数学、特に群論において、群Gの単位元成分(単位元成分とも呼ばれる) は、単位元を含む Gの最大の連結部分群のいくつかの密接に関連した概念を指します。

点集合位相において、位相群Gの単位元成分は、 Gの連結成分G 0のうち、その群の単位元を含む成分である。位相群Gの単位元パス成分は、 Gのパス成分のうち、その群の単位元を含む成分である。

代数幾何学において、体k上の代数群Gの単位元成分は 、その基となる位相空間の単位元成分である。基底スキームS上の群スキームGの単位元成分とは、大まかに言えば、Sの点s上のファイバーが代数群であるファイバーG sの連結成分G s 0である群スキームG 0のことである。[1]

プロパティ

位相群または代数群Gの単位元成分G 0 は、 Gの閉正規部分群である。成分は常に閉じているので、これは閉群である。位相群または代数群における乗法と反転は定義により連続写像となるので、これは部分群である。さらに、 Gの任意 の連続自己同型aに対して、

α ( G0 )はG0です。

したがって、G 0はGの特性（位相的または代数的）部分群であるため、正規です。

上記と同じ議論により、位相群の恒等パス成分も正規部分群（位相部分群としての特性）である。恒等パス成分は一般には恒等パス成分よりも小さくなる可能性がある（パス連結性は連結性よりも強い条件であるため）。しかし、Gが局所パス連結である場合、これらは一致する。

位相群Gの恒等成分G 0は、 Gにおいて必ずしも開集合である必要はありません。実際、G 0 = { e } となる場合もあり、その場合Gは完全に不連続となります。しかし、局所的にパス連結な空間（例えばリー群）の恒等成分は、{ e }のパス連結な近傍を含むため、常に開集合となります。したがって、閉開集合となります。

コンポーネントグループ

商群G / G 0は、 Gの成分群または成分群と呼ばれる。その元は、 Gの連結成分である。成分群G / G 0 が離散群となるのは、 G 0が開群である場合に限る。Gが有限型代数群、例えばアフィン代数群である場合、G / G 0 は実際には有限群である。

同様に、経路成分群を経路成分の群（Gを恒等経路成分で割ったもの）として定義することもできる。一般に、経路成分群は経路成分群の商となるが、Gが局所経路連結である場合、これらの群は一致する。経路成分群は、零次ホモトピー群としても特徴付けられる。

例

  • 乗算を伴う非ゼロの実数のグループ( R *,•)には2つの要素があり、その要素のグループは({1,−1},•)です。
  • 分割複素数環における単位群 Uを考える。平面 { z = x + j y  : x , y ∈ R } の通常の位相において、U は直線y = xとy = − xによって4つの成分に分割される。ただし、zには逆元が存在しない。すると、U 0 = { z  : | y | < x } となる。この場合、 Uの成分群はクラインの4元群と同型である。
  • p進整数の加法群（ Z p、+）の恒等成分は、 Z pが完全に分離されているため、単集合{0}です。
  • 簡約代数群Gのワイル群は、 Gの最大トーラスの正規化群の成分群です。
  • 基本スキーム Spec( Z )上に定義された単位元2乗根の群スキーム μ 2 = Spec( Z [ x ]/( x 2 - 1))を考える。位相的に、 μ nは曲線 Spec( Z )の2つのコピーを点（つまり素イデアル）2で接着したものから構成される。したがって、 μ nは位相空間として連結されており、したがってスキームとしても連結されている。しかし、 μ 2 はその恒等成分とは等しくない。なぜなら、 Spec( Z )の 2 を除くすべての点上のファイバーは2つの離散点から構成されるからである。

位相体K上の代数群Gは、ザリスキー位相とKから継承された位相という2つの自然な位相を持つ。Gの恒等成分は、位相によって変化することが多い。例えば、一般線型群GL n ( R ) は代数群としては連結であるが、リー群としては正の行列式行列と負の行列式行列という2つの経路成分を持つ。非アルキメデス的局所体K上の連結な代数群は、 K位相において完全に連結ではないため、その位相において自明な恒等成分を持つ。

注記

  1. ^ SGA 3、v. 1、Exposé VIB、定義 3.1

参考文献

  • レフ・セミョーノヴィチ・ポンチャギン、『位相群』、1966年。
  • ミシェル・デマズール;ガブリエル、ピエール(1970)、Groupes algébriques。書籍 I: 幾何学、一般、交換グループ、パリ: Masson、ISBN 978-2225616662、MR  0302656
  • ミシェル・デマズール;アレクサンドル・グロタンディーク編（1970年）。グループ全体のスキーマの所有権。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 151.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 15+564 ページ。土井：10.1007/BFb0058993。ISBN 978-3-540-05179-4. MR  0274458。