係を研究する学問です。18世紀にはオイラーによって関数の概念が導入され、多くの成果が得られました。[40]現在、「微積分学」は主にこの理論の基礎部分を指し、「解析学」はより高度な部分を指すのに一般的に使用されています。[41]

解析学はさらに、変数が実数を表す実解析学と、変数が複素数を表す複素解析学に細分されます。解析学には、数学の他の分野と共通する多くのサブ領域が含まれており、その中には以下が含まれます。[7]

離散数学

2状態マルコフ連鎖を表す図。状態は「A」と「E」で表されます。数字は状態が反転する確率です。

離散数学とは、広義には、個々の可算な数学的対象を研究する学問である。例えば、整数全体の集合がそうである。[42]ここで研究される対象は離散的であるため、微積分学や数学的解析学の手法は直接適用できない。[c] アルゴリズム、特にその実装と計算量については、離散数学において大きな役割を果たしている。[43]

四色定理と最適球詰めは、20世紀後半に解決された離散数学の2つの主要な問題でした。[44]今日まで未解決のままであるP対NP問題も、その解決が多くの計算困難な問題に影響を与える可能性があるため、離散数学にとって重要です。[45]

離散数学には以下のものが含まれる: [7]

数理論理学と集合論

青とピンクの円とその交点を示すラベル
ベン図は、集合間の関係を示すためによく使用される方法です。

数理論理学と集合論という二つの分野は、19世紀末から数学に属してきました。[46] [47]この時期以前は、集合は数学的対象とは考えられておらず、論理学は数学的証明に使用されていたものの哲学に属し、数学者によって特に研究されていませんでした。[48]

カントールの無限集合の研究以前は、数学者たちは実際に無限の集合を考えることに消極的で、無限は終わりのない列挙の結果であると考えていた。カントールの研究は、実際に無限の集合を考えただけでなく[49] 、カントールの対角線論法によれば、これが無限の大きさの異なることを意味することを示したことで、多くの数学者を怒らせた。これはカントールの集合論をめぐる論争につながった[50]。同時期に、数学の様々な分野で、基本的な数学的対象に対する以前の直感的な定義は、数学の厳密さを保証するには不十分であると結論づけられた[51]。

これは数学の根底を成す危機となった。[52]主流数学においては、公理的手法を形式化された集合論の中で体系化することで、最終的にこの危機は解決された。大まかに言えば、各数学的対象は、すべての類似した対象の集合と、それらの対象が持つべき性質によって定義される。[14]例えば、ペアノ算術では、自然数は「ゼロは数である」、「各数には一意の後続数がある」、「ゼロ以外の各数には一意の前続数がある」、そしていくつかの推論規則によって定義される。[53]この現実からの数学的抽象化は、 1910年頃にダヴィド・ヒルベルトによって創始された現代哲学の形式主義に体現されている。 [54]

このように定義された対象の「性質」は哲学的な問題であり、数学者は哲学者に委ねている。しかし、多くの数学者がこの性質について意見を持ち、その意見（時に「直観」と呼ばれる）を研究と証明の指針としている。このアプローチは、「論理」（つまり、許容される演繹規則の集合）、定理、証明などを数学的対象として考察し、それらに関する定理を証明することを可能にする。例えば、ゲーデルの不完全性定理は、大まかに言えば、自然数を含むあらゆる一貫した 形式体系において、真である（より強い体系では証明可能である）が、その体系内では証明不可能な定理が存在すると主張している。[55]数学の基礎に対するこのアプローチは、20世紀前半に、直観主義論理（排中律を明示的に欠いている）を推進したブラウワーに率いられた数学者たちによって挑戦を受けた。[56] [57]

これらの問題と議論は数理論理学の幅広い発展につながり、モデル理論（他の理論の内部でいくつかの論理理論をモデル化する）、証明理論、型理論、計算可能性理論、計算複雑性理論などのサブ領域が生まれました。[7]これらの数理論理学の側面はコンピュータの台頭以前に導入されましたが、コンパイラ設計、形式検証、プログラム解析、証明支援システム、その他のコンピュータサイエンスの側面での使用が、これらの論理理論の発展に貢献しました。[58]

統計学およびその他の意思決定科学

ランダムな母集団分布（μ）の形がどのようなものであっても、標本平均（x̄）はガウス分布に近づき、その分散（σ）は確率論の中心極限定理によって与えられる。 [59]

統計学は、特に確率論などの数学的手法に基づく手順を用いて、データサンプルの収集と処理に用いられる数学的応用分野です。統計学者は、ランダムサンプリングまたはランダム化実験によってデータを生成します。[60]

統計理論は、パラメータ推定、仮説検定、最良の選択などの手順を用いる統計的行為のリスク（期待損失）を最小化するといった意思決定問題を研究する。数理統計学のこうした伝統的な分野では、統計的意思決定問題は、特定の制約条件の下で期待損失やコストといった目的関数を最小化することによって定式化される。例えば、調査の設計には、所定の信頼度で母集団の平均を推定するコストを最小化することがしばしば含まれる。[61]統計の数学的理論は、最適化を用いるため、オペレーションズ・リサーチ、制御理論、数理経済学といった他の意思決定科学と重複する。[62]

