オープンセット

例：青い円は、 x ² + y ² = r ²を満たす点の集合 ( x , y )を表します。赤い円は、 x ² + y ² < r ²を満たす点の集合 ( x , y )を表します。赤い集合は開集合であり、青い集合はその境界集合であり、赤い集合と青い集合の和集合は閉集合です。

数学において、開集合は実数直線上の開区間の一般化である。

距離空間( 2 点間の距離が定義されている集合)において、開集合とは、すべての点Pを含み、距離空間内でPに十分近いすべての点(つまり、Pまでの距離がPに依存するある値よりも小さいすべての点) が含まれる集合です。

より一般的には、開集合とは、与えられた集合の部分集合の与えられた集合の要素であり、その集合はその要素のすべての和集合、その要素のすべての有限積集合、空集合、そして集合全体自身を含むという性質を持つ。このような集合が与えられた集合は位相空間と呼ばれ、その集合は位相と呼ばれる。これらの条件は非常に緩く、開集合の選択において非常に柔軟な選択肢となる。例えば、すべての部分集合が開集合となる場合（離散位相）、あるいは空間自身と空集合以外の部分集合は開集合とならない場合（非離散位相）などである。^[1]

しかし実際には、開集合は距離の概念を定義せずに、距離空間に類似した近さの概念を提供するために選択されることが多い。特に、位相は連続性、連結性、コンパクト性といった、もともと距離によって定義されていた性質を定義することを可能にする。

距離を持たない位相の最も一般的な例は多様体で与えられる。多様体は、各点の近くではユークリッド空間の開集合に類似するが、一般には距離が定義されない位相空間である。数学の他の分野では、あまり直感的ではない位相が用いられている。例えば、代数幾何学やスキーム理論の基礎となるザリスキ位相などである。

モチベーション

直感的に言えば、開集合は2点を区別する方法を提供します。例えば、位相空間内の2点のうちの一方について、もう一方の（異なる）点を含まない開集合が存在する場合、その2点は位相的に区別可能と呼ばれます。このように、位相空間の2点、あるいはより一般的には2つの部分集合が、距離を具体的に定義することなく「近い」かどうかを論じることができます。したがって、位相空間は、距離の概念を備えた空間（計量空間と呼ばれる）の一般化と見なすことができます。

すべての実数の集合には、自然なユークリッド距離、つまり 2 つの実数間の距離を測定する関数、d ( x , y ) = | x − y |が存在します。したがって、実数xが与えられれば、その実数に近いすべての点、つまりxのε内にあるすべての点の集合について話すことができます。本質的に、 x の ε 内にある点は、次数εの精度でx を近似します。ε > 0 は常に成り立ちますが、ε が小さくなるにつれて、x をより高い精度で近似する点が得られることに注意してください。たとえば、x = 0 およびε = 1 の場合、 xのε内にある点は、正確に区間(−1, 1)内の点、つまり -1 から 1 までのすべての実数の集合です。ただし、ε = 0.5 の場合、 xのε内にある点は、正確に (−0.5, 0.5) の点です。明らかに、これらの点はε = 1の場合よりも高い精度でx を近似します。

前述の議論では、 x = 0の場合、 ε をどんどん小さく定義することで、 x をどんどん高い精度で近似できることが示されています。特に、 (− ε , ε ) の形式の集合は、 x = 0に近い点に関する多くの情報を提供します。したがって、具体的なユークリッド計量について話すのではなく、集合を使用してxに近い点を記述することができます。この革新的なアイデアは広範囲にわたる結果をもたらします。特に、 0 を含む集合の異なるコレクション (集合 (− ε , ε ) とは異なる) を定義することで、 0 と他の実数との間の距離に関して異なる結果が得られる可能性があります。たとえば、R を「距離を測定する」ための唯一の集合として定義すると、 0 を近似する際に達成できる精度はRのメンバーであることだけであるため、すべての点は 0 に近くなります。したがって、ある意味では、すべての実数は 0 から距離 0 離れていることがわかります。この場合、この尺度をバイナリ条件として考えると役立つ場合があります。つまり、 R内のすべてのものは等しく 0 に近く、 Rにない項目は0 に近くありません。

