交換法則

数学において、二項演算は、被演算子の順序を変えても結果が変わらない場合、可換性があるといいます。これは多くの二項演算の基本的な性質であり、多くの数学的証明はこれに依存しています。おそらく算術の性質として最もよく知られているでしょう。例えば「3 + 4 = 4 + 3」や「2 × 5 = 5 × 2」などですが、この性質はより高度な設定でも使用できます。この名前が必要なのは、除算や減算など、この性質を持たない演算（例えば「3 − 5 ≠ 5 − 3」）があるためです。このような演算は可換性がなく、非可換演算と呼ばれます

数の乗算や加算といった単純な演算は可換であるという考えは、何世紀にもわたって暗黙のうちに想定されていました。そのため、この性質は19世紀に新しい代数構造の研究が始まるまで、名付けられていませんでした。 ^[1]

定義

集合S上の二項演算は、すべてのに対してであるとき 可換である。^[2]可換でない演算は非可換であると言われる。^[3] $*$ $x*y=y*x$ $x,y\in S$

$xは$ $y$ と可換である、あるいは $x$ と $yが$ ^[4]の条件の下で可換であると言う。 $*$ $x*y=y*x.$

したがって、2つの要素が互いに可換であれば、演算は可換である。^[4] 2つの要素が互いに可換であれば、演算は非可換である。これは、いくつかの要素のペアが可換である可能性を排除するものではない。^[3] $x*y\neq y*x.$

例

可換演算

ベクトルの加算は可換です。なぜなら ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}。$

加算と乗算は、ほとんどの数体系において可換であり、特に自然数、整数、有理数、実数、複素数の間では可換である。これはあらゆる分野においても当てはまる。^[5]
加法はあらゆるベクトル空間とあらゆる代数において可換である。^[6]
和集合と積集合は集合上の可換な演算である。^[7]
「and」と「or」は可換論理演算である。^[8]

非可換演算

除算はなので非可換です。減算はなので非可換です。しかし、より正確には反可換に分類されます。なぜなら、すべてのとに対してだからです。べき乗は非可換です。（式 x ^y = y ^xを参照）^[9] $1\div 2\neq 2\div 1$ $0-1\neq 1-0$ $xy=-(yx)$ $x$ $y$ $2^{3}\neq 3^{2}$
いくつかの真理関数は非可換であり、被演算子の順序を変えると真理値表が変化する。 ^[10]例えば、 $(A \Rightarrow B) = (\negA \lor B)$ と $(B \Rightarrow A) = (A \lor \negB)$ の真理値表は次のようになる。

関数合成は一般に非可換である。^[11]例えば、との場合、と $f(x)=2x+1$ $g(x)=3x+7$ $(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15$ $(g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10$
与えられた次元の正方行列の行列乗算は、行列を除いて非 $1\times 1$ 可換演算である。例えば：^[12] ${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}$
3次元の2つのベクトルのベクトル積（または外積）は反可換である。つまり、である。^[13] $\mathbf {b} \times \mathbf {a} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

可換構造

代数構造の中には、可換性を必要としない演算を伴うものがあります。この演算が特定の構造に対して可換である場合、その構造はしばしば可換であると言われます。つまり、

可換半群とは、その演算が可換である半群である。 ^[14]
可換モノイドとは、その演算が可換であるモノイドである。 ^[15]
可換群またはアーベル群とは、その演算が可換である群である。 ^[16]
可換環とは、その乗法が可換である環のことである。（環上の加法は常に可換である。）^[17]

しかし、代数の場合、「可換代数」という語句は、可換乗算を持つ結合代数のみを指します。 ^[18]

歴史と語源

交換法則の暗黙の使用記録は古代にまで遡ります。エジプト人は積の計算を簡素化するために乗法の交換法則を利用しました。^[19]ユークリッドは著書『原論』の中で乗法の交換法則を前提としていたことが知られています。^[20]交換法則の正式な利用は、数学者が関数の理論に取り組み始めた18世紀後半から19世紀初頭に始まりました。今日では、交換法則は数学のほとんどの分野で使用されているよく知られた基本的な性質です。^[2]

commutativeという用語が初めて記録に残るのは、 1814年のフランソワ・セルヴォワの回想録である。この回想録では、現在では交換法則と呼ばれる性質を持つ関数を説明する際に、commutativesという語が用いられている。 ^[21] commutativeはフランス語の形容詞commutatifの女性形であり、これはフランス語の名詞commutationと、交換する、切り替えるという意味の動詞commuter （ to comboutの同義語）に由来する。この用語は1838年に英語に登場した。ダンカン・グレゴリーが1840年にエディンバラ王立協会紀要に発表した論文「記号代数の本質について」の中でである。^[22]

参照

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注釈

^ Rice 2011, p. 4
^ サラチーノ 2008、11ページより。
^ ab Hall 1966、262–263ページ。
^ ab Lovett 2022、p.12を参照。
^ Rosen 2013、付録Iを参照。
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参考文献

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