複利

実効金利

初期投資1,000ドルで年間20%の利息を得る効果と、様々な複利計算頻度

複利とは、元本とそれ以前に積み立てられた利息から 利息が積み重なることです。本来支払われるべき利息を再投資または留保すること、あるいは借り手からの負債が積み重なることによって生じます。

複利は単利とは対照的です。単利では、以前に蓄積された利息は当期の元本に加算されません。複利は、適用される単利率と利息の複利計算頻度によって決まります。

複利の頻度

複利計算頻度とは、一定期間内に累積利息が元本に定期的に加算される回数です。計算頻度は、年1回、半年1回、四半期1回、月1回、週1回、日1回、継続、または満期まで全く加算されないなど、 様々なパターンがあります。

たとえば、年利で表された利息を伴う月払いの資本化は、複利頻度が 12 であり、期間が月単位で測定されることを意味します。

年換算レート

消費者が個人向け金融商品をより公平かつ容易に比較できるよう、多くの国では金融機関に対し、預金または前払金の年間複利率を比較可能な基準で開示することを義務付けています。年間換算金利は、市場によって実効年率（EAPR）、年間換算金利（AER）、実効金利、実効年率、年利回り など、様々な名称で呼ばれる場合があります。実効年率とは、1年後までに支払われる利息の総額を元本で割ったものです。これらの利率は通常、年間複利率に、税金やその他の手数料など、利息以外の費用を加えたものです。

例

初期投資1万ドルに対して40年間で15％の複利

初期投資額10,000ドルに対して年間配当1.5%、
40年間で合計266,864ドルの配当金が支払われる。
このシナリオでは配当金は再投資されない。

インフレは40年間にわたり、異なる率で複利的に進行した

  8%

  7%

  6%

  5%

  4%

  3%

  2%

  1%

• 社債および国債の利息は通常、年2回支払われます。6ヶ月ごとに支払われる利息の額は、開示されている利率を2で割り、元本に乗じた額です。年間複利は開示されている利率よりも高くなります。
• カナダの住宅ローンは一般的に半年ごとに複利計算され、毎月またはより頻繁に返済されます。^[1]
• 米国の住宅ローンは複利ではなく、元本均等返済方式を採用しています。これらのローンでは、元本と利息の支払い方法を決定するために、元本均等返済スケジュールが使用されます。これらのローンで発生する利息は元本に加算されるのではなく、毎月の返済額に応じて返済されます。
• 例えばデリバティブ商品の評価においては、連続複利を用いる方が数学的に単純な場合があります。これらの商品の価格設定における連続複利は、伊藤計算の自然な帰結です。伊藤計算では、金融デリバティブ商品は、限界に近づくまで継続的に評価され、デリバティブ商品は連続時間で評価されます。

歴史

複利は古代文明にも知られていましたが、数学者がそれを分析した最初の痕跡は中世に遡ります。紀元前2000年から1700年頃のバビロンの粘土板は、複利の問題を初めて示した資料である可能性があります。^[2]

貸し手によって請求される複利は、かつては最悪の高利貸しとみなされ、ローマ法や多くの他の国の慣習法によって厳しく非難されていました。^[3]

フィレンツェの商人フランチェスコ・バルドゥッチ・ペゴロッティは、 1340年頃に著した『商人の実践』の中で複利表を掲載している。この表には、100リラに対する1%から8%の利子が最長20年にわたって付与される利子が示されている。^[4]ルカ・パチョーリの『算術大全』（1494年）には、複利投資が2倍になるまでの年数を求めるには、利子率を72で割ればよいという72の法則が示されている。

リチャード・ウィットの著書『算術問題集』は1613年に出版され、複利の歴史における画期的な著作となった。本書は複利（以前は解剖学と呼ばれていた）という主題に完全に捧げられたが、それ以前の著者は複利を数学の教科書の1章で簡潔に扱うのが通例だった。ウィットの著書には、10%（貸付金に許容される最高金利）に基づく表や、不動産リースの評価など、様々な目的に応じた他の金利に基づく表が掲載されていた。ウィットはロンドンの数学者であり、彼の著書は表現の明快さ、洞察の深さ、そして124の実例による計算の正確さで特筆すべきものであった。^{[5] [6]}

ヤコブ・ベルヌーイは1683年に複利に関する問題を研究して この定数を発見しました。${\displaystyle e}$

19世紀、あるいはそれ以前から、ペルシャ商人は月々の支払いの計算式に若干修正を加えた線形テイラー近似法を用いていました。これは彼らの頭の中で簡単に計算できるものでした。^[7] 現代において、アルバート・アインシュタインが複利について語ったとされる言葉は真実味を帯びています。「複利を理解する者は複利を得る。理解しない者は複利を支払う。」^[8]アインシュタインは複利を世界8番目の不思議と称したとも言われています。^[9]

