共線性

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幾何学において、点の集合が共線性を持つとは、それらが単一の直線上に並ぶという性質のことである。^{[1]この性質を持つ点の集合は}共線的である（colinearと綴られることもある^[2]）。より一般的には、この用語は一列に並んだ物体、つまり「一直線上にある」あるいは「一列に並んでいる」物体を指すのに用いられる。

線上の点

あらゆる幾何学において、直線上の点の集合は共線的であるといわれます。ユークリッド幾何学では、この関係は「直線」上に一列に並ぶ点として直感的に視覚化されます。しかし、ほとんどの幾何学（ユークリッド幾何学を含む）では、直線は典型的にはプリミティブ（未定義）なオブジェクト型であるため、このような視覚化は必ずしも適切ではありません。幾何学のモデルは、点、直線、その他のオブジェクト型が互いにどのように関係しているかを解釈するものであり、共線性などの概念はそのモデルの文脈の中で解釈されなければなりません。例えば、球面幾何学では、標準モデルでは直線は球面の大円で表されますが、共線的な点の集合は同じ大円上にあります。このような点はユークリッド的な意味での「直線」上にはなく、一列に並んでいるとは考えられません。

直線を直線に写す幾何学からそれ自身への写像は共線化と呼ばれ、共線性の性質を保ちます。ベクトル空間の線型写像（または線型関数）は、幾何学的写像として見ると、直線を直線に写します。つまり、共線的な点集合を共線的な点集合に写すので、共線化です。射影幾何学では、これらの線型写像はホモグラフィと呼ばれ、共線化の一種です。

ユークリッド幾何学の例

三角形

どの三角形でも、次の点の集合は同一直線上にあります。

垂心、外心、重心、エクセター点、ロンシャン点、および 9 点円の中心は同一線上にあり、すべてオイラー線と呼ばれる直線上にあります。
ド・ロンシャン点には他の共線性もあります。
任意の頂点、反対側の外接円との接線、およびナゲル点は、三角形の分割線と呼ばれる直線上で同一線上にあります。
任意の辺の中点、三角形の境界線に沿ってどちらの方向にもその辺から等距離にある点（したがって、これらの2点は周囲を二等分します）、およびシュピーカー円の中心は、三角形の切断線と呼ばれる線上で一直線上にあります。（シュピーカー円は三角形の内接円であり、その中心は三角形の周囲の重心です。）
任意の頂点、内接円の反対側の辺の接線、およびジェルゴンヌ点は同一線上にあります。
三角形の外接円上の任意の点から、三角形の 3 つの延長辺のそれぞれの最も近い点は、外接円上の点のシムソン線と一直線上にあります。
高度の足を結ぶ線は反対側の辺と共線的に交差する。^[3]^{: p.199}
三角形の内心、高さの中点、および対応する辺とその辺に対する外円の接点は同一直線上にある。 ^[4]^{：p.120、#78}
メネラウスの定理は、三角形の反対側の頂点にある 3点（いくつかの延長線上にある）が同一線上にある場合、次の線分の長さの積が等しいというものである：^[3]^{：p. 147} $P_{1}、P_{2}、P_{3}$ $A_{1},A_{2},A_{3}$

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

内心、重心、およびスピーカー円の中心は同一直線上にあります。
三角形の外心、ブロカール中点、ルモワーヌ点は同一直線上にある。 ^[5]
三角形の垂心で交わる2本の垂直線は、それぞれ三角形の延長された辺と交差する。これらの交点の3辺の中点は、ドロ・ファルニー線上で一直線上にある。

四辺形

凸四辺形 $ABCD$ において、対辺が $E$ と $F$ で交わるとき、 $AC$ $、$ $BD$ $、$ $EF$ の中点は同一直線上にあり、それらを通る直線はニュートン線と呼ばれます。四辺形が接線四辺形である場合、その内心もこの直線上にあります。^[6]
凸四辺形においては、準直交心 $H$ 、面積の重心 $G$ 、準外心 $O$ がこの順序で共線上にあり、 $HG = 2 GO$ となる。^{[7] （}四辺形#凸四辺形における注目すべき点と線を参照。）

接線四辺形のその他の共線性については、「接線四辺形#共線点」で説明します。
円周四辺形においては、外心、頂点の重心（2つの双中線の交点）、反心は同一直線上にある。^[8]
円周四辺形においては、面積の重心、頂点の重心、対角線の交点は同一直線上にあります。^[9]
接線台形の場合、内接円と 2 つの底辺の接線は内心と同一直線上にあります。
接線台形では、脚の中点は内心と同一直線上にあります。

