ローカルリング

数学、特に環論において、局所環とは比較的単純な環であり、代数多様体や多様体上で定義された関数、あるいは特定の場所、あるいは素数において調べられる代数的数体の意味で「局所的挙動」と呼ばれるものを記述するために使用される。局所代数は可換代数の分野であり、可換局所環とその加群を研究する。

実際には、可換局所環は、素イデアルにおける環の局所化の結果として生じることが多い。

局所環の概念は、 1938年にヴォルフガング・クルルによってStellenringeという名前で導入されました。^[1] 英語の用語local ringはザリスキに由来します。^[2]

定義と最初の結果

環Rは、次の同等な特性のいずれかを持つ場合、 局所環となります。

Rには一意の最大左イデアルがあります。
Rには一意の最大右イデアルがあります。
1 ≠ 0 であり、 R内の任意の 2 つの非単位の合計は非単位です。
1 ≠ 0 であり、x がRの任意の要素である場合、xまたは1 − xは単位です。
有限和が単位である場合、その和には単位となる項があります (これは特に、空和は単位にはなり得ないことを意味し、したがって 1 ≠ 0 を意味します)。

これらの性質が成り立つ場合、唯一の最大左イデアルは、唯一の最大右イデアル、および環のヤコブソン根基と一致する。上記の3番目の性質は、局所環内の非単位集合が（真）イデアル^[3]を形成し、それがヤコブソン根基に必然的に含まれることを意味している。4番目の性質は次のように言い換えることができる。環Rが局所的であるためには、互いに素な2つの真（主）（左）イデアルが存在しない必要があり、2つのイデアルI ₁、I _2が互いに素であるのは、 R = I ₁ + I ₂の場合である。

可換環の場合、左イデアル、右イデアル、両側イデアルを区別する必要はありません。可換環が局所的であるための必要十分条件は、それが唯一の最大イデアルを持つことです。1960年頃より前は、多くの著者が局所環は（左と右）ノイザー的であるべきと規定し、（ノイザー的でない可能性のある）局所環は準局所環と呼ばれていました。本稿では、この要件は課しません。

整域である局所環は局所域と呼ばれる。

例

すべての体（および歪体）は局所環です。なぜなら、{0} はこれらの環における唯一の最大イデアルだからです。
環は局所環（ $p が$ 素数、 $n$ $\geq 1$ ）である。唯一の最大イデアルは $p$ のすべての倍数から構成される。 $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$
より一般的には、すべての要素が単位元またはべき零元である非ゼロ環は局所環です。
局所環の重要なクラスは離散評価環であり、これは体ではない局所主イデアル領域です。
環は、その元がの乗法がとなるような無限級数であるとき、局所的である。その唯一の最大イデアルは、逆元でないすべての元から構成される。言い換えれば、定数項が 0 であるすべての元から構成される。 $\mathbb {C} [[x]]$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$ ${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$ ${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$
より一般的には、局所環上の形式的冪級数の環はすべて局所的であり、最大イデアルは基本環の最大イデアルに定数項を持つ冪級数から構成される。
同様に、任意の体上の双対数代数は局所的である。より一般的には、 F が局所環で n が正の整数である場合、商環 F [ X ] / ( X n )は、^定数項を持つ多項式の類がFの極大イデアルに属する場合に、その最大イデアルを含む局所環となる。これは、 X ^{n を}法とする他のすべての多項式を等比級数で逆元化できるためである。Fが体である場合、F [ X ]/( X ⁿ ) の元は冪零または逆元となる。( F上の双対数はn = 2 の場合に対応する。)
局所環の非ゼロ商環は局所環である。
奇数分母の有理数環は局所的である。その最大イデアルは、分子が偶数で分母が奇数である分数から構成される。これは2に局所化された整数である。
より一般的には、任意の可換環 RとRの任意の素イデアル Pが与えられたとき、PにおけるRの局所化は局所的である。最大イデアルは、この局所化においてPによって生成されるイデアルである。つまり、最大イデアルは、a ∈ Pかつs ∈ R - Pであるすべての元a / sから構成される。

