無限

シェルピンスキーの三角形には、それ自体の（縮小された）コピーが無限に含まれます。

無限とは、無限、制限なし、終わりのない、あるいはいかなる自然数よりも大きいものです。これは無限大記号と呼ばれる∞で表されます。

古代ギリシャ時代から、無限の哲学的性質は多くの議論の対象となってきた。17世紀には、無限記号^[1]と無限小微積分が導入され、数学者は無限級数や、一部の数学者（ロピタルやベルヌーイなど）^[2]が無限に小さい量とみなしたものを扱い始めたが、無限は終わりのない過程と関連付けられ続けた。数学者が微積分の基礎に苦心していた間、無限を数または大きさとして考えることができるかどうか、またそうであるとすればどのように考えることができるかは不明のままであった。^[1] 19世紀末、ゲオルク・カントールは無限集合と無限数を研究することで無限の数学的研究を拡大し、それらが様々なサイズになり得ることを示しました。^{[1] [3]} 例えば、直線をその上の全ての点の集合として捉えると、その無限数（すなわち直線の濃度）は整数の数よりも大きくなります。^[4]この用法では、無限は数学的概念であり、無限の数学的対象は他の数学的対象と同様に研究、操作、使用することができます。

数学的な無限の概念は、特に無限に多くの異なるサイズの無限集合を導入することによって、古い哲学的概念を洗練し拡張する。現代数学の大部分が展開できるツェルメロ-フランケル集合論の公理の中に、無限集合の存在を保証する無限公理がある。 ^[1]数学的な無限の概念と無限集合の操作は、一見何の関係もなさそうな組合せ論などの分野でも、数学で広く使われている。例えば、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、初等算術で述べられている長年の問題を解決するために、暗黙のうちにグロタンディーク宇宙、つまり非常に大きな無限集合の存在に依存している^[5]。

物理学と宇宙論において、宇宙が空間的に無限であるかどうかは未解決の問題である。

歴史

古代文化においては、無限の性質について様々な考えがありました。古代インド人やギリシャ人は、現代数学のように厳密な形式主義で無限を定義したのではなく、哲学的な概念として無限にアプローチしました。

初期ギリシャ

ギリシャにおける無限の概念の記録として最も古いのは、ソクラテス以前のギリシャ哲学者アナクシマンドロス（紀元前610年頃 - 紀元前546年頃）の考えであると考えられます。彼は「無限の」「不定の」という意味の「アペイロン」という言葉を用いており、これはおそらく「無限」と訳されるでしょう。^{[1] [6]}

アリストテレス（紀元前350年）は、潜在的無限と現実の無限を区別しました。彼は、現実の無限は様々なパラドックスを引き起こす可能性があるため、不可能だと考えていました。^[7]この見解に沿って、ヘレニズム時代のギリシャ人は「無限への恐怖」を抱いていたと主張されています^{。[8] [9]}例えば、ユークリッド（紀元前300年頃）が素数が無限にあるとは言わず、「素数は、割り当てられた素数の集合よりも大きい」と述べた理由が説明されます。^{[10]また、}素数の無限性を証明したユークリッドは、「無限への恐怖を克服した最初の人物」であったとも主張されています。 ^{[11]ユークリッドの}平行線公理についても同様の論争があり、これは次のように翻訳されることもあります。

二つの直線が交差する直線が同じ側に二つの直角未満の大きさの内角を作る場合、二つの直線は無限に延長されて、二つの直角未満の大きさの内角の和となる側で交わる。^[12]

しかし、他の翻訳者は「もし無限に伸びるならば…」という訳語を好み、ユークリッドが無限の概念に馴染んでいたという含意を避けている。 ^[13]最後に、無限についての考察は「無限への恐怖」を喚起するどころか、初期ギリシャ哲学全体の根底にあったものであり、アリストテレスの「潜在的無限」は当時の一般的な傾向から逸脱したものであると主張されてきた。^[14]

ゼノン：アキレスと亀

エレアのゼノン（紀元前 495年頃 -紀元前 430年頃）は、無限に関するいかなる見解も提唱しなかった。しかしながら、彼のパラドックス^{[15] 、特に「アキレスと亀」は、一般大衆の認識の不十分さを明らかにした点で重要な貢献を果たした。}バートランド・ラッセルは、これらのパラドックスを「計り知れないほど繊細で深遠」と評した^{[16] 。}

