数学解析

解析学は、連続関数、極限、および微分、積分、測度、無限数列、級数、解析関数などの関連理論を扱う数学の分野です。^[1]^[2]

これらの理論は通常、実数、複素数、関数の文脈で研究されます。解析学は、解析学の基本概念と手法を含む微積分学から発展しました。解析学は幾何学とは区別される場合もありますが、近さの定義（位相空間）またはオブジェクト間の特定の距離（計量空間）を持つ数学的オブジェクトの任意の空間に適用できます。

歴史

古代

数学的解析は、17世紀の科学革命の間に正式に開発されましたが^[3]、そのアイデアの多くは、以前の数学者にまで遡ることができます。解析学の初期の成果は、古代ギリシャ数学の初期に暗黙のうちに存在していました。例えば、無限の幾何学的和は、ゼノンの二分法のパラドックスに暗黙的に含まれています^[4]（厳密に言えば、このパラドックスの要点は、無限和が存在することを否定することです。）後に、エウドクソスやアルキメデスなどのギリシャの数学者は、領域と立体の面積と体積を計算するために枯渇法を使用したときに、極限と収束の概念をより明確かつ非公式に使用しました。 ^[5]無限小の明示的な使用は、20世紀に再発見されたアルキメデスの『機械的定理の方法』に見られます。^[6]アジアでは、中国の数学者劉徽が、西暦3世紀に円の面積を求めるために枯渇法を使用しました。^[7]ジャイナ教の文献から、ヒンズー教徒は紀元前4世紀には早くも等差級数と幾何級数の和の公式を持っていたようです。 ^[8]アーチャーリャ・バドラバーフは、紀元前433年のカルパスートラで等差級数の和を使用しています。^[9]

中世

祖崇之は5世紀に、後にカヴァリエリの原理と呼ばれる球体の体積を求める方法を確立しました。 ^[10] 12世紀には、インドの数学者バースカラ2世が無限小を用いて、現在ではロールの定理として知られているものを使用しました。^[11]

14世紀には、サンガマグラマのマダヴァは、正弦、余弦、正接、逆正接などの関数の無限級数展開（現在ではテイラー級数と呼ばれています）を開発しました。^[12]三角関数のテイラー級数の開発に加えて、彼はこれらの級数を切り捨てることによって生じる誤差項の大きさを推定し、いくつかの無限級数の有理近似を与えました。ケーララ天文学数学学校の彼の弟子たちは、16世紀まで彼の研究をさらに発展させました。

近代

基礎

数学的解析の近代的な基礎は17世紀のヨーロッパで確立されました。^[3]これは、フェルマーとデカルトが現代の微積分学の前身である解析幾何学を開発したことに始まります。フェルマーの等式法は、関数の最大値と最小値、そして曲線の接線を決定することを可能にしました。^[13]デカルトが1637年に出版した『幾何学』は、直交座標系を導入し、数学的解析の確立と考えられています。ニュートンとライプニッツが独立して微分積分学を開発したのは数十年後のことでした。これは、18世紀を通して続いた応用研究の刺激を受けて、変分法、常微分方程式と偏微分方程式、フーリエ解析、母関数などの解析学の分野へと発展しました。この時期に、微積分学の手法は、離散問題を連続問題で近似するために適用されました。

近代化

18世紀に、オイラーは数学関数の概念を導入した。^[14]実解析は、1816年にベルナルド・ボルザノが連続性の現代的な定義を導入して以来、独立した科目として登場し始めたが、 ^[15]ボルザノの研究は1870年代まで広く知られることはなかった。1821年、コーシーは、特にオイラーによる初期の研究で広く使われていた代数の一般性原理を否定することで、しっかりとした論理的基礎の上に微積分学を置き始めた。代わりに、コーシーは、幾何学的なアイデアと無限小の観点から微積分学を定式化した。したがって、彼の連続性の定義では、xの無限小の変化がyの無限小の変化に対応することを要求した。彼はまた、コーシー列の概念を導入し、複素解析の正式な理論を開始した。ポアソン、リウヴィル、フーリエらは、偏微分方程式と調和解析を研究した。これらの数学者やワイエルシュトラスなどの貢献により、(ε, δ)-極限定義アプローチが開発され、現代の数学解析学の分野が確立されました。同時期に、リーマンは積分理論を発表し、複素解析において大きな進歩を遂げました。