計算数学

計算数学は、典型的には人間の数値計算能力では到底扱えないような数学的問題を研究する分野である。 [63] [64] 数値解析は関数解析と近似理論を用いた解析問題の手法を研究する。数値解析には概ね近似と離散化の研究、特に丸め誤差に重点を置いた研究が含まれる。[65]数値解析、さらに広義には科学計算では、数理科学の非解析的トピック、特にアルゴリズム行列グラフ理論も研究される。計算数学の他の分野には、コンピュータ代数や記号計算などがある。

歴史

語源

「数学」という語は、古代ギリシャ語の「máthēma（μάθημα）」（「学んだもの、知識、数学」を意味する）と、そこから派生した「mathēmatikḗ tékhnē（μαθηματικὴ τέχνη）」（「数学科学」を意味する）に由来する。この語は、中英語後期にフランス語とラテン語を経て英語に入り込んだ。[66]

同様に、ピタゴラス学派の二大学派の一つはマテマティコイ（μαθηματικοί）として知られていました。これは当時、現代的な意味での「数学者」ではなく「学習者」を意味していました。ピタゴラス学派は、この語の使用を算術と幾何学の研究に限定した最初の人物であったと考えられます。この意味は、アリストテレス（紀元前384-322年）の時代には完全に確立されていました。[67]

ラテン語と英語では、1700年頃まで「 mathematica 」という語は「数学」というよりも「占星術」（時には「天文学」）を意味することが一般的だった。この意味は、1500年から1800年頃にかけて徐々に現在の意味に変化した。この変化は、いくつかの誤訳をもたらした。例えば、聖アウグスティヌスがキリスト教徒は「占星術師」を意味するmathematiciに警戒すべきであると警告したが、これは数学者への非難として誤訳されることがある。[68]

英語における見かけの複数形は、ラテン語の中性複数形mathematica（キケロ）に由来する。これはギリシア語の複数形ta mathēmatiká（τὰ μαθηματικά）を基礎とし、おおよそ「数学的なすべてのもの」を意味する。しかし、ギリシャ語から受け継がれたphysics （物理学）とmetaphysics （形而上学）のパターンに倣い、英語は形容詞mathematic(al)のみを借用し、名詞mathematicaを新たに形成した可能性もある。[69]英語では、名詞mathematicaは単数形の動詞となる。これはしばしばmaths [70]、あるいは北米ではmath [71]と短縮される。

古代

バビロニアの数学タブレットPlimpton 322、紀元前 1800 年頃

先史時代の人々は、物理的な対象を数える方法を認識していただけでなく、時間（日、季節、年）のような抽象的な量を数える方法も知っていた可能性があります。 [72] [73]より複雑な数学の証拠は 、バビロニア人やエジプト人が課税やその他の金融計算、建物や建設、天文学に算術、代数、幾何学を使用し始めた紀元前3000年頃まで現れません。 [74]メソポタミアとエジプトで最も古い数学のテキストは紀元前2000年から1800年のものです。[75]多くの初期のテキストでピタゴラスの定理に言及されているため、推論すると、ピタゴラスの定理は基本的な算術と幾何学に次いで最も古く、広範囲に及んだ数学概念であると思われます。考古学的記録に基本的な算術（加算、減算、乗算、除算）が初めて登場するのは、バビロニアの数学です。バビロニア人は位取り記数法も持っており、角度や時間を測るのに今日でも使われている60進法を使っていました。 [76]

紀元前6世紀には、ギリシャ数学が独立した学問分野として現れ始め、ピタゴラス学派などの古代ギリシャ人の中には、それを独立した科目とみなしていた者もいたようである。[77]紀元前300年頃、ユークリッドは公理と第一原理によって数学的知識を体系化し、それが定義、公理、定理、証明からなる、今日の数学で使用されている公理的方法へと発展した。[78]彼の著書『原論』は、史上最も成功し、影響力のある教科書であると広く考えられている。 [ 79]古代で最も偉大な数学者は、シラクサのアルキメデス(紀元前 287年頃 - 紀元前 212年頃)であるとよく考えられている。[80]彼は回転体の表面積と体積を計算する公式を開発し、現代の微積分とあまり変わらない方法で、尽きる法を使って無限級数の和から放物線の弧の下の面積を計算した。[81]ギリシャ数学の他の注目すべき成果としては、円錐曲線（ペルガのアポロニウス、紀元前3世紀）、[82]三角法（ニカイアのヒッパルコス、紀元前2世紀）、[83]代数学の始まり（ディオファントス、紀元後3世紀）がある。[84]