アキレスはカメと競争し、カメに先行権を与えます。

• ステップ 1: カメが前進する間に、アキレスはカメのスタート地点まで走ります。
• ステップ 2: アキレスはステップ 1 の終わりにカメがいた場所まで進み、カメはさらに先へ進みます。
• ステップ 3: アキレスはステップ 2 の終わりにカメがいた場所まで進み、カメはさらに先へ進みます。
• ステップ 4: アキレスはステップ 3 の終わりにカメがいた場所まで進み、カメはさらに先へ進みます。

等。

どうやら、アキレスが何歩進んでもカメはアキレスより先を進んでいるため、アキレスがカメを追い抜くことは決してないようです。

ゼノンは無限について論じようとしたのではない。運動を幻想とみなすエレア派の一員として、アキレスが走れると仮定すること自体が誤りだと考えたのだ。その後の思想家たちは、この解釈を受け入れ難いものとし、2000年以上もの間、この議論の別の弱点を見つけようと苦闘した。

最終的に1821年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーは、 0 < x < 1に対して、満足のいく極限の定義と証明を提供した^[17]。 $${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

アキレスが10メートル/秒で走り、カメが0.1メートル/秒で歩き、カメが100メートル先行していると仮定する。追跡時間はコーシーのパターンに一致し、a = 10秒、x = 0.01となる。アキレスはカメを追い抜く。追いつくまでに

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$ ${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{秒}}.}$

初期のインド

ジャイナ教の数学書『スーリヤ・プラジュナプティ』（紀元前4世紀～3世紀頃）は、すべての数を可算数、無算数、無限数の3つの集合に分類しています。これらの集合はさらに3つの順序に分類されます。^[18]

• 列挙可能: 最低、中、最高
• 数え切れないほど：ほぼ数え切れないほど、本当に数え切れないほど、そして数え切れないほど数え切れないほど
• 無限：ほぼ無限、真に無限、限りなく無限

17世紀

17世紀、ヨーロッパの数学者たちは無限数と無限式を体系的に使い始めました。1655年、ジョン・ウォリスは著書『円錐の断面について』^[19]で初めてこの表記法を用い、領域を幅^[20]程度の微小な帯に分割することで面積計算に利用しました。しかし、1656年の著書『無限数論』 ^[21]では、無限級数、無限積、無限連分数を、いくつかの項や因数を記し、最後に「&c.」を付け加えることで示しています。例えば、「1, 6, 12, 18, 24, &c.」^{[22]のようです。}${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$

1699 年、アイザック ニュートンは、著書『De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas』で無限の項を含む方程式について書きました。^[23]

シンボル

無限大記号（​​レムニスケートとも呼ばれる）は、無限の概念を表す数学記号である。この記号は、UnicodeではU+221E ∞ INFINITY ( ∞ ) ^{[24] 、} LaTeXでは^[25]としてエンコードされている。${\displaystyle \infty}$ \infty

これは1655年にジョン・ウォリスによって導入され、^{[26] [27]}、導入以来、数学以外の分野でも近代神秘主義^[28]や文学象徴学^[29]に利用されてきました。

微積分

微積分の共同発明者の一人であるゴットフリート・ライプニッツは、無限数とその数学における応用について幅広く考察した。ライプニッツにとって、無限小と無限量はどちらも理想的な実体であり、知覚可能な量と同じ性質ではないものの、連続の法則に従って同じ性質を持つものであった。^{[30] [2]}

実分析

実解析において、「無限大」と呼ばれる記号は、無限大の極限を表すために使用されます。^[31]それ自体は実数ではありません。この表記は、無限に増加することを意味し 、無限に減少することを意味します 。例えば、任意の に対して で あれば、^[32]${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(t)\geq 0}$ ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$ からまでの有限領域を囲まないことを意味する${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$ 下の面積が無限であることを意味します。${\displaystyle f(t)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$ は、下の総面積が有限であることを意味し、${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle a.}$

無限大は、次のように無限級数を記述するためにも使用できます。

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$ 無限級数の和が実数値に収束することを意味する${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$ 無限級数の和は、部分和が際限なく増加するという意味で、適切に無限大に発散することを意味する。 ^[33]

極限を定義することに加えて、無限大は拡張実数系の値としても使用できます。 および で示される点は、実数の位相空間に追加することができ、実数の2 点コンパクト化を生成します。これに代数的特性を加えると、拡張実数が得られます。^[34]および を同じものとして扱うこともでき、実数の1 点コンパクト化、つまり実射影直線が得られます。^[35]射影幾何学では、平面幾何学における無限大直線、3 次元空間における無限大平面、および一般次元の無限大超平面も指し、それぞれが無限大点で構成されます。^[36]${\displaystyle +\infty}$ ${\displaystyle -\infty}$ ${\displaystyle +\infty}$ ${\displaystyle -\infty}$