19世紀末頃、数学者たちは、証明なしに実数連続体の存在を仮定しているのではないかと懸念し始めました。その後、デデキントはデデキントカットによって実数を構築しました。デデキントカットでは無理数が正式に定義され、有理数間の「ギャップ」を埋める役割を果たし、それによって完全な集合、すなわち実数連続体を作成しました。これは、すでにシモン・ステヴィンによって小数展開の観点から開発されていました。その頃、リーマン積分の定理を洗練させる試みは、実関数の不連続集合の「大きさ」の研究につながりました

また、一般的に「モンスター」として知られる様々な病的な対象（どこでも連続しない関数、連続だがどこでも微分不可能な関数、空間充填曲線など）の研究が始まりました。この文脈において、ジョーダンは測度論を開発し、カントールは現在素朴集合論と呼ばれるものを開発し、ベールはベールの圏定理を証明しました。20世紀初頭、微積分学は公理的集合論を用いて形式化されました。ルベーグは測度論を大幅に改良し、現在ルベーグ積分として知られる独自の積分理論を導入しました。これはリーマンの理論を大幅に改良したものであることが証明されました。ヒルベルトは積分方程式を解くためにヒルベルト空間を導入しました。ノルムベクトル空間のアイデアが話題となり、1920年代にはバナッハが関数解析を作成しました。

重要な概念

計量空間

数学において、計量空間とは、集合の要素間の距離の概念（計量と呼ばれる）が定義されている集合です。

解析の多くは何らかの計量空間で行われます。最も一般的に使用されるのは、実数直線、複素平面、ユークリッド空間、その他のベクトル空間、および整数です。計量を使用しない解析の例としては、測度論（距離ではなく大きさを記述する）や関数解析（距離の感覚を必要としない位相ベクトル空間を研究する）などがあります。

正式には、計量空間とは、が集合であり、が上の計量である順序付きペア、つまり関数です。 $(M,d)$ $M$ $d$ $M$

d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

任意のに対して、以下が成り立ちます。 $x,y,z\in M$

$d(x,y)\geq 0$ であり、等式であることは、（識別不能なものの恒等式）、 $x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$ （対称性）、そして
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ （三角不等式）の場合に限ります

3番目の性質を取り、とすることで、（非負）であることが示されます。 $z=x$ $d(x,y)\geq 0$

数列と極限

数列は順序付きリストです。集合と同様に、数列にはメンバー（要素または項とも呼ばれます）が含まれます。集合とは異なり、順序は重要であり、まったく同じ要素が数列の異なる位置に複数回出現することがあります。最も正確には、数列は、自然数などの可算な全順序集合を定義域とする関数として定義できます。

数列の最も重要な特性の1つは収束です。非公式には、数列は極限を持つ場合収束します。非公式に続けると、（単無限）数列は、 nが非常に大きくなるにつれて、極限と呼ばれるある点xに近づく場合、極限を持ちます。つまり、抽象数列（a _n）（nは1から無限大までと理解されています）の場合、 a _nとxの間の距離はn → ∞ として0に近づき、これは

\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.

主な分野

微積分

実解析

実解析（伝統的には「実変数の関数論」）は、実数と実変数の実数値関数を扱う数学解析の分野です。^[16]^[17]特に、実数列の収束と極限、実数の微積分、実数値関数の連続性、滑らかさ、および関連する性質を含む、実関数と列の解析的性質を扱います。

複素解析

複素解析（伝統的には「複素変数の関数論」として知られています）は、複素数の関数を調査する数学解析の分野です。^[18]代数幾何学、数論、応用数学など、数学の多くの分野、そして流体力学、熱力学、機械工学、電気工学、特に量子場の理論を含む物理学で有用です

複素解析は、特に複素変数の解析関数（より一般的には有理型関数）に関係しています。任意の解析関数の実部と虚部のそれぞれはラプラス方程式を満たさなければならないため、複素解析は物理学における2次元の問題に広く適用できます。