紀元前2世紀から紀元後2世紀にかけてのバクシャーリー写本で使用されている数字

今日世界中で使用されているヒンドゥー・アラビア数字体系とその演算規則は、紀元後1千年紀にインドで発展し、イスラム数学を通じて西洋世界に伝わりました。[85]インド数学の他の注目すべき発展としては、正弦と余弦の現代的な定義と近似値、そして無限級数の初期の形態などがあります。[86] [87]

中世以降

アル・フワリズミのアル・ジャブルのページ

イスラムの黄金時代、特に9世紀から10世紀にかけて、数学はギリシャ数学を基盤とした多くの重要な革新を遂げました。イスラム数学の最も顕著な成果は代数学の発展です。イスラム時代のその他の成果としては、球面三角法の進歩やアラビア数字への小数点の追加などが挙げられます。 [88]この時代の著名な数学者の多くはペルシャ人で、例えばアル＝フワーリズミー、オマル・ハイヤーム、シャラーフ・アッディーン・アル＝トゥーシーなどが挙げられます。[89]ギリシャ語とアラビア語の数学書は中世にラテン語に翻訳され、ヨーロッパで利用できるようになりました。[90]

近世初期には、西ヨーロッパで数学が急速に発展し始め、フランソワ・ビエト（1540–1603）による変数と記号表記の導入、ジョン・ネイピアによる1614年の対数の導入（特に天文学と航海における数値計算を大幅に簡素化）、ルネ・デカルト（1596–1650）による座標の導入による幾何学から代数への変換、アイザック・ニュートン（1643–1727）とゴットフリート・ライプニッツ（1646–1716）による微積分の開発など、数学に革命をもたらす革新が次々と起こりました。18世紀で最も著名な数学者であるレオンハルト・オイラー（1707–1783）は、これらの革新を標準化された用語を用いて単一の体系に統合し、数多くの定理の発見と証明によって完成させました。[91]

カール・フリードリヒ・ガウス

おそらく19世紀で最も優れた数学者はドイツの数学者カール・ガウスであろう。彼は代数学、解析学、微分幾何学、行列理論、数論、統計学などの分野に多大な貢献をした。[92] 20世紀初頭、クルト・ゲーデルは不完全性定理を発表し、数学に変革をもたらした。この定理は、算術を記述できるほど強力な一貫した公理体系であれば、証明できない真の命題が含まれることを部分的に示している。[55]

数学はその後大きく発展し、数学と科学の間には実りある相互作用が生まれ、双方に利益をもたらしました。数学的な発見は今日に至るまで続いています。ミハイル・B・セヴリュクは、2006年1月号のアメリカ数学会報で次のように述べています。「1940年（MR運用開始年）以降、数学レビュー（MR）データベースに収録されている論文と書籍の数は190万件を超え、毎年7万5千件以上の項目が追加されています。この膨大な量の研究成果の圧倒的多数には、新しい数学定理とその証明が含まれています。」[93]

記号表記と用語

シグマ（Σ）和記法の説明

数学表記法は、科学や工学において、複雑な概念や特性を簡潔かつ明瞭に、正確に表現するために広く用いられている。この表記法は、演算、不特定の数、関係、その他の数学的対象を表現する記号から成り、それらを式や公式に組み立てる。[94]より正確には、数やその他の数学的対象は変数と呼ばれる記号で表現され、変数は一般にラテン文字やギリシャ文字で、添え字が含まれることが多い。演算と関係は一般に特定の記号またはグリフで表現され、[95] + (プラス)、× (乗算)、(積分)、= (等しい)、< (より小さい)などである。[96]これらの記号は通常、特定の規則に従ってグループ化され、式や公式を形成している。[97]通常、式や公式は単独で現れることはなく、現在の言語の文に含まれ、式は名詞句の役割を果たし、公式は節の役割を果たす。

数学は、様々な抽象的・理想化された対象の性質とそれらの相互作用を研究する幅広い分野を網羅する豊富な用語体系を発展させてきました。数学は、コミュニケーションの標準的な基盤となる厳密な定義に基づいています。公理または公準とは、証明を必要とせずに真であるとされる数学的な命題です。数学的な命題がまだ証明（または反証）されていない場合、それは予想と呼ばれます。演繹的推論を用いた一連の厳密な議論を通じて、真であると証明された命題は定理となります。主に別の定理を証明するために使用される特殊な定理は補題と呼ばれます。より一般的な発見の一部を形成する証明された例は系と呼ばれます。[98]

数学で用いられる専門用語の多くは、多項式や同相写像など、新語である。[99]専門用語の中には、一般的な意味とは若干異なる正確な意味で用いられる日常語もある。例えば、数学では「または」は「一方、他方、あるいは両方」を意味するが、日常語では曖昧であったり、「一方または他方であって、両方ではない」という意味であったりする（数学では後者は「排他的論理和」と呼ばれる）。最後に、多くの数学用語は全く異なる意味で用いられる日常語である。[100]この結果、数学的な主張としては正しいものの、必要な背景知識を持たない人には意味不明に見えるような文が生まれることがある。例えば、「すべての自由加群は平坦である」や「体は常に環である」などである。

