数学において、集合の列X 1、...、X n上の有限関係は、直積X 1 × ... × X nの部分集合である。つまり、n組( x 1、...、x n )の集合であり、各組は対応するX iの要素x iの列である。[1] [2] [3]通常、この関係はn組の要素間の可能な接続を記述する。たとえば、「xはyとzで割り切れる」という関係は、 をそれぞれx、y、zに代入すると文が真になる 3 組の集合から構成される。

関係における「場所」の数を与える非負整数n は、関係のarity（アリティ）、adicity（アディシティ）、またはdegree（次数）と呼ばれます。n個の「場所」を持つ関係は、 n項関係、n進関係、またはdegree nの関係などと呼ばれます。有限個の場所を持つ関係は、 finitary 関係（または文脈が明確な場合は単に関係）と呼ばれます。この概念を、無限シーケンスを持つinfinary 関係に一般化することも可能です。[4]

定義

2 つのオブジェクト、性質、クラス、または属性を心で一緒に見たとき、それらが何らかのつながりのもとで見られる場合、そのつながりは関係と呼ばれます。

— オーガスタス・デ・モルガン[5]

意味
Rは集合X 1 , ..., X n上のn項関係であり、直積X 1 × ... × X nの部分集合によって与えられる。[1]

定義は基礎となる集合X 1、 ...、X nに基づいているため、R はより正式には ( n + 1 ) 組( X 1、 ...、X n、G )として定義されます。ここで、GはRのグラフと呼ばれ、直積X 1 × ... × X nのサブセットです。

数学ではよくあることですが、数学的対象と基礎となる集合は同じ記号で表されます。そのため、( x 1 , ..., x n ) ∈ Rという記述は、( x 1 , ..., x n ) ∈ Gは「x 1 , ..., x nはRと関連している」という意味で使われることが多く、接頭表記ではRx 1 ⋯ x n、接尾表記ではx 1 ⋯ x n Rと表記されます。Rが2項関係の場合、これらの記述は接中表記でx 1 Rx 2と表記されます。

次の考慮事項が適用されます。

  • 集合X iはRのi番目の定義域と呼ばれる。[1] Rが二項関係の場合、 X 1は単にRの定義域または出発点の集合とも呼ばれ、X 2はRの終点の集合または終点の集合とも呼ばれる。
  • X iの要素が関係であるとき、X iはRの非単純領域と呼ばれる。[1]
  • 少なくとも1つの( x 1 , ..., x n )に対してRx 1 ⋯ x i −1 x i x i +1 ⋯ x nとなるような∀ x i ∈ X iの集合は、Rのi番目の定義域またはアクティブドメインと呼ばれる。[1] Rが2項関係である場合、その最初の定義域は単にRの定義域またはアクティブドメインとも呼ばれ、その2番目の定義域はRの定義余域またはアクティブコドメインとも呼ばれる。
  • Rのi番目の定義域がX iと等しいとき、R はそのi番目の定義域（または、曖昧でない場合はX i上）において全関係であると言われる。Rが二項関係の場合、 RがX 1において全関係であるとき、それは左全関係または直列関係であるとも言われ、 RがX 2において全関係であるとき、それは右全関係または射影関係であるとも言われる。
  • : ∀ x ∀ y ∈ X i . ∀ z ∈ X j . xR ij z ∧ yR ij z ⇒ x = y（i ∈ I、j ∈ J、R ij = π ij R、{ I、J }が{1、...、n }の分割であるとき、Rは{ X i } i ∈ I上で一意であるとされ、{ X i } i ∈ JはRの主キー[ 1]と呼ばれます。 Rが二項関係の場合、 R が{ X 1 } 上で一意であるとき、左一意または単射であるとも言われ、 R が{ X 2 } 上で一意であるとき、一価または右一意であるとも言われます。
  • すべてのX iが同じ集合Xである場合、 RをX上のn項関係として参照する方が簡潔であり、同次関係と呼ばれます。この制約がない場合、Rは異次関係と呼ばれます。
  • X iのいずれかが空の場合、定義する直積は空であり、そのようなドメインのシーケンス上の唯一の関係は空関係R = ∅です。

