Concept in mathematics
数学 において 、 連結開集合 上で定義された 実 数値 関数は 、 が の共役 (関数) を持つとされるの は、それらがそれぞれの 複素 変数 の正則関数 の 実部と虚部 である場合に限ります。 つまり、 が 上で正則である 場合、 は と共役です。 定義の最初の結果として、これらは両方とも上の 調和 実数値関数です 。さらに、 の共役は、 が存在する場合、 加法定数 を除いて 一意です。また、 が と 共役である 場合 に限り、 が と共役です 。
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
Ω
⊂
R
2
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,y)}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
z
:=
x
+
i
y
∈
Ω
.
{\displaystyle z:=x+iy\in \Omega .}
v
{\displaystyle v}
u
{\displaystyle u}
f
(
z
)
:=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}
Ω
.
{\displaystyle \Omega .}
Ω
{\displaystyle \Omega }
u
,
{\displaystyle u,}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
v
{\displaystyle v}
−
u
{\displaystyle -u}
説明 同様に、が において と共役である 場合、かつその場合に限り 、 および が において コーシー・リーマン方程式 を満たします 。 後者の同値な定義から直接得られる結果として、が 上 の任意の調和関数である場合、 関数が に対して と共役である場合 、コーシー・リーマン方程式は正則であり、 混合 2 次導関数 の対称性は等価です 。 したがって 、調和関数が 共役調和関数を許容する場合、かつその場合に限り、正則関数が において 原始関数 を持ち、 その場合、 の共役は 当然、 になります。 したがって、任意の調和関数は、その 定義域が 単連結で ある場合は常に共役関数を許容し 、どのような場合でもその定義域の任意の点で局所的に共役を許容します。
v
{\displaystyle v}
u
{\displaystyle u}
Ω
{\displaystyle \Omega }
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
Ω
.
{\displaystyle \Omega .}
u
{\displaystyle u}
Ω
⊂
R
2
,
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}
−
u
y
{\displaystyle -u_{y}}
u
x
{\displaystyle u_{x}}
Δ
u
=
0
{\displaystyle \Delta u=0}
u
x
y
=
u
y
x
.
{\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}
u
{\displaystyle u}
g
(
z
)
:=
u
x
(
x
,
y
)
−
i
u
y
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
Ω
,
{\displaystyle \Omega ,}
u
{\displaystyle u}
Im
f
(
x
+
i
y
)
.
{\displaystyle \operatorname {Im} f(x+iy).}
単連結領域上の 調和関数 u を その調和共役 vに変換する 演算子 があります （ 共役の不確定性を定数まで固定するために、たとえば、与えられた x 0 に v ( x 0 ) = 0 を置く）。これは、応用分野では（本質的に） ヒルベルト変換としてよく知られています。また、 特異積分演算子 と関連した 数学的解析 の基本的な例でもあります。共役調和関数（およびそれらの間の変換）は、 バックルンド変換 （2つの 偏微分方程式 と、この場合は線形の解を関連付ける変換）の最も簡単な例の1つでもあります。より複雑な変換は、 ソリトン や 積分可能なシステム で重要です 。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
幾何学的には、 u と v は、基礎となる正則関数の 零点 から離れた 直交軌道 を持つ関係にあります。つまり、 u と v が一定となる等高線は 直角 で交差します 。この点で、 u + ivは 複素ポテンシャル となります。 ここで、 u は ポテンシャル関数 、 vは 流れ関数 です 。
例 例えば、関数
u
(
x
,
y
)
=
e
x
sin
y
.
{\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}
で
あり
、
（ は ラプラス作用素 ）
を満たす
ので調和関数となる。ここで、 コーシー・リーマン方程式を満たすような があるとする。
∂
u
∂
x
=
e
x
sin
y
,
∂
2
u
∂
x
2
=
e
x
sin
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}
∂
u
∂
y
=
e
x
cos
y
,
∂
2
u
∂
y
2
=
−
e
x
sin
y
,
{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}
Δ
u
=
∇
2
u
=
0
{\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}
Δ
{\displaystyle \Delta }
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,y)}
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
=
e
x
sin
y
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}
そして
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
=
e
x
cos
y
.
{\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}
単純化すると
、
解くと
∂
v
∂
y
=
e
x
sin
y
{\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}
∂
v
∂
x
=
−
e
x
cos
y
{\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}
v
=
−
e
x
cos
y
+
C
.
{\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}
u と v に関連する関数 が交換された場合、コーシー-リーマン方程式のマイナス符号により関係が非対称になるため、関数は調和共役にならないことに注意してください。
解析関数 の等角写像特性 （ 導 関数 がゼロでない 点において）は、調和共役の幾何学的特性を生じさせる。明らかに xの調和共役は y であり、定数 x と定数 y の直線 は直交する。等角性とは、 定数 u ( x , y ) と 定数 v ( x , y )の 輪郭も、交差する場所（ f ′( z ) のゼロから離れる方向）で直交するということである 。つまり、 vは、 u によって与えられた輪郭の族に対する 直交軌道 問題の特定の解である （もちろん、 v の関数も取ることができるので、唯一の解ではない）。この問題は、17世紀の数学にまで遡る、交差しない曲線の族と直角に交わる曲線を見つけるという問題である。
参考文献 ブラウン、ジェームズ・ウォード著、チャーチル、ルエル・V. (1996). 複素変数とその応用 （第6版）. ニューヨーク：マグロウヒル. p. 61. ISBN 0-07-912147-0 与えられた2つの関数 u と vが 領域 D で調和関数であり、それらの1次偏微分が D 全体でコーシー・リーマン方程式(2)を満たす場合、 v は u の 調和共役関数 であるという 。
外部リンク 
