微分テスト

微積分学において、微分検定は関数の微分を用いて関数の臨界点を特定し、各点が極大値、極小値、あるいは鞍点であるかを判定する。微分検定は関数の 凹性に関する情報も提供する。

極値を見つけるための微分法の有用性は、フェルマーの停留点の定理によって数学的に証明されています。

一次微分検定

一次導関数検定は、関数の単調性（関数が増加または減少する点）を、その定義域内の特定の点に焦点を当てて調べます。関数がその点で増加から減少に「切り替わる」場合、その点で関数は最高値に達します。同様に、関数がその点で減少から増加に「切り替わる」場合、その点で関数は最低値に達します。関数が「切り替わる」ことなく増加または減少を続ける場合、最高値も最小値も達成されません。

関数の単調性は微積分を使わずに調べることができます。しかし、上記の単調性を保証する十分条件が存在し、これらの条件はほとんどの関数に当てはまるため、微積分は通常役立ちます。

単調性特性の正確な記述

正確に言えば、fは点xを含むある開区間上で定義された実数値関数であり、さらにfはxで連続であると仮定します。

• 正の数r  > 0が存在し、 f が( x − r、x ]で弱増加し、 [ x、x + r )で弱減少する場合、f はxで局所的最大値を持ちます。
• 正の数r  > 0が存在して、 f が( x − r、x ]で厳密に増加し、 [ x、x + r )で厳密に増加する場合、fは( x − r、x + r )で厳密に増加し、 xで局所的最大値または局所的最小値を持ちません。

最初のケースでは、fはxの左または右で厳密に増加または厳密に減少する必要はないのに対し、最後のケースでは、f は厳密に増加または厳密に減少する必要があることに注意してください。これは、極大値と極小値の定義において、不等式が厳密である必要がないためです。例えば、定数関数のすべての値は、極大値と極小値の両方であるとみなされます。

一次微分検定の正確な記述

一次導関数の検定は「増加-減少検定」に依存しており、これはそれ自体が最終的には平均値定理の帰結である。これは、導関数の定義方法と、関数の局所的な減少と増加との関連性、そして前節で述べたこととの組み合わせによって直接導かれる帰結である。

f が、臨界点aを含む区間上で定義された実変数の実数値関数であるとする。さらに、fがaで連続であり、aを含む開区間（ただしa自身を除く）上で微分可能であるとする。

• 正の数r  > 0が存在して、 ( a − r、a ) 内のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≥ 0が成り立ち、 ( a、a + r ) 内のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≤ 0 が成り立つ場合、 f はaで極大値を持ちます。
• 正の数r  > 0が存在して、 ( a − r、a ) 内のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≤ 0 が成り立ち、 ( a、a + r ) 内のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≥ 0が成り立つ場合、 f はaで極小値を持ちます。
• 正の数r  > 0が存在し、 ( a − r , a ) ∪ ( a , a + r ) 内のすべてのxに対してf ′ ( x ) > 0が成り立つ場合、 fはaで厳密に増加し、そこには極大値も極小値もありません。
• 上記の条件のいずれも満たされない場合、テストは失敗します。（このような条件は空ではありません。最初の3つの条件のいずれも満たさない関数が存在します。例：f ( x ) = x ²  sin(1/ x )）。

ここでも、単調性プロパティに関するセクションのコメントに対応して、最初の 2 つのケースでは不等式が厳密である必要はありませんが、3 番目のケースでは厳密な不等式が必要であることに注意してください。

アプリケーション

一次微分検定は、物理学、経済学、工学における最適化問題の解決に役立ちます。極値定理と組み合わせることで、閉区間かつ有界区間上で定義された実数値関数の絶対最大値と最小値を求めることができます。また、凹面性、変曲点、漸近線などの他の情報と組み合わせることで、関数の グラフを描くことができます。

2次導関数検定（単一変数）

関数の臨界点を決定した後、 2次微分テストでは、それらの点における2次微分の値を使用して、それらの点が極​​大値か極小値かを判定します。^[1]関数fが臨界点x （つまり、 f ′ ( x )=0となる点）で2回微分可能である場合、次の式が成り立ちます。

• の場合、 は で極大値を持ちます。${\displaystyle f''(x)<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• の場合、 は で極小値を持ちます。${\displaystyle f''(x)>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• の場合、テストは決定的ではありません。${\displaystyle f''(x)=0}$

最後のケースでは、テイラーの定理が、高次の導関数を使用してx付近のfの挙動を決定するために使用されることがあります。

2階微分検定の証明

（の証明も同様）と仮定する。仮定により、となる。すると ${\displaystyle f''(x)>0}$ ${\displaystyle f''(x)<0}$ ${\displaystyle f'(x)=0}$

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

したがって、hが十分に小さい 場合、

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0,}$

これは、（直感的にf は左から近づくにつれて減少する）ならば、 （直感的にf はxから右に向かうにつれて増加する）ならばであることを意味します。ここで、一次導関数のテストにより、は で極小値を持ちます。 ${\displaystyle f'(x+h)<0}$ ${\displaystyle h<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'(x+h)>0}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