ブール領域 B を2要素集合、例えばB = {0, 1}とし、その要素は論理値（典型的には0 = false、1 = true ）として解釈できるものとする。Rの特性関数はχ Rと表記され、ブール値関数χ R : X 1 × ... × X n → Bであり、Rx 1 ⋯ x nの場合χ R ( ( x 1 , ..., x n ) ) = 1 、それ以外の場合χ R ( ( x 1 , ..., x n ) ) = 0と定義される。

応用数学、コンピュータサイエンス、統計学では、ブール値関数をn項述語と呼ぶことが一般的です。より抽象的な形式論理やモデル理論の観点から見ると、関係Rは論理モデル、つまり関係構造を構成し、 n項述語記号 の多くの解釈可能なものの一つとして機能します。

関係は多くの科学分野、そして数学や論理学の多くの分野で生じるため、用語には相当な多様性があります。関係概念または用語の集合論的 拡張とは別に、「関係」という用語は、対応する論理的実体、すなわち関係におけるすべての要素が共有する内包または抽象的性質の総体である論理的内包、あるいはこれらの要素と内包を表す記号を指すためにも用いられます。さらに、後者の立場をとる著述家の中には、より具体的な意味合いを持つ用語を導入する人もいます（例えば、特定の関係概念の集合論的拡張を表す「関係構造」など）。

具体的な値n

ヌラリー

零項関係（0項関係）は、決して成立しない空零項関係と、常に成立する普遍零項関係の2つの要素のみを数えます。これは、零項タプルは空タプル（）のみであり、すべての零項タプルの（単一項）集合の部分集合はちょうど2つ存在するためです。零項関係は、帰納的議論の基底ケースを構築する際に役立つことがあります。

単項

単項 (1 項) 関係は、何らかの特性 (ノーベル賞を受賞したことなど) を持つメンバーの集合 (ノーベル賞受賞者の集合など) として考えることができます。

すべての零項関数は単項関係です。

バイナリ

二項関係（2項関係）は有限関係の中で最もよく研​​究される形式である。同次二項関係（X 1 = X 2）には以下が含まれる。

異種の二項関係には以下が含まれる。

三元法

三項関係（3-ary）には、例えば、 2つの入力と出力を関連付ける二項関数が含まれます。同次三項関係の3つの定義域はすべて同じ集合です。

例

人々の集合P = { Alice, Bob, Charles, Denise }上の三項関係R " x はy が好きだと思っている"を考えます。これは次のように定義されます。

R = { (アリス、ボブ、デニス)、(チャールズ、アリス、ボブ)、(チャールズ、チャールズ、アリス)、(デニス、デニス、デニス) }。

R は次の表で同等に表すことができます。

ここで、各行はRの三つ組、つまり「x はy がz を好きだと思っている」という形式の文を表します。例えば、最初の行は「アリスはボブがデニスを好きだと思っている」と述べています。すべての行は独立です。行の順序は重要ではありませんが、列の順序は重要です。[1]

上記の表は、リレーショナルデータベースの単純な例でもあります。リレーショナルデータベースは、関係代数に根ざした理論とデータ管理への応用を持つ分野です。[6]しかし、コンピュータ科学者、論理学者、数学者は、一般的な関係とは何か、そしてそれが何から構成されているかについて、異なる概念を持つ傾向があります。例えば、データベースは定義上有限である経験的データを扱うように設計されていますが、数学では無限のアリティを持つ関係（つまり、無限関係）も考慮されます。

歴史

論理学者オーガスタス・ド・モルガンは、1860年頃に出版された著作において、現在のような意味での関係の概念を初めて明確に表現した人物である。また、関係理論における最初の正式な結果も提示した（ド・モルガンと関係については、Merrill 1990を参照）。

チャールズ・パース、ゴットロープ・フレーゲ、ゲオルク・カントール、リヒャルト・デデキントらは関係論を発展させました。彼らのアイデアの多く、特に順序と呼ばれる関係に関するアイデアは、 『数学原理』（1903年）にまとめられ、バートランド・ラッセルはこれらの結果を自由に利用しました。