六角形

パスカルの定理（別名、六角形の神秘定理）は、円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）上の任意の 6 点を選択し、任意の順序で線分で結んで六角形を形成する場合、六角形の 3 組の向かい合う辺（必要なら延長する）は 3 点で交わり、その 3 点は六角形のパスカル直線と呼ばれる直線上に存在すると述べています。逆もまた真です。ブレイケンリッジ・マクローリンの定理は、六角形の向かい合う辺を通る 3 組の直線の 3 つの交点が一直線上にある場合、六角形の 6 つの頂点は円錐曲線上に存在すると述べています。この円錐曲線は、パップスの六角形定理のように退化している可能性があります。

円錐曲線

モンジュの定理によれば、平面上の任意の 3 つの円のうち、いずれも他の円の完全に内側にない場合、2 つの円にそれぞれ外接する 3 組の直線の 3 つの交点は同一線上にあります。
楕円では、中心、2 つの焦点、および曲率半径が最小の2 つの頂点が同一直線上にあり、中心と曲率半径が最大となる 2 つの頂点も同一直線上にあります。
双曲線では、中心、2 つの焦点、および 2 つの頂点が同一直線上にあります。

コーン

均一な密度の円錐体の重心は、底辺の中心から頂点までの 4 分の 1 の距離にあり、両者を結ぶ直線上にあります。

四面体

四面体の重心は、モンジュ点と外心の中点です。これらの点は、三角形のオイラー線に相似する四面体のオイラー線を定義します。四面体の12点球面の中心も、オイラー線上にあります。

代数

座標が与えられた点の共線性

座標幾何学において、 $n$ 次元空間において、3点以上の異なる点の集合が共線的であるための必要十分条件は、これらのベクトルの座標行列が階数1以下であることだ。例えば、3点が与えられている。

{\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \dots ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \dots ,\ z_{n}),\end{aligned}}

マトリックス

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

ランクが 1 以下の場合、ポイントは同一直線上にあります。

$同様に、 X、Y、Z$ のあらゆる部分集合に対して、行列

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

階数が2以下の場合、点は同一直線上にあります。特に、平面上の3点（ $n = 2$ ）に対して、上記の行列は正方行列であり、点が同一直線上にあるのは、その行列式が0のときのみです。3×3の行列式は、これらの3点を頂点とする三角形の面積の±2倍であるため、これは、これらの3点を頂点とする三角形の面積が0のときのみ、3点が同一直線上にあるという主張と同等です。

対距離が与えられた点の共線性

少なくとも 3 つの異なる点の集合は直線と呼ばれます。直線とは、すべての点が同一直線上にあることを意味し、その場合、すべての 3 つの点 $A、B、C$ について、次のケイリー–メンガー行列式の行列式が 0 になります ( $d (AB)は$ $A$ と $B$ 間の距離などを意味します)。

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

この行列式は、ヘロンの公式によれば、辺の長さが $d (AB)、 d (BC)、 d (AC)$ である三角形の面積の二乗の -16 倍に等しいため、この行列式がゼロであるかどうかを確認することは、頂点 $A、B、C$ を持つ三角形の面積がゼロであるかどうかを確認することと同じです(つまり、頂点が同一直線上にあります)。

同様に、少なくとも 3 つの異なる点の集合が共線的である場合、すなわち、 $d$ $($ $AC$ $)が$ $d$ $($ $AB$ $)$ と $d$ $($ $BC$ $)$ のそれぞれ以上である3 つの点 $A、 B、 C$ のそれぞれについて、三角不等式 $d$ $($ $AC$ $) \leq$ $d$ $($ $AB$ $) +$ $d$ $($ $BC$ $)$ が等式とともに成立する場合に限ります。

数論

2 つの数値 $m$ と $nが$ 互いに素ではない、つまり 1 以外の共通因数を共有している場合、かつその場合のみ、頂点が $(0, 0)、($ $m$ $、 0)、($ $m$ $、$ $n$ $)、(0,$ $n$ $)$ である正方格子上にプロットされた長方形において、少なくとも 1 つの内部点が $(0, 0)$ および $($ $m, n$ $)$ と同一線上にあります。

並行性（平面デュアル）

様々な平面幾何学において、「点」と「直線」の関係を保ちながら、それらの役割を交換する概念は平面双対性と呼ばれます。共線上の点の集合が与えられた場合、平面双対性により、すべてが共通点で交わる直線の集合が得られます。この直線の集合が持つ性質（共通点で交わる）は並行性と呼ばれ、これらの直線は並行直線であると言われます。したがって、並行性は共線性の平面双対概念です。