複素解析

立体射影によって、複素平面は球面に「巻き付ける」ことができ、球面の頂点は無限遠に対応する。これはリーマン球面と呼ばれる。

複素解析において、「無限大」と呼ばれる記号は、符号なしの無限極限を表す。この表現は、の 大きさ が任意の割り当てられた値を超えて増大することを意味する。ラベルを付した点は、複素平面の一点コンパクト化を与える位相空間として複素平面に追加することができる。これを行うと、結果として得られる空間は1次元複素多様体、すなわちリーマン面となり、拡張複素平面 またはリーマン球面と呼ばれる。^[37]拡張実数に対して上記で示した算術演算と同様の演算も定義できるが、符号の区別はない（このため、無限大を自身に追加できないという唯一の例外が生じる）。一方、この種の無限大は、ゼロ除算、つまり任意の非ゼロ複素数による除算を可能にする。この文脈において、有理型関数を、極におけるの値をとるリーマン球面への写像として考えることがしばしば有用である。複素数値関数の定義域は、無限大点を含むように拡張することができる。このような関数の重要な例の 1 つは、メビウス変換のグループです(メビウス変換 § 概要 を参照)。 ${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle z/0=\infty }$  ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty}$

非標準分析

超実数直線上の無限小数（ε）と無限大数（ω）（1/ε = ω/1）

アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによる微小微積分の最初の定式化では、微小量が使用されていました。20世紀後半には、この処理は、滑らかな微小解析​​や非標準解析などのさまざまな論理システムを通じて厳密な基盤の上に置かれることが示されました。後者では、微小数は可逆であり、その逆は無限数です。この意味での無限数は、超実体の一部であり、カントール超限数のようにそれらの間に同値性はありません。たとえば、H がこの意味で無限数である場合、H + H = 2H と H + 1 は異なる無限数です。非標準微積分へのこのアプローチは、Keisler (1986) で完全に展開されています。

集合論

無限集合とその真部分集合との間の一対一対応

「無限」の別の形態は、ゲオルク・カントールによって初めて開発された超限数の体系である集合論における順序無限と基数無限である。この体系では、最初の超限基数はアレフ零（ℵ ₀ ）であり、これは自然数集合の基数である。この量的無限に関する現代数学的概念は、19世紀後半にカントール、ゴットロープ・フレーゲ、リヒャルト・デデキントらの研究から、集合の概念を用いて発展した。^[1]

デデキントのアプローチは、本質的に、集合の大きさを比較する基準として一対一対応の考え方を採用し、全体と部分の大きさが同じになることはないというガリレオの見解（ユークリッドに由来）を否定することであった。（ただし、ガリレオのパラドックスを参照。ガリレオは、正の整数は正の平方整数の部分集合と比較できないと結論付けている。なぜなら、両者は無限集合だからである。）無限集合とは、その真の部分の少なくとも一つと同じ大きさを持つ集合と単純に定義できる。この無限の概念はデデキントの無限集合と呼ばれる。右の図はその一例である。線を点の無限集合と見なすと、下の青い線の左半分は上の青い線に一対一対応（緑の対応）し、さらに下の青い線全体に一対一対応（赤の対応）することができる。したがって、下の青い線全体とその左半分は同じ濃度、すなわち「大きさ」を持つ。^[38]

カントールは、順序数と基数という2 種類の無限数を定義しました。順序数は、整列した集合、つまり、無限数がすでに数えられた後の点も含め、任意の停止点まで数え続けることを特徴とします。正の整数からの写像である有限列と (通常の) 無限列を一般化すると、順序数から超限列への写像が生まれます。基数は集合の大きさ、つまり集合に含まれる要素の数を定義します。基数は、あるサイズの最初の順序数をそのサイズの基数を表すために選ぶことで標準化できます。最小の順序無限は正の整数の順序無限であり、整数の基数を持つ集合は可算無限です。集合が大きすぎて正の整数と 1 対 1 に対応できない場合、その集合は可算でないと呼ばれます。カントールの見解は広く受け入れられ、現代数学は実際の無限を一貫した首尾一貫した理論の一部として受け入れています。^[39]超実数などの特定の拡張数体系では、通常の（有限）数と異なるサイズの無限数が組み込まれています。^[40]

連続体の濃度

カントールの最も重要な結果の一つは、連続体の濃度が自然数の濃度よりも大きいということである。つまり、実数Rの数は自然数Nの数よりも多いということである。つまり、カントールは次式を示した。^[41]${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle {\aleph_{0}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

連続体仮説は、実数の基数と自然数の基数の間に基数は存在しない、つまり、 であると述べます。${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$