科学との関係

ほとんどの科学において、数学は現象をモデル化するために用いられ、実験法則から予測を行うことを可能にする。[101]数学的真理が実験から独立していることは、そのような予測の精度はモデルの妥当性のみに依存することを意味する。[102]不正確な予測は、無効な数学的概念によって引き起こされるのではなく、使用される数学モデルを変更する必要があることを意味する。[103]例えば、水星の近日点歳差運動は、ニュートンの万有引力の法則に取って代わり、より優れた数学モデルとなったアインシュタインの一般相対性理論の出現によって初めて説明可能となった。[104]

数学が科学であるかどうかについては、哲学的な議論が依然として続いています。しかし、実際には、数学者は科学者と同列に扱われることが多く、数学は物理科学と多くの共通点を持っています。物理科学と同様に、数学は反証可能であり、つまり、結果や理論が間違っている場合、反例を提示することで証明できるということです。科学と同様に、理論や結果（定理）はしばしば実験から得られます。[105]数学における実験は、選択された例を用いた計算、あるいは図形やその他の数学的対象（多くの場合、物理的な裏付けのない心的表現）の研究から成ります。例えば、ガウスはどのようにして定理を導き出したのかと尋ねられたとき、「体系的な実験を通して」（durch planmässiges Tattonieren）と答えました。[106]しかし、数学は経験的証拠に依存しないという点で、現代の科学の概念とは異なることを強調する著者もいます。 [107] [108] [109] [110]

純粋数学と応用数学

アイザック・ニュートン（左）とゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは微積分学を開発した。

19世紀まで、西洋における数学の発展は主に技術と科学の必要性によって促進され、純粋数学と応用数学の間に明確な区別はありませんでした。[111]例えば、自然数と算術は計数の必要性から導入され、幾何学は測量、建築、天文学によって促進されました。後に、アイザック・ニュートンは、万有引力の法則を用いて惑星の運動を説明するために微積分を導入しました。さらに、ほとんどの数学者は科学者でもあり、多くの科学者は数学者でもありました。 [112]しかし、古代ギリシャの純粋数学の伝統には、注目すべき例外がありました。[113]例えば、紀元前300年のユークリッドにまで遡る整数の因数分解の問題は、現在コンピュータネットワークのセキュリティに広く使用されているRSA暗号で使用されるまで、実用的な応用はありませんでした。[114]

19世紀には、カール・ワイエルシュトラスやリヒャルト・デデキントといった数学者たちが、その研究を内部問題、すなわち純粋数学へとますます集中させた。[111] [115]この結果、数学は純粋数学と応用数学に分かれ、後者は数学純粋主義者の間でしばしば低い価値を持つと見なされるようになった。しかし、両者の境界線はしばしば曖昧である。[116]

第二次世界大戦後の混乱は、アメリカ合衆国をはじめとする世界各地で応用数学の発展を急速に促した。[117] [118]応用のために開発された理論の多くは純粋数学の観点から興味深いものであり、純粋数学の成果の多くは数学以外の分野にも応用できることが示された。その結果、これらの応用の研究は「純粋理論」への新たな洞察をもたらす可能性がある。[119] [120]

最初の例としては、ローラン・シュワルツが量子力学の計算を検証するために導入した超関数の理論が挙げられ、これはただちに（純粋）数学的分析の重要なツールとなった。[121] 2番目の例としては、実数の第一階理論の決定可能性が挙げられる。これは純粋数学の問題であり、アルフレッド・タルスキによって正しいと証明されたが、そのアルゴリズムは計算量があまりにも多く、実装が不可能であった。 [122]実装可能で多項式方程式と不等式を解くことができるアルゴリズムを得るために、ジョージ・コリンズは円筒代数分解を導入し、これは実代数幾何学の基本的なツールとなった。[123]

今日では、純粋数学と応用数学の区別は、数学を広範に区分する問題というよりも、数学者の個人的な研究目的の問題となっている。[124] [125]数学分野分類には「一般応用数学」の項目があるが、「純粋数学」については触れられていない。[7]しかし、これらの用語は、ケンブリッジ大学数学部など、一部の大学の学科名に今でも使用されている。

不合理な効果

数学の不合理な有効性は、物理学者ユージン・ウィグナーによって初めて名付けられ、明確に示された現象です。[3]多くの数学理論（「最も純粋なもの」でさえ）は、当初の対象を超えた応用を持つという事実です。これらの応用は、数学の当初の領域を完全に超える場合もあり、数学理論が導入された当時は全く知られていなかった物理現象に関わる場合もあります。[126]数学理論の予期せぬ応用の例は、数学の多くの分野で見られます。

注目すべき例としては、自然数の素因数分解が挙げられます。これは、RSA暗号システムによる安全なインターネット通信に広く利用される2000年以上も前に発見されました。[127] 2つ目の歴史的な例は、楕円理論です。古代ギリシャの数学者たちは、楕円を円錐曲線（円錐と平面の交点）として研究しました。ヨハネス・ケプラーが惑星の軌道が楕円であることを発見したのは、それからほぼ2000年後のことでした。 [128]