共線性グラフ

部分幾何学 $P$ が与えられ、2 つの点が最大で 1 本の直線を決定する場合、 $P$ の共線性グラフは、頂点が $P$ の点であるグラフであり、2 つの頂点が隣接しているのは、それらの頂点が $P$ 内の直線を決定する場合のみです。

統計学と計量経済学での使用

統計学において、共線性とは、2つの説明変数間の線形関係を指します。2つの変数が完全に共線的であるとは、2つの変数間に正確な線形関係があり、それらの相関が1または-1に等しい場合です。つまり、 $X 1$ と $X 2$ が完全に共線的であるとは、パラメータとが存在し、すべての観測値 $i$ に対して、次式が成り立つ場合です。 $\lambda_{0}$ $\lambda_{1}$

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

これは、さまざまな観測値 $(X 1 i 、 X 2 i)が$ $(X 1 、 X 2)$ 平面にプロットされた場合、これらの点はこの記事の前半で定義した意味で共線的であることを意味します。

完全多重共線性とは、重回帰モデルにおける $k （ k \geq 2）$ 個の説明変数が、

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

$すべての観測値i$ について。実際には、データセットにおいて完全な多重共線性に直面することは稀です。より一般的には、多重共線性の問題は、2つ以上の独立変数間に「強い線形関係」がある場合に発生します。つまり、

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

ここでの分散は比較的小さいです。 $\varepsilon _{i}$

横方向の共線性の概念はこの伝統的な見解を拡張したもので、説明変数と基準変数（つまり被説明変数）間の共線性を指します。^[10]

他の地域での使用

アンテナアレイ

電気通信において、共線型（または共線型）アンテナアレイは、各アンテナの対応する要素が平行かつ整列するように、つまり共通の線または軸に沿って配置されるように設置されたダイポールアンテナのアレイです。

写真

共線性方程式は、写真測量法やコンピュータステレオビジョンにおいて、画像（センサー）平面（2次元）の座標と物体座標（3次元）を関連付ける2つの方程式のセットです。写真撮影の設定では、カメラの光学中心を通る物体の点の中心投影を画像（センサー）平面の像に考慮することで方程式が導出されます。物体点、像点、光学中心の3点は常に共線です。言い換えれば、物体点と像点を結ぶ線分はすべて光学中心で一致するということです。^[11]

参照

注記

^ この概念はあらゆる幾何学に当てはまるが（Dembowski 1968, pg. 26）、特定の幾何学の議論の中でのみ定義されることが多い（Coxeter 1969, pg. 178）、Brannan、Esplen & Gray（1998, pg.106）。
^ Colinear（メリアム・ウェブスター辞書）
^ ab ジョンソン、ロジャー A.、「上級ユークリッド幾何学」、ドーバー出版、2007年（原著 1929年）。
^ アルトシラー・コート、ネイサン著『大学幾何学』第2版、バーンズ・アンド・ノーブル、1952年[第1版、1925年]。
^ Scott, JA「三角形幾何学における面積座標の使用例」、Mathematical Gazette 83、1999年11月、472-477。
^ ドゥシャン・ジュキッチ、ウラジミール・ヤンコビッチ、イワン・マティッチ、ニコラ・ペトロヴィッチ、『IMO Compendium』、Springer、2006、p. 15.
^ミャキシェフ、アレクセイ （2006）「四辺形に関連する2つの注目すべき線について」（PDF）、フォーラム幾何学、6：289–295。
^ ホンスバーガー、ロス(1995)、「4.2 巡回四辺形」、19世紀および20世紀ユークリッド幾何学のエピソード、ニュー・マセマティカル・ライブラリー、第37巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 35– 39、ISBN 978-0-88385-639-0
^ ブラッドリー、クリストファー（2011）、循環四辺形によって形成される3つの重心（PDF）
^ Kock, N.; Lynn, GS (2012). 「分散ベースSEMにおける横方向共線性と誤解を招く結果：図解と推奨事項」(PDF) . Journal of the Association for Information Systems . 13 (7): 546– 580. doi :10.17705/1jais.00302. S2CID 3677154.
^これらの方程式を 同時実行方程式と呼ぶ方が数学的には自然ですが、写真測量の文献ではその用語は使用されていません。

参考文献

ブランナン、デイビッド・A.; エスプラン、マシュー・F.;グレイ、ジェレミー・J. (1998) 『幾何学』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-59787-0
コクセター、HSM（1969）、幾何学入門、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-50458-0
Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 44、ベルリン: Springer、ISBN 3-540-61786-8、MR 0233275