一般に、0 を近似するために用いられる 0 を含む集合の族を近傍基底と呼び、この近傍基底の要素を開集合と呼びます。実際、これらの概念を実数だけでなく任意の集合 ( X ) に一般化することができます。この場合、その集合の点 ( x ) が与えられたとき、 x を近似するために用いられる、 xを「囲む」(つまり x を含む) 集合の集合を定義できます。もちろん、この集合は特定の性質 (公理と呼ばれる) を満たしている必要があります。そうでなければ、距離を測定するための明確な方法が得られない可能性があります。例えば、Xのすべての点は、ある程度の精度でx を近似する必要があります。したがって、X はこの族に属するはずです。 x を含む「より小さな」集合を定義し始めると、 x をより高精度に近似する傾向があります。これを念頭に置いて、 xの周りの集合の族が満たす必要がある 残りの公理を定義することができます。

定義

ここでは、専門性の高い順にいくつかの定義を示します。それぞれの定義は、次の定義の特殊なケースです。

ユークリッド空間

ユークリッドn空間Rnの部分集合^が開集合であるとは、Rn内の任意の点xに対して、正の実数ε （ xに依存）が存在し、 Rn内の任意の点からxまでのユークリッド距離がεより小さい場合、その点が^Rnに属することを意味する。^{[2]同様に、 Rn}の部分集合が開集合であるとは、 Rn内の任意の点がRnに含まれる開球の中心となることを意味する。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

Rの開かない部分集合の例としては閉区間 [0,1]が挙げられます。これは、ε > 0に対して、 0 - εも1 + εも、どんなに小さくても [0,1]に属しないからです。

計量空間

計量空間( M , d )の部分集合Uが開集合であるとは、 U内の任意の点xに対して、 d ( x , y ) < εを満たす任意の点がUに属するような実数ε > 0 が存在する場合をいう。同様に、U内の任意の点がUに含まれる近傍を持つ場合もUは開集合である。 ${\displaystyle y\in M}$

これはユークリッド距離を持つユークリッド空間が距離空間であるため、ユークリッド空間の例を一般化したものです。

位相空間

集合X上のトポロジーは 、次の特性を持つ Xのサブセットの集合です。${\displaystyle \tau }$

• ${\displaystyle X\in \tau }$ そして。${\displaystyle \varnothing \in \tau }$
• の集合の任意の和集合はに属します。${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau }$ $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau \,.}$$
• における任意の有限集合の交差は に属する。正の整数に対して、${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau }$ $${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau \,.}$$

の各要素は開集合と呼ばれる。^[3] 集合Xとを合わせたものは位相空間と呼ばれる。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

開集合の無限交差は必ずしも開集合である必要はありません。例えば、が正の整数であるときの形の区間のすべてとの交差はであり、これは実数直線上では開集合ではありません。 ${\displaystyle \left(-1/n,1/n\right),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0\}}$

計量空間は位相空間であり、その位相は開球の和集合である部分集合全体の集合から構成される。しかし、計量空間ではない位相空間も存在する。

プロパティ

任意の数の開集合、あるいは無限数の開集合の和集合は開集合である。[ 4 ^]有限個の開集合の積集合は開集合である。[ 4 ^]

開集合の補集合（位相が定義されている空間を基準として）は閉集合と呼ばれる。集合は開集合と閉集合の両方の性質を持つことがある（閉開集合）。空集合と全空間は、開集合と閉集合の両方の性質を持つ集合の例である。^[5]