この仮説は、選択公理を仮定したとしても、広く受け入れられているツェルメロ・フランケル集合論の範囲内で証明または反証することはできない。^[42]

基数算術は、実数直線上の点の数がその直線の任意の線分の点の数に等しいことを示すだけでなく、平面上の点の数、さらには任意の有限次元空間内の点の数にも等しいことを示すために使用できます。^[43]

フラクタル構造の最初の3つのステップは、その極限が空間充填曲線であり、1次元の直線には2次元の正方形と同じ数の点があることを示しています。

これらの結果の最初のものは 、例えば、区間（− ⁠π/2⁠、⁠π/2⁠ ) およびR。

2番目の結果は1878年にカントルによって証明されましたが、直感的に明らかになったのは1890年、ジュゼッペ・ペアノが空間充填曲線を提示した時でした。空間充填曲線とは、任意の正方形、立方体、超立方体、あるいは有限次元空間を埋め尽くすほどにねじれ、曲がる曲線です。これらの曲線は、正方形の一辺上の点と正方形内の点との間の一対一対応を定義するために使用できます。^[44]

幾何学

19世紀末まで、幾何学において無限が議論されることは、際限なく継続できる過程という文脈を除いて、ほとんどありませんでした。例えば、直線は現在で言う線分であり、好きなだけ延長できるという条件付きですが、無限に延長することは考えられませんでした。同様に、直線は通常、無限の点から構成されるものではなく、点を配置できる場所であると考えられていました。たとえ配置可能な位置が無限に存在したとしても、直線上に配置できる点は有限個しかありません。このことを裏付けるように、「ある性質を満たす点の軌跡」（単数形）という表現がありますが、現代の数学者は一般的に「その性質を持つ点の集合」（複数形）と言います。

実在する無限を含む数学的概念の稀な例外の一つに射影幾何学がある。射影幾何学では、平行線が「無限遠で」交差する遠近法効果をモデル化するために、ユークリッド空間に無限遠点が追加される。数学的には、無限遠点には特殊なケースを考慮しなくて済むという利点がある。例えば、射影平面では、2つの異なる直線は必ず1点で交差するが、無限遠点がなければ平行線の交点は存在しない。したがって、古典幾何学では平行線と非平行線を別々に研究する必要があるが、射影幾何学ではそれらを区別する必要はない。

数学の基礎に集合論が用いられる以前は、点と直線は別個の実体とみなされ、点は直線上に位置していました。しかし、数学において集合論が広く用いられるようになったことで、この視点は劇的に変化しました。直線は、その点の集合として捉えられるようになり、点は「直線上にある」ではなく「直線に属する」と言われるようになりました（ただし、後者の表現は今でも使われています）。

特に、現代数学では直線は無限集合である。

無限次元

古典幾何学に現れるベクトル空間は常に有限次元、一般的には2次元または3次元を持ちます。しかし、ベクトル空間の抽象的な定義はこれを暗示しておらず、無限次元のベクトル空間も考えられます。これは関数解析において典型的に当てはまり、関数空間は一般に無限次元のベクトル空間となります。

位相幾何学において、いくつかの構成は無限次元の位相空間を生成することができる。特に、反復ループ空間がこれに該当する。

フラクタル

フラクタル物体の構造は、その拡大によって繰り返されます。フラクタルは、その構造を失わずに「滑らか」になることなく、無限に拡大することができます。フラクタルは無限の周囲を持ち、面積は無限または有限です。無限の周囲と有限の面積を持つフラクタル曲線の例として、コッホの雪片が挙げられます。^[45]

有限主義

レオポルド・クロネッカーは、1870年代から1880年代にかけて、無限の概念と、同僚の数学者たちがそれをどのように用いていたかに懐疑的でした。この懐疑論は、構成主義と直観主義という一般的な哲学・数学の流派における数学哲学の極端な形態である有限主義と呼ばれる数学哲学の中で発展しました。^[46]

論理

論理学において、無限後退論とは「ある論点が（形式A）そのような論点が存在しない、または（形式B）そのような論点が存在するとしても、その論点が果たすべき役割（例えば、正当化）を欠いているという理由で、その論点が欠陥があることを示すことを目的とする、哲学的な種類の論点である。」^[47]

第一階述語論理では、コンパクト性定理とレーヴェンハイム・スコーレム定理の両方を使用して、特定の無限特性を持つ非標準モデルを構築します。

アプリケーション

物理

物理学では、実数の近似値は連続的な測定に用いられ、自然数は離散的な測定（すなわち計数）に用いられる。無限平面波のような無限のものの概念は存在するが、それを生成する実験的手段は存在しない。^[48]