19世紀には、幾何学（純粋数学）の内的発展により、非ユークリッド幾何学、3次元を超える空間、そして多様体の定義と研究が進んだ。当時、これらの概念は物理的現実とは全く切り離されているように見えたが、20世紀初頭、アルベルト・アインシュタインはこれらの概念を根本的に利用する相対性理論を発展させた。特に、特殊相対性理論の時空は4次元の非ユークリッド空間であり、一般相対性理論の時空は4次元の（曲がった）多様体である。[129] [130]

数学と物理学の相互作用における顕著な側面は、数学が物理学の研究を牽引する点である。これは陽電子と重粒子 の発見によって例証される。どちらの場合も、理論方程式には説明できない解が存在し、それが未知の粒子の存在を推測し、その探索へと繋がった。どちらの場合も、これらの粒子は数年後に特定の実験によって発見された。[131] [132] [133]

特定の科学

物理

振り子の図

数学と物理学は近代史を通じて互いに影響を与え合ってきました。現代物理学は数学を豊富に用いており[134]、数学の主要な発展の動機とも考えられています[135] 。

コンピューティング

コンピューティングはいくつかの点で数学と密接に関連している。[136] 理論計算機科学は本質的に数学的であると考えられている。[137]通信技術は、暗号や符号理論において、特に伝送セキュリティに関して、非常に古い数学の分野（例えば算術）を適用している。離散数学は、複雑性理論、情報理論、グラフ理論など、計算機科学の多くの分野で有用である。[138] 1998年には、球面パッキングに関するケプラー予想も計算機によって部分的に証明されたと思われた。[139]

生物学と化学

この巨大なフグの皮膚はチューリングパターンを示しており、これは反応拡散システムによってモデル化することができます。

生物学では、生態学や神経生物学などの分野で確率が広く用いられている。[140]確率に関する議論のほとんどは、進化適応度 の概念に集中している。[140]生態学では、個体群動態のシミュレーションや、[140] [141]捕食者‐被食者モデルなどの生態系の研究、汚染拡散の測定、[142]気候変動の評価などにモデリングが多用されている。[143]個体群の動態は、ロトカ・ヴォルテラ方程式などの連立微分方程式によってモデル化することができる。[144]

統計的仮説検定は、臨床試験のデータを用いて新しい治療法が有効かどうかを判断するために行われます。[145] 20世紀初頭以来、化学では計算を利用して分子を3次元でモデル化してきました。[146]

地球科学

構造地質学と気候学では、確率モデルを用いて自然災害のリスクを予測します。[147]同様に、気象学、海洋学、惑星学でもモデルを多用するため数学が活用されています。[148] [149] [150]

社会科学

社会科学で用いられる数学の分野には、確率・統計学や微分方程式などがあり、これらは言語学、経済学、社会学[151]、心理学[ 152]で用いられています。

このような需要と供給の曲線は、数理経済学の基本です。

数理経済学の基本的な公理は、しばしば合理的な個人行為者、すなわちホモ・エコノミクス（経済人）の公理である。[ 153 ]このモデルでは、個人は自己利益の最大化を図り、[153]完全な情報を用いて常に最適な選択を行う。[154]この経済学の原子論的見方では、個々の計算が数学的計算に置き換えられるため、その思考を比較的容易に数学化することができる。このような数学的モデル化により、経済のメカニズムを探ることができる。ホモ・エコノミクスの概念を否定したり批判したりする人もいる。経済学者は、生身の人間は情報が限られており、誤った選択をし、個人的な利益だけでなく公平性と利他主義を気にすると指摘する。[155] 

数理モデルがなければ、統計的観察や検証不可能な推測の域を出ることは困難です。数理モデルは、経済学者が仮説を検証し、複雑な相互作用を分析するための構造化された枠組みを構築することを可能にします。モデルは明瞭性と精度を提供し、理論的概念を定量化可能な予測へと変換し、現実世界のデータを用いて検証することを可能にします。[156]

20世紀初頭には、歴史的な動きを数式で表現する手法が発展しました。1922年、ニコライ・コンドラチェフは経済成長や危機の局面を説明する約50年周期のコンドラチェフ・サイクルを発見しました。 [157] 19世紀末にかけて、数学者たちは分析を地政学へと拡張しました。[158] ピーター・ターチンは1990年代に歴史動態学を開発しました。 [159]

社会科学の数学的表現にはリスクが伴う。物議を醸した著書『ファッショナブル・ナンセンス』（1997年）の中で、ソーカルとブリクモンは、社会科学における科学用語、特に数学や物理学の用語の根拠のない、あるいは乱用的な使用を非難した。[160]複雑系（失業率の推移、企業資本、人口動態の推移など）の研究には数学的知識が用いられる。しかし、特に失業率の計測基準やモデルの選択は、議論の余地がある。[161] [162]

