フェルミ面

凝縮系物理学において、フェルミ面とは、零温度において占有電子状態と非占有電子状態を分離する逆格子空間上の面である。 ^[1]フェルミ面の形状は、結晶格子の周期性と対称性、および電子エネルギーバンドの占有から導かれる。フェルミ面の存在は、量子状態ごとに最大1つの電子しか存在できないというパウリの排他原理の直接的な帰結である。 ^{[2] [3] [4] [5]}物質のフェルミ面の研究はフェルミオロジーと呼ばれる。

理論

図1： 2D ACARで測定した、還元領域図における銅のフェルミ面と電子運動量密度。^[6]

スピンのない理想フェルミ粒子気体を考えてみよう。フェルミ・ディラック統計によれば、エネルギーを持つ状態の平均占有数は^[7]で与えられる。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}}$

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

ここで

• ${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle }$ は番目の状態の平均占有数です${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ は番目の状態の運動エネルギーです${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mu }$ は化学ポテンシャルです（温度ゼロでは、これは粒子が持つことができる最大の運動エネルギー、つまりフェルミエネルギー です）${\displaystyle E_{\rm {F}}}$
• ${\displaystyle T}$ は絶対温度です
• ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ はボルツマン定数です

極限を考えるとします。すると、 ${\displaystyle T\to 0}$

${\displaystyle \left\langle n_{i}\right\rangle \to {\begin{cases}1&(\epsilon _{i}<\mu )\\0&(\epsilon _{i}>\mu )\end{cases}}.}$

パウリの排他原理によれば、2つのフェルミオンは同じ状態には存在できません。さらに、零度では電子のエンタルピーは最小でなければならず、つまり状態変化はできません。ある状態にある粒子にとって、占有できる空いている低い状態が存在する場合、それらの状態間のエネルギー差によって電子に追加のエンタルピーが与えられます。したがって、電子のエンタルピーは最小にはなりません。したがって、零度ではすべての最低エネルギー状態は飽和している必要があります。大規模な集団の場合、フェルミ準位は系の化学ポテンシャルにほぼ等しくなるため、このエネルギー以下のすべての状態は占有されている必要があります。したがって、粒子は絶対零度ではフェルミ準位より下のすべてのエネルギー準位を満たします。これは、フェルミ準位より下にちょうど数個の状態が存在するエネルギー準位であると言うことと同じです ${\displaystyle N}$

運動量空間では、これらの粒子は半径の球体を形成し、その表面はフェルミ面と呼ばれます。^[8]${\displaystyle k_{\rm {F}}}$

電流はフェルミエネルギー付近の状態占有率の変化によるため、金属の電気的、磁気的、または熱的勾配に対する線形応答はフェルミ面の形状によって決まります。逆格子空間において、理想フェルミ気体のフェルミ面は半径の球体です。

${\displaystyle k_{\rm {F}}={\frac {p_{\rm {F}}}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE_{\rm {F}}}}{\hbar }}}$ 、

価電子濃度によって決まります。ここで、は換算プランク定数です。フェルミ準位がバンド間のギャップに位置する物質は、バンドギャップの大きさに応じて絶縁体または半導体になります。物質のフェルミ準位がバンドギャップに位置する場合、フェルミ面は存在しません。 ${\displaystyle \hbar }$

図2：ブリルアンゾーンの角H点におけるグラファイトのフェルミ面の図。電子ポケットと正孔ポケットの三方対称性を示しています

複雑な結晶構造を持つ材料は、極めて入り組んだフェルミ面を持つことがあります。図 2はグラファイトの異方性フェルミ面を示しています。このフェルミ面には、方向に沿ってフェルミエネルギーを横切る複数のバンドがあるため、電子ポケットと正孔ポケットの両方があります。金属では、フェルミ面の半径が第 1ブリルアンゾーンのサイズよりも大きいことがよくあります。その結果、フェルミ面の一部が第 2 ゾーン (またはそれ以上のゾーン) に入ります。バンド構造自体と同様に、フェルミ面は、 が任意の大きな値をとることができる拡張ゾーン方式、または波数ベクトルがa を法として表示される縮小ゾーン方式で表示できます(1 次元の場合)。ここで、a は格子定数です。3 次元の場合、縮小ゾーン方式とは、任意の波数ベクトルから適切な数の逆格子ベクトルを差し引くことで、新しいベクトルがどの よりも - 空間の原点に近くなることを意味します。フェルミ準位で大きな状態密度を持つ固体は低温で不安定になり、基底状態を形成する傾向があります。基底状態においては、凝縮エネルギーはフェルミ面にギャップを開けることから生じます。このような基底状態の例としては、超伝導体、強磁性体、ヤーン・テラー歪み、スピン密度波などが挙げられます。 ${\displaystyle \mathbf {k} _{z}}$ ${\displaystyle k_{\rm {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$

電子のようなフェルミオンの状態占有率はフェルミ＝ディラック統計によって支配されるため、有限温度ではフェルミ面はそれに応じて広がります。原理的には、すべてのフェルミオンのエネルギー準位はフェルミ面によって束縛されますが、この用語は凝縮物質物理学以外では一般的に使用されません。