関数解析

関数解析は数学解析の一分野であり、その中核は、何らかの極限関連構造（例えば、内積、ノルム、位相など）を備えたベクトル空間と、これらの空間に作用し、適切な意味でこれらの構造を尊重する線型作用素の研究によって形成されます。 ^[19]^{[20]関数解析の歴史的ルーツは、}関数空間の研究と、フーリエ変換などの関数の変換の特性を、関数空間間の連続、ユニタリなどの作用素を定義する変換として定式化することにあります。この視点は、微分方程式と積分方程式の研究に特に有用であることが判明しました。

自由解析

自由解析または非可換解析は、関数解析のサブ分野であり、ある意味で非可換な空間を扱います。これは、複素解析の非可換な一般化である非可換関数論、自由確率論、非可換幾何学に関連しています。自由解析では、非可換変数と関数、特に非可換な空間または代数を扱うことに重点が置かれています。

調和解析

調和解析は、関数と信号を基本波の重ね合わせとして表現することを扱う数学解析の分野です。これには、フーリエ級数とフーリエ変換（フーリエ解析）の概念、およびそれらの一般化の研究が含まれます。調和解析は、音楽理論、数論、表現論、信号処理、量子力学、潮汐解析、神経科学など、多様な分野に応用されています。

微分方程式

微分方程式とは、1つまたは複数の変数を持つ未知の関数に対する数式であり、関数自体の値と様々な次数の導関数を関連付けます。^[21]^[22]^{[23]微分方程式は、}工学、物理学、経済学、生物学、その他の分野で重要な役割を果たします。

微分方程式は、科学技術の多くの分野で、特に、連続的に変化する量（関数でモデル化）とそれらの空間または時間における変化率（導関数として表現される）を含む決定論的な関係が既知または仮定されている場合に生じます。これは古典力学で示されており、物体の運動は時間値が変化するにつれてその位置と速度によって記述されます。ニュートンの法則により、（位置、速度、加速度、および物体に作用する様々な力が与えられた場合）これらの変数を、物体の未知の位置を時間の関数として微分方程式として動的に表現することができます。場合によっては、この微分方程式（運動方程式と呼ばれる）を明示的に解くことができます。

測度論

集合上の測度とは、その集合の適切な部分集合それぞれに数を割り当てる体系的な方法であり、直感的にはその大きさとして解釈されます。 ^[24]この意味で、測度とは長さ、面積、体積の概念の一般化です。特に重要な例はユークリッド空間上のルベーグ測度であり、これはユークリッド幾何学の従来の長さ、面積、体積を次元ユークリッド空間の適切な部分集合に割り当てます。例えば、実数における区間のルベーグ測度は、日常的な意味での長さ、具体的には1です $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left[0,1\right]$

技術的には、測度とは、集合の（特定の）部分集合に非負の実数または+∞を割り当てる関数です。空集合には 0 を割り当て、（可算的に）加法的である必要があります。つまり、有限（または可算）個の「より小さな」互いに素な部分集合に分解できる「大きな」部分集合の測度は、それらの「より小さな」部分集合の測度の和です。一般に、ある集合の各部分集合に一貫したサイズを関連付けながら、測度の他の公理を満たしたい場合、計数測度のような自明な例しか見つかりません。この問題は、すべての部分集合の部分集合、いわゆる可測部分集合（ -代数を形成するために必要なもの）に対してのみ測度を定義することで解決されました。これは、空集合、可算和集合、可算積集合、および可測部分集合の補集合が可測であることを意味します。ユークリッド空間における非可測集合は、ルベーグ測度を矛盾なく定義することができないため、その補集合とひどく混同されているという意味で必然的に複雑である。実際、それらの存在は選択公理の自明ではない帰結である。 $X$ $\sigma$

数値解析

数値解析とは、数学解析の問題（離散数学とは区別される）に対して、数値近似（一般的な記号操作とは対照的に）を用いるアルゴリズムの研究である。^[25]

現代の数値解析は正確な答えを求めません。なぜなら、正確な答えは実際には得られないことが多いからです。代わりに、数値解析の多くは、誤差の妥当な範囲を維持しながら近似解を得ることに関心があります。

数値解析は当然のことながら、工学と物理科学のあらゆる分野に応用されていますが、21世紀には、生命科学、さらには芸術にも科学的計算の要素が取り入れられています。常微分方程式は天体力学（惑星、恒星、銀河）に現れ、数値線形代数はデータ分析に重要であり、確率微分方程式とマルコフ連鎖は医学と生物学における生細胞のシミュレーションに不可欠です。

