極限点

凸集合は水色で、その端点は赤色です。

数学において、実ベクトル空間または複素ベクトル空間における凸集合の端点とは、 2点を結ぶ開線分上に存在しない点である。線分の端点は端点と呼ばれる。線形計画問題では、端点は頂点または^[1]の角点とも呼ばれる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$

意味

全体を通じて、 は実ベクトル空間または複素ベクトル空間であると仮定します。 ${\displaystyle X}$

誰でもそう言う${\displaystyle p,x,y\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ^は[2] との間に位置し、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$

が部分集合である場合、は${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in K,}$ ${\displaystyle p}$ の極点^[2]は任意異なる点の間に存在しない場合であるつまり、存在しない。のすべての極点の集合は、${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle x,y\in K}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {extreme} (K).}$

一般化

がベクトル空間の部分集合である場合、ベクトル空間の線型部分多様体（すなわち、アフィン部分空間）は${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ が満たす（つまり空でない）開線分が必ず[^3]とき、0次元サポート多様体^は[3]の極点と呼ばれる。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap S}$ ${\displaystyle I\subseteq S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle S.}$

特徴づけ

その２つの要素の中点^[2]とベクトル空間におけるベクトル${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+y).}$

ベクトル空間の任意の元とに対して、その集合は${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$ 閉じた線分またはと間の閉区間${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ 開いた線分またはと の間の開区間はのときでありのときで^[2]点とは${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,x)=\varnothing }$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle (x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ これらの区間の端点。区間は非退化区間または端点が明確に区別できる場合、適切な間隔である。区間の中点はその端点の中点です。

閉区間はの凸包に等しい（そして の場合に限る）ので が凸包であれば${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x,y\in K,}$ ${\displaystyle [x,y]\subseteq K.}$

が の空でない部分集合であり、が の空でない部分集合である場合、 は${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F}$ 面^[2]点が2点の間にあるときは必ずその2点は${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p\in F}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F.}$

定理^[2] —をベクトル空間の空でない凸部分集合とし、をベクトル空間とする。 このとき、以下の命題は同値である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in K.}$

1. ${\displaystyle p}$ 極限の${\displaystyle K.}$
2. ${\displaystyle K\setminus \{p\}}$ 凸状です。
3. ${\displaystyle p}$ に含まれる非退化線分の中点ではない${\displaystyle K.}$
4. 任意の場合、${\displaystyle x,y\in K,}$ ${\displaystyle p\in [x,y]}$ ${\displaystyle x=p{\text{ or }}y=p.}$
5. と が両方に属する場合、${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p+x}$ ${\displaystyle p-x}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle x=0.}$
6. ${\displaystyle \{p\}}$ の顔です${\displaystyle K.}$

例

が2つの実数である場合、とは区間 の端点となる。しかし、開区間には端点は存在しない。^[2]における 任意の開区間には端点は存在しないが、に等しくない任意の非退化閉区間には端点（つまり、閉区間の端点）が存在する。より一般的には、有限次元ユークリッド空間の任意の開部分集合には端点は存在しない。 ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

における閉じた単位円の端点は単位円です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

平面上の任意の凸多角形の周囲はその多角形の面である。^[2] 平面上の任意の凸多角形の頂点はその多角形の端点である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

入射線型写像は凸集合の端点を凸集合の端点に写像する^[2]。これは入射アフィン写像にも当てはまる。 ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle F(X).}$

プロパティ

コンパクト凸集合の端点は（部分空間位相を持つ）ベール空間を形成するが、この集合は^[2]では閉じていない可能性がある。${\displaystyle X.}$

定理

クライン・ミルマン定理

クライン・ミルマン定理は、おそらく極点に関する最もよく知られた定理の 1 つです。

クライン・ミルマン定理—が局所凸位相ベクトル空間において凸かつコンパクトである場合、 はその極点の閉じた凸包です。特に、このような集合には極点があります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

バナッハ空間の場合

これらの定理は、ラドン・ニコディム性質を持つバナッハ空間に対するものです。

ヨラム・リンデンシュトラウスの定理によれば、ラドン・ニコディム性を持つバナッハ空間において、空でない閉有界集合は極点を持つ。（無限次元空間においては、コンパクト性は閉有界性という複合的な性質よりも強い。^[4]）

定理 （ジェラルド・エドガー）—がラドン・ニコディム性を持つバナッハ空間であり、がの可分で閉で有界な凸部分集合であり、がの点であるとする。すると、がの重心であり、の端点の集合が-測度1 を持つような普遍的に測定可能な集合上に確率測度が存在する。 ^[5]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p}$

エドガーの定理はリンデンシュトラウスの定理を示唆する。

関連する概念

位相ベクトル空間の閉凸部分集合は、その（位相的な）境界点のすべてが極点であるとき、厳密に凸集合と呼ばれる。 ^[6]任意のヒルベルト空間の単位球は厳密に凸集合である。^[6]

け-極端な点

より一般的には、凸集合内の点が-次元凸集合の内部に存在するが、 - 次元凸集合の内部には存在しない場合 、その点は - 極点となる。したがって、極点は - 極点でもある。が多面体である場合、 - 極点は の-次元面の内点と正確に一致する。 より一般的には、任意の凸集合について、-極点は- 次元開面 に分割される。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

ミンコフスキーによる有限次元クライン＝ミルマン定理は、-極点の概念を用いて容易に証明できます。 が閉じており、有界で、-次元であり、 が の点である場合、あるに対して-極点となります。 この定理は、 が極点の凸結合であることを主張します。 の場合、は即時です。そうでない場合、 は の最大限に延長可能な線分上に存在します（は閉じており、有界であるため）。 線分の端点が であり、である場合、それらの極位数は の極位数よりも小さくなければならず、この定理は帰納法によって導かれます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\leq n.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle p,}$

参照

• エクストリームセット
• 露出点
• ショケ理論 – 関数解析と凸解析の領域
• バンバン制御^[4]

引用

1. Saltzman, Matthew. 「線形計画問題におけるコーナーポイントと極値ポイントの違いは何ですか？」
2. Narici & Beckenstein 2011、pp. 275–339。
3. Grothendieck 1973、186ページ。
4. Artstein, Zvi (1980). 「離散的および連続的なバンバン空間とフェイシャル空間、あるいは：極値点の探索」SIAM Review . 22 (2): 172– 185. doi :10.1137/1022026. JSTOR  2029960. MR  0564562.
5. Edgar GA. 非コンパクトショケ定理. アメリカ数学会誌. 1975;49(2):354–8.
6. Halmos 1982、5ページ。

参考文献

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