計算

定期複利

元金と複利を加えた累積総額は、次の式で表されます。^{[10] [11]}${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

どこ：

• Aは最終金額です
• Pは元の元本額である
• rは名目年利子率である
• nは複利計算の頻度（1：年、12：月、52：週、365：日）^[12]
• tは利息が適用される全体の期間です ( rと同じ時間単位、通常は年を使用して表されます)。

生成される複利の合計は、最終金額から最初の元金を差し引いたものになります。最終金額は元金と利息の合計に等しいからです。^[13]

$${\displaystyle I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}-P}$$

累積関数

元本Pは単なる係数であるため、簡略化のために省略されることが多く、代わりに結果として得られる累積関数が使用されます。累積関数は、任意の期間における1ドルの増加量を示します。複利の累積関数は次のとおりです。$${\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

連続複利

年間の複利計算期間数が無制限に増加すると、連続複利が発生し、その場合、実効年利率はe ^r − 1の上限に近づきます。連続複利とは、複利計算期間を無限小に小さくすることと見なすことができ、nが無限大に近づくにつれてその限界が達成されます。連続複利計算をt回繰り返した後の金額は、初期金額P ₀を用いて次のように表すことができます。

$${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}.}$$

利害の力

連続複利では複利期間の数が無限大に近づくため、連続複利利率は「利子の力」と呼ばれます。任意の連続微分可能累積関数a(t)について、利子の力、あるいはより一般的には対数複利または連続複利の収益は、次のように時間の関数となります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)}$$

これは累積関数の 対数微分です。

逆に言えば、 ( なので、これは積分の特殊なケースとして見ることができます。) $${\displaystyle a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,}$$ ${\displaystyle a(0)=1}$

上記の式を微分方程式の形式で書くと、関心のある力は単に変化量の係数になります。 $${\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt}$$

年利rが一定の複利の場合、利子の力は定数であり、利子の力に関する複利の累積関数はeの単純な累乗である。 または $${\displaystyle \delta =\ln(1+r)}$$ $${\displaystyle a(t)=e^{t\delta }}$$

利子の力は年間実効金利よりも小さいが、年間実効割引率よりも大きい。これはe倍の時間の逆数である。

インフレの力をモデル化する方法として、Stoodley の式が挙げられます。ここで、 p、r、およびs は推定値です。 ${\displaystyle \delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}}$

複利ベース

金利をある複利計算基準から別の複利計算基準に変換すると、

$${\displaystyle \left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}}$$

使用

$${\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},}$$

ここで、r _{1は複利頻度}n ₁の金利、r _{2は複利頻度}n ₂の金利です。

利息が継続的に複利計算される場合は、

$${\displaystyle \delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},}$$

ここで、 は連続複利ベースの利率であり、 rは複利頻度nで定められた利率です。 ${\displaystyle \delta }$

月々の元金均等返済または住宅ローンの支払い

元本償還型のローンや住宅ローンの利息は、返済が完了するまで毎月一定額が支払われる複利計算となることが多く、多くの場合、毎月の利息が複利計算されます。この計算式は、以下の式から導き出されます。

月々の支払いの正確な計算式

月々の支払額（） の正確な式は 次の通り である。${\displaystyle c}$ $${\displaystyle c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}$$ $${\displaystyle c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle c}$ = 月額支払い
• ${\displaystyle P}$ = 校長
• ${\displaystyle r}$ = 月利
• ${\displaystyle n}$ = 支払い期間の数

スプレッドシートの式

スプレッドシートでは、PMT()関数を使用します。構文は次のとおりです。

PMT(金利, 支払回数, 現在価値, 将来価値, [タイプ])

月々の支払額のおおよその計算式

典型的な米国の債券利率（期間= 10～30年）の場合、月々の債券利率は1に比べて小さいので、数パーセント以内の精度の式を見つけることができます。これにより、簡略化された式が得られます。 ${\displaystyle I<8\%}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r<<1}$ ${\displaystyle \ln(1+r)\approx r}$

$${\displaystyle c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}}$$

補助変数を定義することを示唆している

$${\displaystyle Y\equiv nr=IT}$$ $${\displaystyle c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.}$$

これは、分割払いで返済する無利子ローンに必要な月々の支払額です。これらの変数を用いて、近似値は と表すことができます。 ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$

とします。 が与えられた場合、展開は1% を超えるまで有効です。 ${\textstyle X={\frac {1}{2}}Y}$ ${\textstyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)}$ ${\displaystyle X\leq 1}$