哲学

現実

数学と物質的実在との関連性は、少なくともピタゴラスの時代から哲学的な議論を巻き起こしてきた。古代哲学者プラトンは、物質的実在を反映する抽象概念は、それ自体が時空を超えた実在性を持つと主張した。結果として、数学的対象は抽象概念において何らかの形でそれ自体で存在するという哲学的見解は、しばしばプラトン主義と呼ばれる。現代の数学者は、彼らの哲学的見解とは無関係に、研究対象を実在する実在の対象として考え、語るため、一般的にプラトン主義者とみなされる。[163]

アルマン・ボレルは数学的現実性のこの見解を次のように要約し、GHハーディ、シャルル・エルミート、アンリ・ポアンカレ、アルバート・アインシュタインの言葉を引用して彼の見解を裏付けた。[131]

何かが客観的なもの（「主観的」ではなく）になるのは、それが他者の心の中にも私たち自身の心の中に存在するのと同じ形で存在し、共に考え、議論することができると確信した瞬間です。[164]数学の言語は非常に正確であるため、そのような合意が存在する概念を定義するのに最適です。私の考えでは、それだけで客観的な存在、数学の現実性を感じ取るのに十分です…

しかしながら、プラトン主義とそれに付随する抽象化に関する見解は、数学の不合理な有効性を説明するものではない（プラトン主義は数学が独立して存在すると仮定するが、それがなぜ現実と一致するのかを説明しない）。[165]

提案された定義

数学の定義やその認識論的地位、つまり知識における位置づけについては、一般的なコンセンサスは存在しない。多くの専門数学者は数学の定義に興味を示さず、あるいは定義不可能だと考えている。数学が芸術か科学かという点についてもコンセンサスは存在しない。中には「数学とは数学者が行うことだ」とだけ言う者もいる。[166] [167]一般的なアプローチは、数学をその研究対象によって定義することである。[168] [169] [170] [171]

アリストテレスは数学を「量の科学」と定義し、この定義は18世紀まで広く用いられました。しかし、アリストテレスは量だけに焦点を当てるだけでは、数学を物理学のような科学と区別することはできないとも指摘しました。彼の見解では、抽象化と、量を現実の例から「思考において分離可能な」性質として研究することが数学を区別するものでした。[172] 19世紀、数学者たちが無限集合など、物理的現実とは明確な関係のないテーマに取り組み始めたとき、様々な新しい定義が与えられました。[173] 20世紀初頭以降、数多くの新しい数学分野が出現したため、数学をその研究対象によって定義することはますます困難になっています。[174]例えば、サンダース・マクレーンは『数学、形態、機能』の中で、定義の代わりに、数学のいくつかの分野の基礎を要約し、それらの相互関連性を強調し、次のように述べています。[175]

数学の発展は、形式的な規則、概念、そして体系が密接に結びついたネットワークを提供します。このネットワークの結節点は、人間の活動に役立つ手続きや科学における問いと密接に結びついています。活動から形式的な数学体系への移行は、様々な一般的な洞察とアイデアによって導かれます。

数学を定義するもう一つのアプローチは、その方法論を用いることです。例えば、ある研究分野は、定理（その妥当性が証明、つまり純粋に論理的な演繹によって証明される主張）を証明できれば、すぐに数学として認められることが多いです。[d] [176] [検証失敗]

厳しさ

数学的推論には厳密さが求められる。これは、定義が絶対的に明確で、証明が推論規則の適用の連続に還元可能でなければならないことを意味する。[ e]経験的証拠や直感を一切用いることなく。 [f] [177]厳密な推論は数学に特有のものではないが、数学においては厳密さの基準が他の分野よりもはるかに高い。数学は簡潔であるにもかかわらず、255ページに及ぶフェイト・トムソンの定理のように、厳密な証明には数百ページを要することもある。[g]コンピュータ支援による証明の出現により、証明の長さはさらに増大した。[h] [178] この傾向の結果、絶対確実とはみなせないものの、確率を伴う準経験主義的証明の哲学が生まれた。[6]

数学における厳密さの概念は古代ギリシャにまで遡り、当時の社会では論理的かつ演繹的な推論が奨励されていました。しかし、この厳密なアプローチは、無理数や無限の概念といった新しいアプローチの探求を阻害する傾向がありました。厳密な証明を示す方法は、16世紀に記号記法を用いることでさらに発展しました。18世紀には、社会の変遷により数学者は教育によって生計を立てるようになり、数学の根底にある概念についてより慎重に考えるようになりました。これにより、幾何学的手法から代数的、そして算術的証明へと移行する中で、より厳密なアプローチが生まれました。[6]

