二重番号

代数学において、双対数は19世紀に初めて導入された二次代数です。双対数は $a$ $+$ $bε$ の形で表される式で、 $a$ と $b$ は実数、 $ε$ はを満たす記号です。 $\varepsilon ^{2}=0$ $\varepsilon \neq 0$

双数の数は要素ごとに加算され、次の式で乗算される。

(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,

$これは、 ε 2 = 0$ という性質と、乗算が双線型演算であるという事実から導かれます。

双対数は実数上の2次元の可換環を形成し、またアルティン局所環も形成する。これらは、非零冪零元を持つ環の最も単純な例の一つである。

歴史

双数（そうすう）は1873年にウィリアム・クリフォードによって導入され、20世紀初頭にはドイツの数学者エドゥアルト・スタディによって、空間における2本の斜めの直線の相対的な位置を測定する双角を表すために用いられました。スタディは双角を $θ + dε$ と定義しました。ここで $θ$ は3次元空間における2本の直線の方向間の角度、 $d$ はそれらの間の距離です。n $次元$ への一般化であるグラスマン数は、 19世紀後半にヘルマン・グラスマンによって導入されました。

現代的な定義

現代代数学では、双対数の代数は、実数上の多項式環を不定数の2乗によって生成される主イデアルで割った商として定義されることが多い。^[1] $(\mathbb {R} )$

\mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .

これは、を基底要素とする 1次元ベクトル空間の外積代数として定義することもできます。 $\varepsilon$

分割

双数の除算は、分母の実部がゼロでない場合に定義されます。この除算のプロセスは、分母にその共役数を掛けて非実部をキャンセルするという点で複素数の除算に類似しています。

したがって、次の形式の式を評価するには

{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}

分子と分母に分母の共役を掛けます。

{\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}

これは $c$ がゼロ以外の場合に定義されます。

一方、 $c$ がゼロで $d$ がゼロでない場合は、式

{a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}

$aが0$ 以外の場合、解は存在しない
それ以外の場合は、任意の双対数で解ける $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}。b/d⁠ + yε$ 。

これは、「商」の非実数部が任意であり、したがって純粋に非実数の双対数に対しては除算が定義されないことを意味します。実際、それらは（自明に）零因子であり、明らかに双対数の結合代数（したがって環）のイデアルを形成します。

行列表現

双対数は正方行列で表すことができます。この表現では、行列は双対数に対応する零行列に平方されます。 $a+b\varepsilon$ ${\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ $\varepsilon$

一般に、が冪零行列である場合、B = { x I + y : x, y実数} は双対数代数と同型な部分代数となる。2x2実数行列の場合、 M(2, R ) はp = a ² + bc = 0を満たす任意の行列としてとることができる。 $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$

双対数は、M(2, R ) の実2次元代数の3つの同型類のうちの1つである。p > 0 のとき、部分代数Bは分割複素数と同型であり、p < 0 のとき、Bは複素平面と同型である。

自動微分

双対数の応用の一つは自動微分である。任意の多項式

P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}

実係数を持つ関数は、双対数値引数の関数に拡張できる。

{\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}

ここでの導関数は $P'$ $P.$

より一般的には、任意の（解析的）実関数は、テイラー級数を介して双対数に拡張できます。

f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,

$ε 2$ 以上のべきを含むすべての項は、 $ε$ の定義により自明に $0$ となるためです。

これらの関数の双対数に対する合成を計算し、結果の $εの係数を調べると、合成の導関数が自動的に計算されていることがわかります。$

同様の方法は、 $n$ 次元ベクトル空間の外積代数を使用して、 $n$ 変数の多項式にも適用できます。

幾何学

双対数の「単位円」は、 $a = \pm1$ となる数から成り、 $z$ $* =$ $a$ $-$ $bε$ のとき $zz * = 1$ となる。しかし、

e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,

したがって、 $ε$ 軸に適用された指数マップは「円」の半分だけをカバーします。

$z = a + bε$ とします。a $\neq 0$ かつ $m = ⁠ b / 1つの ⁠$ ならば、 $z = a (1 + mε)$ は双対数 $zの$ 極分解であり、傾き $mはその角度成分です。双対数平面における$ 回転の概念は、 $(1 +$ $pε$ $)(1 +$ $qε$ $) = 1 + ($ $p$ $+$ $q$ $)$ $ε$ であるため、垂直せん断写像と等価です。