集合はそれ自体では開集合とみなされることはない。この概念は、包含集合とその上の特定の位相に相対的なものである。

集合が開集合であるかどうかは、検討中の位相に依存する。明瞭性よりも簡潔性を優先したため、位相を備えた集合Xを、「位相空間 」ではなく「位相空間X 」と呼ぶ。これは、位相データがすべて に含まれているにもかかわらずである。同じ集合に 2 つの位相がある場合、最初の位相で開集合Uが、2 番目の位相では開集合でない可能性がある。たとえば、X が任意の位相空間であり、YがXの任意の部分集合である場合、集合Yには、 「集合Uが Y 上の部分空間位相で開集合である場合と、U がYと、元のX上の位相からの開集合の交差である場合に限ります」と定義される独自の位相 (「部分空間位相」と呼ばれる) を与えることができる。^{[6]これにより、新しい開集合が導入される可能性がある。つまり、} Vが元のX上の位相で開集合であるが、元のX上の位相では開集合でない場合、 はY上の部分空間位相で開集合となる。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle V\cap Y}$ ${\displaystyle V\cap Y}$

具体的な例として、U が区間 内の有理数の集合として定義されている場合、Uは有理数の開集合ですが、実数の開集合ではありません。これは、周囲の空間が有理数である場合、U内のすべての点xに対して、 xから距離ε内のすべての有理点がUにも含まれるような正の数ε が存在するためです。一方、周囲の空間が実数である場合、U内のすべての点xに対して、 xから距離ε内のすべての実数点がUにも含まれるような正の数εは存在しません( U には非有理数が含まれないため)。 ${\displaystyle (0,1),}$

用途

開集合は位相幾何学において根本的な重要性を持つ。この概念は、位相空間や、距離空間や一様空間といった空間の近さと収束の概念を扱うその他の位相構造を定義し、理解するために必要である。

位相空間Xの任意の部分集合 A は（空集合も含む）開集合を含む。そのような開集合の最大値（包含に関して順序付けされた）はAの内部集合と呼ばれる。内部集合は、 Aに含まれるすべての開集合の和集合をとることによって構成できる。^[7]

2つの位相空間と間の関数が連続であるとき、関数は 、その中のすべての開集合の逆像が^[8]で開であるとき、 関数は開であると呼ばれる。その関数は、その中のすべての開集合の像が[9 ]で開であるとき、関数は開であると呼ばれる。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

実数直線上の開集合は、互いに素な開区間の可算な和集合であるという特性を持ちます。

特殊な開集合

閉集合と非開集合および/または非閉集合

集合は、開集合、閉集合、その両方、あるいはどちらでもない集合である。特に、開集合と閉集合は互いに排他的ではない。つまり、位相空間の部分集合は、一般に開集合と閉集合の両方である可能性がある。このような部分集合は閉集合と呼ばれる。位相空間の部分集合が閉集合と呼ばれるのは、その補集合とその両方がの開集合である場合である。あるいは、と が${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$

任意の位相空間において、空集合と集合自身は常に閉開集合である。これら二つの集合は閉開集合の最もよく知られた例であり、あらゆる位相空間に閉開集合が存在することを示している。位相の定義により、とが両方とも開集合であり、かつ互いに補集合であるため閉集合でもあることを指摘するだけで十分である。 ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$

実数直線の通常のユークリッド位相の開集合は、空集合、開区間、および開区間のすべての和集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ユークリッド位相の定義により、区間 はにおいて開区間である。 における補区間 は であり、これは開区間ではないため、閉区間ではない。実際、 に含まれる開区間は1 を含むことはできず、したがって は開区間の和集合にはなり得ない。したがって、 は開区間ではあるが閉区間ではない集合の例である。${\displaystyle I=(0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I^{\complement }=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),}$ ${\displaystyle I^{\complement }}$ ${\displaystyle I^{\complement }}$ ${\displaystyle I}$
• 同様の議論によれば、区間は閉じた部分集合ではあるが、開いた部分集合ではない。${\displaystyle J=[0,1]}$
• 最後に、もその補区間も開区間ではありません (開区間の和として表すことができないため)。つまり、 は開区間でも閉区間でもないということです。${\displaystyle K=[0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$ ${\displaystyle K}$

位相空間に離散位相が備わっている場合（定義により のすべての部分集合は開集合となる）、 のすべての部分集合は閉集合となる。離散位相を彷彿とさせるより高度な例として、 が空でない集合上の超フィルタであるとする。すると、 の和集合は上の位相となり、のすべての空でない真部分集合は開集合か閉集合のいずれかであり、両方となることはないという性質を持つ。つまり、 （ただし）の場合、次の2つのステートメントのうち正確に1つが真である。(1)または (2)言い換えれば、すべての部分集合は開集合または閉集合であるが、 両方である（つまり閉集合である）部分集合はとのみである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subsetneq X}$ ${\displaystyle S\neq X}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X.}$