非例

体上の多項式環は、とが非単位なので局所的ではありませんが、それらの和は単位になります。 $K[x]$ $K$ $x$ $1-x$
整数環はあらゆる素数に対して最大イデアルを持つので局所的ではありません。 $\mathbb {Z}$ $(p)$ $p$
$\mathbb {Z}$ /( pq ) 、ここでpとqは異なる素数です。( p ) と ( q ) はどちらも最大イデアルです。 $\mathbb {Z}$

細菌の輪

これらの環を「局所的」と呼ぶ理由として、実数直線の周りの開区間上に定義された実数値連続関数を考える。ここで注目するのは、付近でのこれらの関数の挙動（「局所的挙動」）のみである。したがって、の周りの（おそらく非常に小さな）開区間上で一致する2つの関数を同一視する。この同一視は同値関係を定義し、同値類は「における実数値連続関数の芽」と呼ばれる。これらの芽は加算および乗算することができ、可換環を形成する。 $0$ $0$ $0$ $0$

この芽の環が局所的であることを確認するには、その可逆元を特徴付ける必要があります。芽が可逆なのは、の場合のみであり、の場合に限ります。その理由は、の場合、連続性によりが非ゼロとなる開区間が存在し、この区間上で関数を形成できるからです。関数は芽を生成し、の積はに等しくなります。（逆に、が可逆な場合、となるようなが存在するので、となります。） $f$ $f(0)\neq 0$ $f(0)\neq 0$ $0$ $f$ $g(x)={\frac {1}{f(x)}}$ $g$ $fg$ $1$ $f$ $g$ $f(0)g(0)=1$ $f(0)\neq 0$

この特徴付けにより、任意の2つの非可逆な芽の和もまた非可逆であることは明らかであり、可換な局所環が得られる。この環の極大イデアルは、まさにとなる芽から構成される。 $f$ $f(0)=0$

全く同じ議論が、任意の位相空間上の連続実数値関数の芽の環、任意の微分可能多様体上の微分可能関数の芽の環、任意の代数多様体上の有理関数の芽の環についても成り立つ。したがって、これらの環はすべて局所的である。これらの例は、多様体の一般化であるスキームが、特別な局所環空間として定義される理由を説明するのに役立つ。

評価理論

局所環は付値論において重要な役割を果たします。定義により、体Kの付値環とは、 Kの任意の非零元xに対して、 xとx ⁻¹の少なくとも一方がRに含まれるような部分環Rのことです。そのような部分環はどれも局所環となります。例えば、前述の奇数分母の有理数環は R の付値環です。 $\mathbb {Q}$

体Kが関数体であるかどうかは定かではないが、与えられた K の局所環を探すことができる。もしK が代数多様体 Vの関数体であるならば、 Vの各点Pに対して、 Pで「定義される」関数の付値環Rを定義しようと試みることができる。Vが2次元以上の場合、次のような困難が生じる。FとG がV上の有理関数で、

F ( P ) = G ( P ) = 0,

機能

F / G

はPにおいて不定形である。次のような簡単な例を考えてみよう。

Y / X、

線に沿って近づいた

Y = tX、

Pにおける値は単純な定義を持たない概念であることがわかります。これは評価値を用いて置き換えられます。

非可換

非可換局所環は、他の環上の加群の直和分解の研究において、自己準同型環として自然に生じる。具体的には、加群Mの自己準同型環が局所的であれば、Mは分解不可能である。逆に、加群Mが有限長で分解不可能であれば、その自己準同型環は局所的である。

k が特性p > 0の体であり、Gが有限p 群である場合、群代数kGは局所的です。

いくつかの事実と定義

可換ケース

また、最大イデアルmを持つ可換局所環R を( R , m )と書く。このような環は、 mの冪を 0 の近傍基数とすれば、自然に位相環となる。これはR上のm 進位相である。もし( R , m )が可換ノイザン局所環ならば、

\bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}

（クルルの交差定理）から、m進位相を持つRはハウスドルフ空間となる。この定理は、アルティン・リースの補題と中山の補題を合わせた結果であり、それゆえ「ノイザー的」仮定が重要である。実際、Rを実数直線上の0における無限微分可能関数の芽の環とし、mを最大イデアルとする。すると、任意のnに対して非零関数はnに属する。なぜなら、その関数をnで割っても依然として滑らかだからである。 $(x)$ $e^{-{1 \over x^{2}}}$ $m^{n}$ $x^{n}$

任意の位相環について、( R , m )が（一様空間として）完備であるかどうかを問うことができる。完備でない場合、その完備性は局所環であるとみなす。完備ノイザン局所環は、コーエン構造定理によって分類される。

代数幾何学では、特にR が点Pにおけるスキームの局所環であるとき、R / m は局所環の留数体または点Pの留数体と呼ばれます。

( R , m )と( S , n )が局所環である場合、 RからSへの局所環準同型は、性質f ( m ) ⊆ nを満たす環準同型f : R → Sです。^{[4]これらは、}RとS上の与えられた位相に関して連続な環準同型とまったく同じです。たとえば、を送る環射を考えます。の逆像はです。局所環射の別の例はで与えられます。 $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})$ $x\mapsto x$ $(x,y)$ $(x)$ $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})$

一般的なケース

局所環Rのヤコブソン根基 m（これは唯一の極大左イデアルと唯一の極大右イデアルに等しい）は、環の非単元から正確に構成される。さらに、これはRの唯一の極大両側イデアルである。しかし、非可換な場合、唯一の極大両側イデアルを持つことは局所的であることと同義ではない。^[5]

局所環Rの要素xに対して、以下は同値です。

xには左逆元がある
xには右逆元がある
xは逆数である
xはmに含まれません。

( R , m )が局所的であれば、因子環 R / mは歪体となる。J ≠ R が R 内の任意の両側イデアルであれば、因子環R / Jは再び局所的となり、最大イデアルはm / Jとなる。

アーヴィング・カプランスキーによる深い定理によれば、局所環上の任意の射影加群は自由であるが、加群が有限生成の場合は中山の補題の単純な系となる。これは森田同値性に関して興味深い結果をもたらす。すなわち、Pが有限生成射影R加群である場合、P は自由加群R ⁿと同型であり、したがって自己準同型環は行列の完全環と同型である。局所環 R に森田同値なすべての環は、そのようなPに対しての形であるため、結論として、局所環 R に森田同値な環はR上の行列環（と同型）のみである。 $\mathrm {終了} _{R}(P)$ $\mathrm {M} _{n}(R)$ $\mathrm {終了} _{R}(P)$

注記

^ Krull, Wolfgang (1938). "Dimensionstheorie in Stellenringen". J. Reine Angew. Math. (ドイツ語). 1938 (179): 204. doi :10.1515/crll.1938.179.204. S2CID 115691729.
^ ザリスキ, オスカー(1943年5月). 「双有理対応の一般理論の基礎」(PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 53 (3). American Mathematical Society: 490–542 [497]. doi : 10.2307/1990215 . JSTOR 1990215.
^ ラム（2001）、p.295、Thm.19.1。
^ 「タグ 07BI」.
^ たとえば、体上の 2 行 2 列の行列には、唯一の最大イデアル {0} がありますが、右と左の最大イデアルは複数あります。

参考文献

ラム, TY (2001).非可換環入門. 数学大学院テキスト（第2版）. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-95183-0。
ジェイコブソン、ネイサン(2009). 『基礎代数学』第2巻（第2版）. ドーバー. ISBN 978-0-486-47187-7。

参照

外部リンク

ローカルリングの背後にある哲学