絶対的な空間と時間においてガリレイ変換は

\left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,

つまり

t'=t,\quad x'=vt+x,

静止座標系を速度 $v$ の移動座標系に関連付けます。t $+$ $xε$ $という$ 2つの数値が1つの空間次元と時間に沿った事象を表す場合、 $1 + vε$ を乗算することで同じ変換が行われます。

サイクル

二つの双対数 $p$ と $qが与えられたとき、$ $z$ から $p$ と $q$ への直線の傾きの差（「ガリレイ角」）が一定となるような $z$ の集合を求める。この集合は双対数平面における閉路である。直線の傾きの差を一定とする方程式は $z$ の実部における二次方程式であるため、閉路は放物線となる。双対数平面の「閉路回転」は、その射影直線の運動として生じる。Isaak Yaglom ^[2]^{: 92–93}によれば、閉路 $Z$ $= {$ $z$ $:$ $y$ $=$ $αx2$ $}は$ $、$ せん断合成に対して不変である。

x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y

翻訳付き

x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.

力学における応用

双対数は力学、特に運動学的総合において応用されている。例えば、双対数を用いることで、ロトイド関節のみを含む4節球面リンク機構の入出力方程式を、4節空間機構（ロトイド、ロトイド、ロトイド、円筒形）に変換することが可能となる。双対化された角度は、角度という基本部分と、長さの単位を持つ双対部分から構成される。^[3]詳細はねじ理論を参照。

代数幾何学

現代代数幾何学では、体（ここでは環を指す）上の双対数は、 -スキームの点への接ベクトルを定義するために用いられる。^[4]体は本質的に選択可能であるため、スキームへの接ベクトルについて単純に述べることが可能である。これにより、微分幾何学の概念を代数幾何学に導入することができる。 $k$ $k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ $k$ $k$

詳細には、双対数環は「点の一次近傍」上の関数の環、つまり-スキームと考えることができる。^[4]そして、 -スキームが与えられた場合、スキームの点は写像と1-1対応し、接ベクトルは写像と1-1対応します。 $k$ $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))$ $k$ $X$ $k$ $\operatorname {Spec} k\to X$ $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X$

上の体は、本質的に留数体となるように選ぶことができる。すなわち、スキーム上の点が与えられたとき、茎を考える。は、唯一の最大イデアルを持つ局所環であり、と表記されることに注意する。そして、単にとする。 $k$ $x$ $S$ $S_{x}$ $S_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$

一般化

この構築はより一般的に実行できます。可換環 $Rに対して、$ $R$ 上の双対数を多項式環 R [ X ] をイデアル ( X 2 ) で割った商として定義できます。この $場合$ $、$ $X$ $の$ 像 $の$ $平方$ $は$ $0$ に等しくなり $、$ 上記の元 $εに対応します。$

ゼロ平方の元の任意のモジュール

双対数のより一般的な構成法があります。可換環と加群が与えられたとき、双対数環と呼ばれる環が存在し、それは以下の構造を持ちます。 $R$ $M$ $R[M]$

これは、乗算が定義される -モジュールであり、 $R$ $R\oplus M$ $(r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)$ $r,r'\in R$ $i,i'\in I.$

双対数の代数は、 $M=R$ $\varepsilon =(0,1).$

超空間

双対数は物理学に応用されており、超空間の最も単純で非自明な例の一つを構成します。同様に、双対数は生成元が1つだけの超数です。超数はこの概念を、それぞれが反可換で、 $nを無限大にする可能性のある$ $n$ 個の異なる生成元 $ε$ へと一般化します。超空間は、複数の可換次元を許容することで、超数をわずかに一般化します。

物理学に双対数を導入する動機は、フェルミオンのパウリの排他原理に由来する。ε $に$ 沿った方向は「フェルミオン的」方向、実数成分は「ボソン的」方向と呼ばれる。フェルミオン的方向は、フェルミオンがパウリの排他原理に従うという事実に由来する。すなわち、座標交換において量子力学的波動関数は符号を変え、2つの座標を近づけると波動関数は消滅する。この物理的な概念は、代数関係 $ε 2 = 0$ によって表現される。