1970年にエドガー・コッドはデータベースのためのリレーショナルモデルを提案し、データベース管理システムの発展を予見しました。[1]

参照

参考文献

  1. ^ abcdefgh コッド 1970
  2. ^ 「関係 – 数学百科事典」www.encyclopediaofmath.org . 2019年12月12日閲覧。
  3. ^ 「n項関係の定義」. cs.odu.edu . 2019年12月12日閲覧。
  4. ^ ニヴァット 1981
  5. ^ デ・モーガン 1966
  6. ^ 「関係論 – CS441」（PDF）www.pitt.edu . 2019年12月11日閲覧。

参考文献

  • ブルバキ、N.（1994）、数学史の要素、ジョン・メルドラム訳、シュプリンガー・フェアラーク
  • カルナップ、ルドルフ（1958年）、記号論理学入門とその応用、ドーバー出版
  • コッド、エドガー・フランク(1970年6月). 「大規模共有データバンクのためのリレーショナルデータモデル」(PDF) . Communications of the ACM . 13 (6): 377– 387. doi :10.1145/362384.362685. S2CID  207549016. 2020年4月29日閲覧.
  • コッド、エドガー・フランク(1990). 『データベース管理のためのリレーショナルモデル：バージョン2』（PDF） . ボストン:アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0201141924。
  • デ・モーガン、A. (1966) [1858]、「三段論法について、第3部」、ヒース、P. (編)、『三段論法とその他の論理的著作について』、ラウトレッジ、p. 119
  • PR ハルモス(1960 年)、単純集合理論、ニュージャージー州プリンストン: D. ヴァン ノストランド社
  • Lawvere, FW ; Rosebrugh, R (2003), Sets for Mathematics , Cambridge Univ. Press
  • Lewis, CI (1918) 『記号論理学概論』第3章 ブール・シュレーダー代数の応用、インターネットアーカイブ経由
  • ルーカス、JR（1999）、数学の概念的根源、ラウトレッジ
  • Maddux, RD (2006),関係代数, 論理学と数学の基礎研究, 第150巻, Elsevier Science
  • メリル、ダン・D.（1990）、オーガスタス・ド・モーガンと関係の論理、クルーワー
  • Nivat, M. (1981). 「無限関係」. Astesiano, Egidio; Böhm, Corrado (編). Caap '81 . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 112. Springer Berlin Heidelberg. pp.  46– 75. doi :10.1007/3-540-10828-9_54. ISBN 978-3-540-38716-9。
  • Peirce, CS (1870)、「ブールの論理計算の概念の拡張から生じる相対論理の表記法の記述」、アメリカ芸術科学アカデミー紀要9、317–78、1870 年。再版、Collected Papers CP 3.45–149、Chronological Edition CE 2、359–429。
  • Peirce, CS (1984) 『チャールズ・S・パースの著作：年代順版、第2巻、1867-1871年』 パース版プロジェクト編、インディアナ大学出版局。
  • ラッセル，B.（1938）[1903]，数学原理（第2版）、ケンブリッジ大学出版局。
  • サッペス、P.（1972）[1960]、公理的集合論、ドーバー出版
  • Tarski, A. (1983) [1956],論理学、意味論、メタ数学、1923年から1938年の論文、JH Woodger訳（第1版）、オックスフォード大学出版局第2版​​、J. Corcoran編、インディアナポリスIN: Hackett Publishing。
  • Ulam, SMおよび Bednarek, AR (1990)、「並列計算のための関係構造とスキーマの理論について」、AR Bednarek および Françoise Ulam (編)、『アナロジー間のアナロジー: SM Ulam とロスアラモスの協力者による数学的報告』、カリフォルニア大学出版局、バークレー、カリフォルニア州、 477 ～ 508 ページ。
  • ウラム、SM（1990）、ARベドナレク、フランソワーズ・ウラム（編）、アナロジー間のアナロジー：SMウラムとロスアラモスの協力者による数学的報告、カリフォルニア大学出版局
  • Fraïssé, R. (2000) [1986], Theory of Relations , North Holland