3次関数

3つの実 根を持つ3次関数のグラフ（曲線が水平軸と交差する点、つまりy = 0）。示されているケースには2つの臨界点があります。ここで関数はf ( x ) = ( x ³ + 3 x ² − 6 x − 8)/4です。

数学において、三次関数（さんじゅうかんすう、英: cubic function）とは、3次多項式関数の形式をとる関数である。多くの文献では、係数a、b、c、dは実数であるとされ、この関数は実数を実数に写像する実関数、または複素数を複素数に写像する複素関数とみなされる。また、係数が複素数である場合もあり、定義域が実数に限定されている 場合でも、この関数は複素数の集合を余域とする複素関数となる。${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$

f ( x ) = 0とすると、次の形の 3次方程式が生成される。

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

その解は関数の根と呼ばれます。3次関数の導関数は2次関数です。

実係数の3次関数は1つまたは3つの実根を持ちます（これらは区別できない場合もあります）。^[1]実係数の奇数次多項式はすべて少なくとも1つの実根を持ちます。

3次関数のグラフには常に1つの変曲点があります。また、 2つの臨界点、つまり極小値と極大値を持つ場合もあります。それ以外の場合、3次関数は単調です。3次関数のグラフは変曲点に関して対称です。つまり、この点を半回転させても不変です。アフィン変換を除けば、3次関数のグラフは3つしかありません。

3 次関数は3 次補間の基本です。

歴史

臨界点と変曲点

3次多項式x ³ − 6 x ² + 9 x − 4 (黒の実線)の根、停留点、変曲点、凹面度と、その1次導関数(赤の破線) と2次導関数(オレンジの点線) 。

三次関数の臨界点はその停留点、つまり関数の傾きがゼロとなる点である。^[2]従って、三次関数fの臨界点は次のように定義される。

f ( x ) = ax ³ + bx ² + cx + d、

xの値で発生するような導関数

${\displaystyle 3ax^{2}+2bx+c=0}$

3次関数の係数はゼロです。

この方程式の解は臨界点のx値であり、二次方程式の公式を用いて次のように 与えられる。

${\displaystyle x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.}$

平方根の中の式Δ ₀ = b ² − 3 acの符号は、臨界点の数を決定します。正の場合、臨界点は2つあり、1つは極大値で、もう1つは極小値です。 b ² − 3 ac = 0の場合、臨界点は1つしかなく、それは変曲点です。b ² − 3 ac < 0の場合、（実際の）臨界点は存在しません。後者の2つの場合、つまりb ² − 3 acが非正の場合、3次関数は厳密に単調です。 Δ ₀ > 0の場合の例については、図を参照してください。

関数の変曲点とは、関数が凹面性を変える点である。^[3]変曲点は、2次導関数 が0で、3次導関数が0でない場合に発生する。したがって、3次関数は常に1つの変曲点を持ち、それは ${\displaystyle f''(x)=6ax+2b,}$

${\displaystyle x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.}$

分類

形式の 3 次関数任意の 3 次関数のグラフは、このような曲線に似ています。${\displaystyle y=x^{3}+cx.}$

3 次関数のグラフは 3 次曲線ですが、多くの 3 次曲線は関数のグラフではありません。

三次関数は4つのパラメータに依存しますが、そのグラフの形は非常に限られています。実際、三次関数のグラフは常に次の形の関数のグラフと 相似です。

${\displaystyle y=x^{3}+px.}$

この相似性は、座標軸に平行な並進、相似性（均一なスケーリング）、そして場合によってはy軸に対する鏡像（鏡像）の合成として構築できます。さらに非均一なスケーリングを施すと、グラフは3つの3次関数のいずれかのグラフに変換されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}}$

これは、アフィン変換までの3 次関数のグラフが 3 つしかないことを意味します。

上記の幾何学的変換は、一般的な3次関数から出発して次のように構築できる。 ${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.}$

まず、a < 0の場合、変数 x → − xへの変更により、 a > 0と仮定できます。この変数変更後、新しいグラフはy軸に関して前のグラフの鏡像になります。

そして、変数x = x ₁ − ⁠の変化は、b/3 a⁠ は次のような関数を提供する

${\displaystyle y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.}$

これはx軸に平行な移動に対応します。

変数y = y ₁ + qの変化はy軸に関する並進運動に相当し、次のような関数を与える。

${\displaystyle y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.}$

変数変換は均一なスケーリングに対応し、次の形式の 関数を乗じると、${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}},}$