実験的決定

電子フェルミ面は、磁場中の輸送特性の振動、例えばド・ハース・ファン・アルフェン効果（dHvA）やシュブニコフ・ド・ハース効果（SdH）の観測を通じて測定されてきました。前者は磁化率の振動であり、後者は電気抵抗率の振動です。振動は周期的であり、磁場に垂直な面におけるエネルギー準位の量子化によって発生します。この現象は、レフ・ランダウによって最初に予測されました。新しい状態はランダウ準位と呼ばれ、エネルギーによって分離されています。ここで、はサイクロトロン周波数、は電子電荷、は電子の有効質量、は光速と呼ばれます。有名な結果において、ラース・オンサガーは、振動周期が磁場方向に垂直なフェルミ面の断面積（通常はÅ ^-2で表されます）と次の式で関係していることを証明しました。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1/H}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\rm {c}}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {c}}=eH/m^{*}c}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m^{*}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle A_{\perp }}$

${\displaystyle A_{\perp }={\frac {2\pi e\Delta H}{\hbar c}}}$ 。

このように、様々な印加磁場方向における振動周期を決定することで、フェルミ面のマッピングが可能になります。dHvA振動とSdH振動の観測には、サイクロトロン軌道の円周が平均自由行程よりも小さくなるほどの磁場が必要です。したがって、dHvAおよびSdH実験は通常、オランダの強磁場マグネット研究所、フランスのグルノーブル強磁場研究所、日本の筑波マグネット研究所、または米国の国立強磁場研究所などの強磁場施設で行われます。

図3：ARPESで測定したBSCCOのフェルミ面。実験データは黄赤黒スケールの強度プロットとして示されています。緑の破線はBSCCOのCuO ₂面のブリルアンゾーンを表しています

運動量エネルギー空間（逆格子参照）における結晶の電子構造、ひいてはフェルミ面を解明する最も直接的な実験技術は、角度分解光電子分光法（ARPES）です。ARPESで測定した超伝導銅酸化物のフェルミ面の例を図3に示します。

ACARを用いた測定

陽電子消滅では、消滅過程で最初の粒子の運動量が保存されるため、フェルミ面を決定することも可能になります。固体中の陽電子は消滅前に熱平衡状態になるため、消滅放射線は電子の運動量に関する情報を持ちます。対応する実験技術は、電子-陽電子消滅放射線の角度相関（ACAR）と呼ばれ、これは両方の消滅量子の180°からの角度偏差を測定するためです。このようにして、固体の電子運動量密度を調べ、フェルミ面を決定することが可能です。さらに、スピン偏極陽電子を用いることで、磁化物質における2つのスピン状態の運動量分布を得ることができます

ACARは他の実験手法と比較して多くの利点と欠点があります。UHV条件、極低温、高磁場、または完全に秩序化された合金に依存しません。しかし、ACARは陽電子の効果的なトラップとして機能するため、空孔濃度の低い試料を必要とします。このようにして、 1978年に30%合金における スミアリングされたフェルミ面が初めて決定されました。

参照

• 物理学ポータル

• フェルミエネルギー
• ブリルアンゾーン
• 超伝導銅酸化物のフェルミ面
• ケルビンプローブ力顕微鏡
• ラッティンガーの定理

参考文献

1. Dugdale, SB (2016). 「エッジの人生：フェルミ面への初心者向けガイド」. Physica Scripta . 91 (5) 053009. Bibcode : 2016PhyS...91e3009D. doi : 10.1088/0031-8949/91/5/053009 . hdl : 1983/18576e8a-c769-424d-8ac2-1c52ef80700e . ISSN  0031-8949.
2. Ashcroft, N.; Mermin , ND (1976).固体物理学. Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-083993-9。
3. ハリソン、WA（1989年7月）。『固体の電子構造と特性』。クーリエ社。ISBN   0-486-66021-4.
4. VRMLフェルミ面データベース
5. ジマン、JM（1963年）。『金属中の電子：フェルミ面への短いガイド』。ロンドン：テイラー＆フランシス。OCLC  541173
6. Weber, JA; Böni, P.; Ceeh, H.; Leitner, M.; Hugenschmidt, Ch (2013-01-01). 「TUMの新分光計を用いたCuの2D-ACAR測定の初公開」. Journal of Physics: Conference Series . 443 (1) 012092. arXiv : 1304.5363 . Bibcode :2013JPhCS.443a2092W. doi :10.1088/1742-6596/443/1/012092. ISSN  1742-6596. S2CID  119246268.
7. Reif, F. (1965).統計熱物理学の基礎. McGraw–Hill. p. 341. ISBN 978-0-07-051800-1。
8. K. Huang,統計力学(2000), p. 244

外部リンク

• 「銅酸化物超伝導体の角度分解光電子分光法（レビュー記事）」（2002年）における、いくつかの超伝導銅酸化物およびストロンチウムルテネートのフェルミ面実験
• 「擬2次元金属のフェルミオロジーにおけるARPES実験（レビュー記事）」（2014年）における、いくつかの銅酸化物、遷移金属ジカルコゲニド、ルテネート、および鉄系超伝導体のフェルミ面実験
• Dugdale, SB (2016-01-01). 「Life on the Edge: a beginners's guide to the Fermi surface」. Physica Scripta . 91 (5) 053009. Bibcode : 2016PhyS...91e3009D. doi : 10.1088/0031-8949/91/5/053009 . hdl : 1983/18576e8a-c769-424d-8ac2-1c52ef80700e . ISSN  1402-4896.