宇宙論

宇宙は無限であるという最初の提唱は、1576年にトーマス・ディッゲスによって発表されました。^[49] 8年後の1584年、イタリアの哲学者で天文学者のジョルダーノ・ブルーノは『無限の宇宙と世界について』の中で、無限の宇宙を提唱しました。「無数の太陽が存在し、無数の地球がこれらの太陽の周りを回っています。これは、7つの惑星が太陽の周りを回っているのと同じです。これらの世界には生物が生息しています。」^[50]

宇宙学者たちは長年、私たちの物理的な宇宙に無限が存在するかどうかを探ってきました。無限の数の星が存在するのか？宇宙の体積は無限なのか？空間は「永遠に続く」のか？これは宇宙論において未だに未解決の問題です。無限であるかどうかという問いは、境界があるかどうかという問いとは論理的に別個のものです。例えば、地球の二次元面は有限ですが、端はありません。地球の曲率に沿って直線的に移動すれば、最終的には出発点に戻ります。宇宙は、少なくとも原理的には、同様の位相幾何学を持っている可能性があります。もしそうなら、宇宙を十分長い時間直線的に移動すれば、最終的には出発点に戻ることができるかもしれません。^[51]

宇宙の曲率は、宇宙背景放射のスペクトルにおける多極モーメントを通して測定できる。現在までに、WMAP探査機によって記録された放射パターンの解析は、宇宙が平坦なトポロジーを持つことを示唆している。これは、物理的には無限の宇宙が存在することと整合する。^{[52] [53] [54]}

しかし、たとえ曲率が平坦であっても、宇宙は有限である可能性があります。これを簡単に理解する方法は、画面の一方の端から離れたアイテムが反対側に再び現れるビデオゲームのような2次元の例を考えることです。このようなゲームの位相はトーラス状で、幾何学的には平坦です。3次元空間にも、境界のある平坦な可能性が数多く存在します。^[55]

無限の概念は多元宇宙仮説にも拡張され、ミチオ・カクなどの天体物理学者によって説明されると、宇宙の数と種類は無限であると仮定されます。^[56]また、周期モデルは、ビッグバンの数が無限であると仮定し、その結果、無限の周期で各ビッグバンイベントの後に無限の種類の宇宙が生成されます。^[57]

コンピューティング

IEEE浮動小数点規格（IEEE 754）は、正の無限大値と負の無限大値（および不定値）を規定しています。これらは、算術オーバーフロー、ゼロ除算、その他の例外演算の結果として定義されます。^[58]

Java ^[59]やJ [ ^60]などの一部のプログラミング言語では、プログラマが言語定数として正と負の無限大値に明示的にアクセスできるようになっています。これらは、それぞれ他のすべての値より大きいか小さいかを比較するため、最大値と最小値として使用できます。ソート、検索、ウィンドウ処理などのアルゴリズムでは、監視値として使用されます。^[要出典]

最大要素と最小要素を持たないが、関係演算子のオーバーロードが可能な言語では、プログラマーが最大要素と最小要素を作成することが可能です。プログラムの初期状態からそのような値への明示的なアクセスを提供しないが、浮動小数点データ型を実装している言語では、特定の演算の結果として、無限大値にアクセスして使用できる場合があります。^[要出典]

プログラミングにおいて、無限ループとは、終了条件が満たされず、無期限に実行される ループのことです。

芸術、ゲーム、認知科学

遠近法の芸術作品では、消失点の概念が用いられます。これは数学的な無限遠点にほぼ相当し、観察者から無限遠に位置する点です。これにより、芸術家は空間、距離、そして形態を写実的に表現した絵画を制作することができます。^[61]芸術家M.C.エッシャーは、この遠近法をはじめとする様々な方法で、作品に無限の概念を巧みに用いたことで知られています。^[62]

無限の盤上でプレイされるチェスのバリエーションは無限チェスと呼ばれる。^{[63] [64]}

認知科学者 ジョージ・レイコフは、数学と科学における無限の概念をメタファーとして捉えています。この視点は、無限という基本的なメタファー（BMI）に基づいています。BMIは、常に増加する数列<1, 2, 3, …>として定義されます。^[65]

参照

• 0.999...
• 絶対無限
• アレフ数
• アナンタ
• エイロフォビア
• 累乗
• 不確定形式
• 大きな数の名前
• 無限の猿の定理
• 無限のパラドックス
• スーパータスク
• 超実数

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出典

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外部リンク

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• アレフの謎：数学、カバラ、そして無限の探求
• 無限の辞典（物理学、数学、哲学における無限に関する記事の集成）