19世紀末には、数学の基本概念の定義が、パラドックス（非ユークリッド幾何学やワイエルシュトラス関数）や矛盾（ラッセルのパラドックス）を回避するには不十分であることが明らかになりました。この問題は、数学理論の明確な推論規則に公理を組み込むことで解決されました。これは、古代ギリシャ人が開拓した公理的手法の再導入です。[6]その結果、「厳密さ」はもはや数学において重要な概念ではなくなりました。証明は正しいか間違っているかのどちらかであり、「厳密な証明」は単なる言い換え表現に過ぎないからです。厳密さという特別な概念が作用するのは、証明の社会化された側面においてであり、そこでは他の数学者によって証明的に反駁される可能性があります。証明が何年も、あるいは何十年も受け入れられた後に初めて、信頼できるものとみなされるのです。[179]

それにもかかわらず、「厳密さ」の概念は、初心者に数学的証明とは何かを教えるのに役立つかもしれない。[180]

訓練と実践

教育

数学は、文化や時代を超越する驚くべき力を持っています。人間の活動として、数学の実践は、教育、キャリア、認知、普及などを含む社会的な側面を持っています。教育において、数学はカリキュラムの中核を成し、STEM（科学・技術・工学・数学）分野の重要な要素を形成しています。プロの数学者の代表的なキャリアとしては、数学教師や教授、統計学者、アクチュアリー、金融アナリスト、エコノミスト、会計士、商品トレーダー、コンピュータコンサルタントなどが挙げられます。[181]

考古学的証拠によると、古代バビロニアでは紀元前2千年紀にはすでに数学の指導が行われていた。[182]古代近東の書記官による数学の訓練、そして紀元前300年頃から始まるギリシャ・ローマ世界でも同様の証拠が発掘されている。 [183]​​ 最古の数学の教科書は紀元前 1650年頃のエジプトのリンド・パピルスである。[184]古代インドでは書籍の不足により、ヴェーダ時代（紀元前 1500年頃 - 紀元前 500年頃）以来、数学の教えは暗記された口伝によって伝えられていた。 [185]唐の時代（紀元618年 - 907年）の中国帝国では、国家官僚に加わるための公務員試験に数学のカリキュラムが採用された。[186]

暗黒時代以降、ヨーロッパでは数学教育は四分法の一環として宗教学校によって提供された。正式な教育法の指導は16世紀と17世紀のイエズス会学校から始まった。19世紀になってフランスとドイツで数学が盛んになるまで、数学のカリキュラムのほとんどは基礎的かつ実践的なレベルにとどまっていた。数学の指導に関する最も古い雑誌は、1899年に創刊された『数学教育』である。 [187]西洋の科学技術の進歩は、多くの国民国家で中央集権的な教育制度を確立し、当初は軍事への応用を目的としていた数学を中核とした。[188]コースの内容は様々であるが、今日ではほぼすべての国で学生にかなりの時間かけて数学を教えている。[189]

学校時代、数学的能力と肯定的な期待は、その分野へのキャリアへの関心と強い関連があります。教師、親、仲間からのフィードバックによる動機付けといった外的要因は、数学への関心のレベルに影響を与える可能性があります。[190]数学を学ぶ生徒の中には、数学における自分の成績について不安や恐怖を抱く人もいます。これは数学不安として知られており、学業成績に影響を与える障害の中で最も顕著なものと考えられています。数学不安は、親や教師の態度、社会的固定観念、個人的な特性など、さまざまな要因によって発症する可能性があります。不安を軽減するためには、指導方法の変更、親や教師との交流、そして個々の生徒に合わせた指導が役立ちます。[191]

心理学（美学、創造性、直感）

数学の定理の妥当性は、その証明の厳密さのみに依存しますが、理論的にはコンピュータプログラムによって自動的に証明することも可能です。これは、数学の研究に創造性の余地がないことを意味するものではありません。むしろ、多くの重要な数学的結果（定理）は、他の数学者が解決できなかった問題の解決策であり、それらの解決方法の発明は、解決プロセスの根本的な方法となる可能性があります。[192] [193]極端な例として、アペリーの定理が挙げられます。ロジャー・アペリーは証明のアイデアのみを提供し、正式な証明は数ヶ月後に他の3人の数学者によって示されました。[194]

数学者の活動における心理的側面は、創造性と厳密さだけではありません。数学者の中には、自らの活動をゲーム、より具体的にはパズルを解くことと捉える人もいます。[195]数学活動のこの側面は、レクリエーション数学において強調されています。

数学者は数学に美的価値を見出すことができます。美しさと同様に、美的価値は定義が難しいものですが、一般的には簡潔さ、対称性、完全性、一般性といった性質を含む優雅さと関連しています。GHハーディは著書『数学者の弁明』の中で、美的考慮はそれ自体で純粋数学の研究を正当化するのに十分であるとの信念を表明しました。彼はまた、数学的美学に貢献する、意義深さ、意外性、必然性といった他の基準も挙げています。[196]ポール・エルデシュは、この感情をより皮肉を込めて「ザ・ブック」に例えました。これは、最も美しい証明を集めた神聖な集成であるとされています。エルデシュに触発されて1998年に出版された『ザ・ブックからの証明』は、特に簡潔で啓示的な数学的議論を集めたものです。特に優雅な結果の例としては、ユークリッドによる無限個の素数の存在を示す証明や、調和解析のための高速フーリエ変換などが挙げられます。[197]