通常のオープンセット

位相空間 の部分集合は、が成り立つとき、あるいはそれと同値で、 が成り立つとき、正則開集合と呼ばれる。ここで、、、およびは、それぞれにおけるの位相境界、内部、および閉包を表す。正則開集合からなる基底が存在する位相空間は、半正則空間と呼ばれる。 の部分集合が正則開集合となる場合、かつその補集合が における正則閉集合となる場合に限り、定義によりの部分集合は、 が成り立つとき、かつそれと同値で、 が成り立つ場合、あるいはそれと同値で、 となるとき、正則閉集合と呼ばれる。 すべての正則開集合（または正則閉集合）は開部分集合（または閉部分集合）であるが、一般には、^{[注 1]}逆は成り立たない。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$

開集合の一般化

全体にわたって位相空間になります。 ${\displaystyle (X,\tau )}$

位相空間のサブセットは次のように呼ばれます。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$

• ならばα開集合と呼ばれ、そのような集合の補集合はα閉集合と呼ばれる。 ^[9]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$
• 次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 preopen、 almost open、またはlocally dense となります。
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$ ^[10]
  2. が の稠密部分集合であり、がで開であるような部分集合が存在する^[10]${\displaystyle D,U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=U\cap D.}$
  3. の稠密部分集合となるような開集合（ ）が存在する^[10]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U.}$

  事前開集合の補集合は事前閉集合と呼ばれます。

• b開集合とは、である。b開集合の補集合はb閉集合と呼ばれる。 ^[9]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$
• 以下の同等の条件のいずれかを満たす場合、 β オープンまたはセミプレオープンです。
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$ ^[9]
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ^は[10]の正則閉集合である。${\displaystyle X.}$
  3. の開前集合が存在し、^[10]${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$

  β-開集合の補集合はβ-閉集合と呼ばれる。

• 以下の同等の条件のいずれかを満たす場合は、 順次オープンします。
  1. 内のシーケンスがのある点に収束するときはいつでも、そのシーケンスは最終的に 内になります。明示的に、これが意味するのは、が内のシーケンスであり、 内にとなるが存在する場合、は最終的に 内になります(つまり、の場合 となる整数が存在する)。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\geq i,}$ ${\displaystyle x_{j}\in A}$
  2. ${\displaystyle A}$ は、定義により集合 であるその順序内部に等しい。${\displaystyle X,}$

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  逐次開集合の補集合は逐次閉集合と呼ばれる。 において部分集合が逐次閉集合となるのは、がその逐次閉集合に等しい場合であり、逐次閉集合 とは定義により、においてに収束する列 が存在する集合である。 ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

• はほぼ開集合であり、 が貧弱な部分集合 （ただし は対称差）となるような開集合が存在するとき、ベールの性質を持つという。^[11]${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$
  • 部分集合が制限された意味でベール性を持つとは、交差のすべての部分集合が に対してベール性を持つということを意味する。^[12]${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap E}$ ${\displaystyle E}$
• 半開集合 の補集合は半閉集合と呼ばれる。 ^[13]${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle X}$
  • で表される部分集合の半閉包（ における）は、を部分集合として含むのすべての半閉部分集合の共通集合である。 ^[13]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$
• 半θ開とは、それぞれに対して、の半開部分集合が存在し、 ^[13]${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$
• θ-開集合（またはδ-開集合）とは、その補集合がθ-閉集合（またはδ-閉集合）である場合に定義される。ここで、 の部分集合は、そのθ-クラスター点（またはδ-クラスター点）全体の集合に等しい場合にθ-閉集合（またはδ-閉集合）と呼ばれる。ある点が部分集合のθ-クラスター点（またはδ-クラスター点）と呼ばれるのはにおけるの交点場合（またはが空でない場合）である。 ^[13]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$

という事実を利用して

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$     そして     ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