射影直線

双対数上の射影直線のアイデアはグリュンワルド^[5]とコラッド・セグレ^[6]によって提唱された。

リーマン球面が複素射影直線を閉じるために無限遠に北極点を必要とするのと同様に、無限遠直線は双対数平面を円筒に閉じることに成功している。^[2]^{: 149–153}

$Dが双対数$ $x + yε$ の環で、 $U が$ $x \neq 0$ の部分集合であるとする。すると、 $Uは$ $D$ の単数群となる。 $B$ $= {($ $a$ $,$ $b$ $) \in$ $D$ $\times$ $D$ $:$ $a$ $\in U または$ $b$ $\in U}$ とする。 B 上で関係が次のように定義される: $($ $a$ $,$ $b$ $) ~ ($ $c$ $,$ $d$ $)ただし、$ $U$ に $ua$ $=$ $c$ かつ $ub$ $=$ $d$ となる $u$ が存在する。この関係は、実際には同値関係である。 $D$ 上の射影直線上の点は、この関係 $P$ $($ $D$ $) =$ $B$ $/~のもとで$ $B$ の同値類となる。これらは射影座標 $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ で表す。

$z$ $\to [$ $z$ $, 1]$ による埋め込み $D \to P (D)$ について考えます。すると、点 $[1,$ $n$ $]$ （ $n$ $2$ $= 0 ）は$ $P$ $($ $D$ $)$ にありますが、埋め込みの下のどの点の像でもありません。 $P$ $($ $D$ $)は$ 射影によって円筒に写像されます。直線 ${$ $yε$ $:$ $y$ $\in$ $R$ $}$ （ $ε$ $2$ $= 0 ）上に二重数平面に接する円筒を取ります。次に、円筒上の反対の直線を平面$ 束の軸とします。双対数平面と円筒が交差する平面は、これらの面間の点の対応を提供します。双対数平面に平行な平面は、双対数上の射影直線上の点 $[1,$ $n$ $]$ （ $n$ $2$ $= 0 ）に対応します。$

参照

参考文献

^ Alexander J. Hahn (1994) Quadratic algebras, Clifford algebras, and Arithmetic Witt Groups、6ページ、Universitext、Springer、ISBN 0-387-94110-X
^ ab Yaglom, IM (1979). 『単純な非ユークリッド幾何学とその物理的基礎』 Springer. ISBN 0-387-90332-1. MR 0520230。
^ Angeles, Jorge (1998), Angeles, Jorge; Zakhariev, Evtim (eds.), "The Application of Dual Algebra to Kinematic Analysis", Computational Methods in Mechanical Systems: Mechanism Analysis, Synthesis, and Optimization , NATO ASI Series, vol. 161, Springer Berlin Heidelberg, pp. 3– 32, doi :10.1007/978-3-662-03729-4_1, ISBN 9783662037294
^ ab Shafarevich, Igor R. (2013), "Schemes" , Basic Algebraic Geometry 2 , ベルリン, ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg, pp. 35– 38, doi :10.1007/978-3-642-38010-5_1, ISBN 978-3-642-38009-9、 2023年12月27日閲覧
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^ セグレ、コッラード(1912)。「XL. Le geometrie proiettive nei cami di numeri duali」。オペレ。トリノのアッティデッラレアーレアカデミアデッラサイエンスディトリノ にもあります47。

さらに読む

ウルデリコのベンシベンガ（1946年）。「Sulla rappresentazione geometaica delle algebre doppie dotate di modulo」[法を用いた二重代数の幾何学的表現について]。ナポリの科学アカデミーとベルレターレのアッティデッラレアーレ。 3 (イタリア語)。2 (7)。MR0021123 。
クリフォード、ウィリアム・キングドン(1873). 「双四元数の予備的概要」.ロンドン数学会報. 4 : 381–395 .
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ウィリアム・ミラー；ロシェル・ベーニング（1968）「ガウス数、放物線数、双曲数」『数学教師』61（4）：377-382 . doi :10.5951/MT.61.4.0377.
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ブランド、ルイス (1947).ベクトル解析とテンソル解析. ニューヨーク: John Wiley & Sons.
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「高次の接空間」。math.stackexchange.com。