ベクトル解析

ベクトル解析はベクトル計算とも呼ばれ、ベクトル値関数を扱う数学解析の分野です。^[26]

スカラー解析

スカラー解析は、方向ではなくスケールに関連する値を扱う数学解析の分野です。温度などの値は、値が持つ可能性のある方向、力、または変位に関係なく、値の大きさを表すため、スカラーです。

テンソル解析

その他のトピック

変分法は、関数を扱う通常の微分積分とは対照的に、極値化関数を扱います。
調和解析は、関数または信号を基本波の重ね合わせとして表現することを扱います。
幾何解析は、偏微分方程式の研究における幾何学的手法の使用と、偏微分方程式の理論の幾何学への応用を伴います。
クリフォード解析は、ディラックまたはディラックのような演算子によって消滅するクリフォード値関数の研究であり、一般に単成分関数またはクリフォード解析関数と呼ばれます
p進解析は、 p進数のコンテキスト内での解析の研究であり、実数や複素数の解析とは興味深く驚くべき点で異なります。
非標準解析は、超実数とその関数を調査し、無限小数と無限大数を厳密に扱います。
計算可能解析は、解析のどの部分が計算可能な方法で実行できるかを研究します。
確率微積分-確率過程のために開発された解析的概念。
集合値解析- 解析と位相幾何学の考え方を集合値関数に適用します。
凸解析- 凸集合と関数の研究。
冪等解析-冪等半環の文脈における解析。加法逆関数の欠如は、冪等規則 A + A = A によってある程度補われます。
- 熱帯解析-熱帯半環（または最大プラス代数/最小プラス代数）と呼ばれる冪等半環の解析。
構成的解析- 古典的な論理と集合論ではなく、構成的な論理と集合論の基礎の上に構築されます
直観主義解析は、構成的解析と同様に構成的論理から発展したものですが、選択列も組み込まれています。
矛盾解析は、古典論理と集合論ではなく、矛盾のない論理を基盤として構築されています。
滑らかな無限小解析は、滑らかなトポスで展開されます。

応用

解析学の手法は、次のような他の分野でも見られます。

物理科学

古典力学、相対性理論、量子力学の大部分は応用解析学、特に微分方程式に基づいています。重要な微分方程式の例としては、ニュートンの第二法則、シュレーディンガー方程式、アインシュタイン場の方程式などがあります。

関数解析は量子力学の主要な要素でもあります。

信号処理

音声、電波、光波、地震波、さらには画像などの信号を処理する際、フーリエ解析は複合波形の個々の成分を分離し、それらを集中させて検出または除去を容易にすることができます。信号処理技術の大きなファミリーは、信号のフーリエ変換、フーリエ変換されたデータの単純な操作、および逆変換で構成されています。^[27]

数学のその他の分野

解析学の手法は、数学の多くの分野で用いられています。

解析的数論
解析的組合せ論
連続確率
情報理論における微分エントロピー
微分ゲーム
微分幾何学。複雑な内部構造を持ちながらも局所的には単純な振る舞いをする、多様体として知られる特定の数学的空間への微積分の応用。
微分可能多様体
微分位相幾何学
偏微分方程式

著名な教科書

レオンハルト・オイラー(1748) 『無限解析入門』
A.L. コーシー(1821) 『解析学講座』
カミーユ・ジョーダン(1882) 『理工科大学解析学講座』
G.H. ハーディ(1908) 『純粋数学講座』
E.T. ウィテカー& G.N. ワトソン(1915) 『現代解析学講座』
ジョージ・ポリア＆ガーボル・セゲー(1925) 『解析学の問題と定理』（全2巻）^[28]^[29]
ウォルター・ルーディン(1953) 『数学解析の原理』^[30]
エリアス・M・スタイン＆ラミ・シャカルチ (2003, 2011) 『プリンストン解析講義』（全4巻）

参照

参考文献

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さらに詳しい参考文献

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外部リンク

ウィキクォートには、数学解析に関連する引用があります。

ウィキメディア・コモンズには、数学解析に関連するメディアがあります

数学用語の最も古い使用例：微積分と解析
基礎解析：実解析入門イリ・レブル著（クリエイティブ・コモンズ BY-NC-SA）
ブリタニカ百科事典数学解析
微積分と解析