2 つの部分集合が次の条件を満たす場合は、次のことが推測されます。 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$

• すべての α オープン サブセットは、セミオープン、セミプレオープン、プレオープン、および b オープンです。
• すべての b 開集合は半前開集合（すなわち β 開集合）である。
• すべてのプレオープン セットは b オープンおよびセミプレオープンです。
• すべてのセミオープンセットは b-オープンかつセミプレオープンです。

さらに、部分集合が正則開集合であるためには、それが前開かつ半閉集合でなければならない。^[10] α開集合と半前開集合（それぞれ半開集合、前開集合、b開集合）の交差は、半前開集合（それぞれ半開集合、前開集合、b開集合）である。^[10] 前開集合は必ずしも半開集合である必要はなく、半開集合は必ずしも前開集合である必要はない。^[10]

前開集合（それぞれα開集合、b開集合、半前開集合）の任意の和集合は、再び前開集合（それぞれα開集合、b開集合、半前開集合）となる。^[10]しかし、前開集合の有限交差は必ずしも前開集合である必要はない。^[13]空間のすべてのα開部分集合の成す集合は、^[9]よりも細かい位相を形成する。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

位相空間がハウスドルフ空間であるための必要十分条件は、そのすべてのコンパクト部分空間がθ閉である場合である。^[13] 空間が完全に不連結であるための必要十分条件は、すべての正則閉部分集合が前開である場合、あるいは同値として、すべての半開部分集合が前開である場合である。さらに、空間が完全に不連結であるための必要十分条件は、すべての前開部分集合の閉包が開である場合である。^[9]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

参照

• ほぼオープンな地図 - オープンな地図と同等の条件を満たす地図
• ベース（トポロジー）  - トポロジーを定義するために使用される開集合の集合
• 閉集合 – 開集合かつ閉集合である部分集合
• 閉集合 – 開集合の補集合
• ドメイン（数学解析）  – 位相空間の連結な開部分集合
• 局所同相写像 – 各点付近で可逆な数学関数
• オープンマップ – オープン（またはクローズ）サブセットをオープン（またはクローズ）サブセットに送信する関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• サブベース – トポロジを生成するサブセットの集合

注記

1. 例外として、が離散位相を帯びている場合、 のすべての部分集合は の正則開部分集合と の正則閉部分集合の両方となる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

参考文献

1. ムンクレス 2000、76～77頁。
2. 上野健治他 (2005). 「多様体の​​誕生」. 『数学の贈り物：位相幾何学、関数、幾何学、代数の相互作用』 第3巻. アメリカ数学会. p. 38. ISBN 9780821832844。
3. ムンクレス 2000、76ページ。
4. Taylor, Joseph L. (2011). 「解析関数」.複素変数. サリーシリーズ. アメリカ数学会. p. 29. ISBN 9780821869017。
5. クランツ、スティーブン・G. (2009). 「基礎」.トポロジーの基礎とその応用. CRC Press. pp.  3– 4. ISBN 9781420089745。
6. ムンクレス 2000、88ページ。
7. ムンクレス 2000、95ページ。
8. ムンクレス 2000、102ページ。
9. Hart 2004、9ページ。
10. Hart 2004、8–9 ページ。
11. オクストビー、ジョン・C. (1980)、「4. ベールの性質」、測度と範疇、数学入門第2巻（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、  19～ 21頁、ISBN 978-0-387-90508-2。
12. クラトフスキ、カジミエシュ（1966年）、トポロジー第1巻、アカデミックプレスおよびポーランド科学出版社。
13. Hart 2004、8ページ。

参考文献

• ハート、クラース (2004).一般位相幾何学百科事典. アムステルダム・ボストン: エルゼビア/ノースホランド. ISBN 0-444-50355-2. OCLC  162131277.
• ハート、クラース・ピーター。永田純一；ヴォーン、ジェリー E. (2004)。一般的なトポロジーの百科事典。エルゼビア。ISBN 978-0-444-50355-8。
• マンクレス, ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260。 （印刷障害のある利用者もアクセス可能）

外部リンク

• 「開集合」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]