数学を科学とみなすことは、7つの伝統的な教養科目における数学の芸術性と歴史を軽視することだと考える人もいる。[198]この視点の違いが表れる一つの例は、数学的結果は（芸術のように）創造されるのか、それとも（科学のように）発見されるのかという哲学的な議論である。[131]娯楽数学の人気は、多くの人が数学の問題を解くことに喜びを感じていることを示すもう一つの兆候である。

文化的な影響

芸術的表現

西洋人の耳に心地よく聞こえる音は、振動の基本周波数が単純な比率になっている音です。例えば、1オクターブは周波数を2倍にし、完全5度は周波数を1/2倍にします。[199] [200]

スケーリング対称性と中心対称性を持つフラクタル

人間は、他の動物と同様に、対称的なパターンをより美しいと感じます。[201]数学的には、物体の対称性は対称群と呼ばれる群を形成します。[202]例えば、鏡面対称性の基礎となる群は、2つの要素の巡回群です。ロールシャッハ・テストはこの対称性によって図形不変であり、[ 203]蝶や動物の体（少なくとも表面上は）より一般的にも同様です。[204]海面の波は並進対称性を持ちます。つまり、波頭間の距離だけ視点を移動しても、海の眺めは変わりません。[205]フラクタルは自己相似性を持ちます。[206] [207]

普及

普及数学とは、専門用語を使わずに数学を紹介する行為である。[208]一般の人々は数学への不安を抱えており、数学的対象は高度に抽象的であるため、数学を紹介することは難しいかもしれない。[209]しかし、普及数学の執筆では、応用や文化的なつながりを用いることで、この問題を克服することができる。[210]それにもかかわらず、印刷メディアやテレビメディアで数学が普及の話題になることは稀である。

賞と賞金の問題

フィールズ賞の表側にはギリシャの博学者 アルキメデスのイラストが描かれている

数学界で最も権威のある賞はフィールズ賞である。[211] [212]は1936年にカナダのジョン・チャールズ・フィールズによって設立され、4年ごとに（第二次世界大戦中を除く）最大4名に授与される。[213] [214]これは数学界のノーベル賞とみなされている。[214]

その他の権威ある数学賞には以下のものがある: [215]

  • アーベル賞は2002年に創設され[216]、2003年に初めて授与された[217]。
  • 生涯功績に対するチャーンメダルは2009年に導入され[ 218 ]、2010年に初めて授与された[219]。
  • AMSリロイ・ P・スティール賞、1970年から授与[220]
  • ウルフ数学賞も生涯功績に対して授与され、[221] 1978年に設立された[222]

1900年にドイツの数学者ダヴィド・ヒルベルトによって「ヒルベルトの問題」と呼ばれる23の未解決問題のリストがまとめられました。 [223]このリストは数学者の間で非常に有名であり、[224]少なくとも13の問題（解釈の仕方によって異なりますが）が解決されています。[223]

2000年に「ミレニアム懸賞問題」と題された7つの重要な問題のリストが発表されました。そのうちの1つ、リーマン予想だけがヒルベルトの問題の一つと重複しています。これらの問題のどれか1つでも解ければ100万ドルの賞金が授与されます。[225]現在までに、これらの問題のうち1つ、ポアンカレ予想だけがロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンによって解決されています。[226]

参照

注記

  1. ^ ここでの代数学は現代的な意味で捉えられており、大まかに言えば、数式を操作する技術です。
  2. ^ これには、円筒と平面の交差である円錐曲線が含まれます。
  3. ^ ただし、複雑な解析手法を級数の生成に適用するなど、高度な解析手法が使用されることもあります。
  4. ^ 例えば、論理学はアリストテレス以来哲学に属しています。19世紀末頃、数学の基礎的危機は、数学に特有の論理学の発展を暗示しました。これにより、ゲーデルの定理などの定理の証明が可能になりました。それ以来、数理論理学は一般的に数学の一分野とみなされています。
  5. ^ これは、使用されるすべての推論規則を明示的に記述することを意味するものではありません。むしろ、コンピュータと証明支援ツールがなければ、これは一般的に不可能です。たとえこの最新技術をもってしても、完全に詳細な証明を書き記すには、人間による作業で何年もかかる可能性があります。
  6. ^ これは、証明する定理を選択してそれを証明するために経験的証拠と直感が必要ないという意味ではありません。
  7. ^ これは、以前に発表されたいくつかの補助的な結果の証明を含まない原論文の長さです。完全な証明を収録した書籍は1,000ページ以上あります。
  8. ^ 証明中に行われる大規模な計算を信頼できるとみなすには、通常、独立したソフトウェアを使用した2つの計算が必要である。

参考文献

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