${\displaystyle y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},}$

これは相似によって得られる最も単純な形式です。

そして、p ≠ 0の場合、非一様スケーリングは、${\displaystyle \textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},}$

${\displaystyle y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),}$

ここで、はpの符号に応じて1または−1の値を持ちます。 を定義すると、関数の後者の形式はすべての場合（ および ）に適用されます。 ${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0,}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{3}}$ ${\displaystyle y_{2}=y_{3}}$

対称

形の三次関数の場合、変曲点は原点となる。このような関数は奇関数であるため、そのグラフは変曲点に関して対称であり、変曲点の周りを半回転させても不変である。これらの性質は相似性によって不変であるため、すべての三次関数について以下が成り立つ。 ${\displaystyle y=x^{3}+px,}$

3 次関数のグラフは変曲点に関して対称であり、変曲点の周りを半回転しても不変です。

共線性

点P ₁、P ₂、P _{3 （青色）は共線であり、} x ³ + ⁠のグラフに属します。3/2⁠ × ² − ⁠5/2⁠ x + ⁠5/4⁠。点T ₁、 T ₂、 T ₃（赤色）は、グラフの（点線の）接線とグラフ自体の交点です。これらの点も同一線上にあります。

三次関数のグラフの3つの共線上の点での接線は、再び共線上の点で三次関数と交わる。^[4]これは次のように表せる。

この性質は剛体運動に対して不変なので、関数は次の形をとると仮定できる。

${\displaystyle f(x)=x^{3}+px.}$

αが実数ならば、点（α、f（α））におけるfのグラフの接線は直線である。

{( x , f ( α ) + ( x − α ) f  '( α )) : x ∈ R }。

したがって、この直線とfのグラフの交点は、方程式f ( x ) = f ( α ) + ( x − α ) f  ′( α )を解くことで得られます。

${\displaystyle x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),}$

書き換えられる

${\displaystyle x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,}$

そして因数分解すると

${\displaystyle (x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.}$

つまり、接線は3次曲線と交わる位置は

${\displaystyle (-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).}$

したがって、グラフの 点（x、y）を接線がグラフと交わる他の点に写す関数は

${\displaystyle (x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).}$

これは、同一線上の点を同一線上の点に変換するアフィン変換です。これは主張された結果を証明します。

3次補間

関数の値とその導関数の 2 つの点における値が与えられると、同じ 4 つの値を持つ 3 次関数が 1 つだけ存在し、これを3 次エルミート スプラインと呼びます。

この事実を利用する標準的な方法は2つあります。まず、例えば物理的な測定によって、ある関数とその導関数のいくつかのサンプル点における値が分かっている場合、その関数を連続的に微分可能な関数、つまり区分3次関数で補間することができます。

関数の値が複数の点で既知である場合、三次補間は、連続的に微分可能な区分三次関数で関数を近似することを意味します。一意に定義される補間を得るには、端点における導関数の値や、端点における 曲率がゼロであることなど、さらに2つの制約条件を追加する必要があります。

参考文献

1. ボストック, リンダ; チャンドラー, スザンヌ; チャンドラー, FS (1979). 純粋数学2. ネルソン・ソーンズ. p. 462. ISBN 978-0-85950-097-5したがって、3次方程式には3つの実根があるか、1つの実根があるかのどちらかです。
2. Weisstein, Eric W. 「Stationary Point」. mathworld.wolfram.com . 2020年7月27日閲覧。
3. ヒューズ・ハレット, デボラ; ロック, パティ・フレイザー; グリーソン, アンドリュー・M.; フラス, ダニエル・E.; ゴードン, シェルドン・P.; ローメン, デイビッド・O.; ラブロック, デイビッド; マッカラム, ウィリアム・G.; オズグッド, ブラッド・G. (2017-12-11). 『応用微積分学』 John Wiley & Sons. p. 181. ISBN 978-1-119-27556-5関数fのグラフが凹状になる点をfの変曲点と呼ぶ。
4. Whitworth, William Allen (1866)、「三次方程式」、Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions、Cambridge: Deighton, Bell, and Co.、p. 425 、 2016年6月17日閲覧。

外部リンク

• 「カルダノの公式」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• MacTutor アーカイブの 2 次方程式、3 次方程式、4 次方程式の歴史。