住宅ローンの支払い例

期間 30 年、利率 4.5%、月々の返済額 12 万ドルの住宅ローンの場合、次のようになります。

$${\displaystyle T=30}$$ $${\displaystyle I=0.045}$$ $${\displaystyle c_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33}$$

これにより

$${\displaystyle X={\frac {1}{2}}IT=.675}$$

となることによって

$${\displaystyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96}$$

正確な支払額は、概算で約 6 分の 1 パーセントほど多めに見積もられます。 ${\displaystyle c=\$608.02}$

毎月の入金

元本預金と定期預金があれば、単位時間あたりの複利によって投資のトータルリターンを計算できます。必要に応じて、追加の非定期預金と定期預金の利息も同じ計算式で定義できます（下記参照）。^[14]

• ${\displaystyle P}$ = 元金預金
• ${\displaystyle r}$ = 収益率（月間）
• ${\displaystyle M}$ = 毎月の預金、および
• ${\displaystyle t}$ = 時間（月）

各預金の複利は次の式で表されます。 全期間 t にわたるすべての定期預金を加算すると、(預金が元本の投資から始まる場合は i は 0 から始まり、預金が翌月に始まる場合は i は 1 から始まります)、 等比数列 を認識し、閉じた形式の公式(公比: ) を適用します。$${\displaystyle M'=M(1+r)^{t}}$$ $${\displaystyle M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}}$$ ${\displaystyle M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}}$ ${\displaystyle 1/(1+r)}$

$${\displaystyle P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}}$$

2種類以上の預金（定期預金または非定期預金）が発生した場合、複利で得られる価値は次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}}$$

ここで、C は各一括払い、k はそれぞれ月次以外の定期預金、x と y は新規預金と合計期間 t の間の時間差です。

各定期預金の正確な日付と金額が不明な場合の収益率の逆算の実際的な推定値は、期間を通じて毎月均一の定期預金を仮定した式である：^[15] または$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}}$$ $${\displaystyle r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1}$$

参照

• クレジットカードの利息
• 指数関数的成長
• フィッシャー方程式
• 興味
• 金利
• 収益率
• 投資収益率
• 実質価値と名目価値（経済学）
• 高利貸し
• 利回り曲線

参考文献

1. 「1985年利息法、RSC、c. I-15、s. 6：不動産の抵当権または不動産の抵当権によって担保された金銭の利息」司法法ウェブサイト。カナダ司法省。2002年12月31日。2022年9月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年8月14日閲覧。
2. 年12月24日). 「複利の出現」. British Actuarial Journal . 24. doi : 10.1017/S1357321719000254 .
3. この記事には、現在パブリックドメイン となっている出版物のテキストが含まれています：  Chambers, Ephraim編 (1728). "Interest". Cyclopædia, or an Universal Dictionary of Arts and Sciences (1st ed.). James and John Knapton, et al.
4. アラン・エヴァンス (1936)。フランチェスコ・バルドゥッチ・ペゴロッティ、ラ・プラティカ・デッラ・メルカトゥーラ。マサチューセッツ州ケンブリッジ。301-2ページ 。
5. Lewin, CG (1970). 「複利に関する初期の書籍 - リチャード・ウィットの算術的問題」.アクチュアリー協会誌. 96 (1): 121– 132. doi :10.1017/S002026810001636X.
6. Lewin, CG (1981). 「17世紀の複利」.アクチュアリー協会誌. 108 (3): 423– 442. doi :10.1017/S0020268100040865.
7. ミランファー、ペイマン (1996). 「ペルシャの民間における利子計算法」.数学雑誌. 69 (5): 376. doi :10.1080/0025570X.1996.11996479.
8. シュレックサー、ジム（2020年1月21日）「なぜアインシュタインは複利を宇宙で最も強力な力と考えたのか：複利の力は本当に世界8番目の不思議なのか？」Inc .
9. 「複利計算機」Investing insiders . 2025年10月14日閲覧。
10. 「複利の公式」. qrc.depaul.edu . 2018年12月5日閲覧。
11. Investopediaスタッフ (2003年11月19日). 「継続的複利」. Investopedia . 2018年12月5日閲覧。
12. JAMES CHEN (2024年8月1日). 「複利：公式と例」. Investopedia . 2024年12月26日閲覧。
13. 「複利の計算式 - 説明」www.thecalculatorsite.com . 2018年12月5日閲覧。
14. 「複利を利用して投資スプレッドを最適化する」。
15. http://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm 「The Four Pillars of InvestingとThe Motley Foolが推奨」