凹面テスト

2階微分は、関数がある点において上向きに凹んでいるか下向きに凹んでいるかを判断する際に用いられるが、これはこれとは別の用途である。しかし、2階微分は変曲点に関する情報を提供しない。具体的には、2回微分可能な関数fは、 の場合には上向きに凹み、 の場合には下向きに凹んでいる。 の場合には2階微分はゼロであるが、は変曲点ではないため、2階微分だけでは、与えられた点が変曲点であるかどうかを判断するのに十分な情報が得られない点に注意する必要がある。 ${\displaystyle f''(x)>0}$ ${\displaystyle f''(x)<0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$ ${\displaystyle x=0}$

高階微分テスト

高階微分テスト、あるいは一般微分テストは、二階微分テストよりも幅広い種類の関数について、関数の臨界点が最大値、最小値、あるいは変曲点であるかどうかを判定できます。以下に示すように、二階微分テストは、 高階微分テストにおける n = 1の特殊なケースと数学的に同一です。

f を区間 上の十分微分可能な実数値関数とし、とし、 を自然数とする。また、 fのcにおけるすべての導関数はn次導関数までゼロとするが、( n  + 1) 次導関数はゼロでないものとする。 ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c\in I}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{and}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

可能性は 4 つあり、最初の 2 つはcが極値である場合、次の 2 つはcが (局所的な) 鞍点である場合です。

• (n+1)が偶数で、cは極大値になります。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• (n+1)が偶数で、cは極小値になります。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$
• (n+1)が奇数で、c は厳密に減少する変曲点です。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• (n+1)が奇数で、cは厳密に増加する変曲点です。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$

(n+1) は奇数か偶数でなければならないため、この解析的テストでは、最終的に非ゼロ導関数が現れる限り、fの任意の停留点を分類します。ここで、は最初の非ゼロ導関数です。 ${\displaystyle f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

例

点 における関数の一般微分検定を実行したいとします。これを行うには、関数の微分を計算し、結果がゼロ以外になるまで、対象の点 において微分を評価します。 ${\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle f'(x)=6x^{5}}$ 、${\displaystyle f'(0)=0;}$

${\displaystyle f''(x)=30x^{4}}$ 、${\displaystyle f''(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(3)}(x)=120x^{3}}$ 、${\displaystyle f^{(3)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(4)}(x)=360x^{2}}$ 、${\displaystyle f^{(4)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(5)}(x)=720x}$ 、${\displaystyle f^{(5)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(6)}(x)=720}$ 、${\displaystyle f^{(6)}(0)=720.}$

上に示したように、点 において、関数の 0 におけるすべての導関数は 0 に等しくなりますが、6次導関数は正です。したがってn  = 5 となり、検定により 0 で極小値が存在することが分かります。 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x^{6}+5}$

多変数の場合

多変数関数の場合、2階微分検定は、関数のヘッセ行列の臨界点における固有値に基づく検定へと一般化されます。特に、 fのすべての2階偏微分が臨界点xの近傍で連続していると仮定すると、 xにおけるヘッセ行列の固有値がすべて正であれば、xは局所的最小値となります。固有値がすべて負であれば、 xは局所的最大値となり、一部が正で一部が負であれば、その点は鞍点となります。ヘッセ行列が特異行列である場合、2階微分検定は決定的なものではありません。

参照

• 縁取りヘッセン
• 凸関数
• 微分可能性
• フェルマーの定理（停留点）
• 変曲点
• カルーシュ・キューン・タッカー条件
• 最大値と最小値
• 最適化（数学）
• 位相線- 常微分方程式の研究で使用される、実質的に同一の図
• 鞍点
• 2番目の偏微分テスト
• 静止点
• 2番目のバリエーション

さらに読む

• チアン, アルファ C. (1984). 『数理経済学の基礎的手法』（第3版）. ニューヨーク: マグロウヒル. pp. 231–267. ISBN 0-07-010813-7。
• マースデン、ジェロルド、ワインスタイン、アラン(1985).微積分学 I (第2版). ニューヨーク: シュプリンガー. pp.  139– 199. ISBN 0-387-90974-5。
• ショックレー, ジェームズ・E. (1976). 『微積分入門：社会科学への応用』（第2版）. ニューヨーク: ホルト・ライナーハート・アンド・ウィンストン. pp.  77– 109. ISBN 0-03-089397-6。
• スチュワート、ジェームズ（2008年）『微積分学：超越関数入門』（第6版）ブルックス・コール社、センゲージ・ラーニング、ISBN 978-0-495-01166-8。
• ウィラード、スティーブン (1976). 『微積分とその応用』 ボストン: プリンドル、ウェーバー、シュミット. pp.  103– 145. ISBN 0-87150-203-8。

参考文献

1. Chiang, Alpha C. (1984). McGraw-Hill (編). 数理経済学の基礎的手法. p. 231–267. ISBN 0-07-010813-7。

外部リンク

• Mathworldの「2次導関数テスト」
• 凹面と2階微分テスト
• 収束点における最大値と最小値を見つけるためのトーマス・シンプソンの2次導関数検定法