無料モジュール

数学において、自由加群とは、基底を持つ加群、すなわち線型独立な生成集合を持つ加群のことである。すべてのベクトル空間は自由加群である^[1]が、係数環が除算環（可換な場合は体ではない）でない場合、非自由加群が存在する。

任意の集合 Sと環Rが与えられると、基底Sを持つ自由R加群が存在し、これはS上の自由加群またはSの元の形式的R線形結合の加群と呼ばれます。

自由アーベル群は、整数環上の自由加群とまったく同じです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

意味

環 と-モジュールの場合、次の条件を満たす集合はの基底となります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\subseteq M}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle E}$ は の生成集合です。つまり、 のすべての要素は の要素に の係数を乗じた有限和です。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle E}$ は線形独立です。つまり、異なる要素のすべての集合に対して、は(ただしは の零点要素、は の零点要素) を意味します。${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}$ ${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$ ${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle R}$

自由加群は基底を持つ加群である。^[2]

定義の後半の直接的な帰結は、前半の係数がMの各要素に対して一意であるということです。

が不変基底数を持つ場合、定義により任意の2つの基底は同じ基数を持ちます。例えば、非零可換環は不変基底数 を持ちます。任意の（したがってすべての）基底の基数は、自由加群の階数と呼ばれます。この基数が有限である場合、自由加群は有限階数 から自由であると言われ、階数がnであることが分かっている場合は階数nから自由であると言われます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

例

Rを環とし ます。

• Rは、それ自身に対して階数 1 の自由モジュールです (左モジュールまたは右モジュールとして)。任意の単位元は基底です。
• より一般的には、Rが可換ならば、 Rの非零イデアルIが自由であるための必要十分条件は、それが非零因子によって生成される主イデアルであり、生成元が基底である場合である。^[3]
• 主イデアル領域（例えば、 ）上では、自由モジュールのサブモジュールは自由である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Rが可換である場合、不定元Xの多項式環は、可能な基底 1、X、X ²、...を持つ自由加群です。${\displaystyle R[X]}$
• 可換環A上の多項式環を、そこにおける次数dの単項多項式をf、tのBにおける像をとする。このとき、B はA を部分環として含み、を基底とするA加群として自由である。${\displaystyle A[t]}$ ${\displaystyle B=A[t]/(f)}$ ${\displaystyle \xi}$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$
• 任意の非負整数nに対して、Rの左R加群としてのn個の直積は自由である。Rが不変基底数を持つ場合、その階数はnである。${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$
• 自由加群の直和は自由であるが、自由加群の無限直積は一般に自由ではない（Baer–Specker 群を参照）。
• 可換局所環上の有限生成加群が自由となるのは、それが忠実に平坦である場合に限ります。^[4]また、カプランスキーの定理によれば、（おそらく非可換な）局所環上の射影加群は自由となります。
• 場合によっては、加群が自由であるかどうかは集合論的な意味で決定不可能です。有名な例としては、ホワイトヘッド群が自由であるかどうかを問うホワイトヘッド問題が挙げられます。結局のところ、この問題はZFCとは独立です。

形式線形結合

集合Eと環Rが与えられたとき、 Eを基底とする自由R加群が存在する。すなわち、 Eで添え字付けされたRのコピーの直和である。

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R.}$

明示的に言えば、これは直積の 部分加群（Rは左加群とみなせる）であり、有限個の非零成分のみを持つ元から構成される。EをR ^{( E )}に部分集合として埋め込むには、 e番目の成分が 1（ Rの単位元）で他の成分がすべて零であるR ^{( E )}の元eをその元と同一視する。そうすると、 R ^{( E )}の各元は次のように一意に表せる 。${\textstyle \prod _{E}R}$

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

ただし、非零の数は有限個のみです。これはEの元の形式的線形結合と呼ばれます。 ${\displaystyle c_{e}}$

同様の議論により、すべての自由左（右）Rモジュールは、左（右）モジュールとしての Rのコピーの直和に同型であることが示されます。

別の建設

自由モジュールR ^{( E )は}、次のように同等の方法で構築することもできます。

環Rと集合Eが与えられ、まず集合として

${\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ 有限個を除くすべての }}x\in E\} に対して。}$

左モジュールの構造を装備し、その加算は次のように定義されます。E内のxに対して、

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

そしてスカラー乗算は次のように行われます。rはRに、xはEにそれぞれ属します。

${\displaystyle (rf)(x)=rf(x)}$

ここで、 E上のR値関数として、各fは次のように一意に表すことができます。 ${\displaystyle R^{(E)}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}$

ここで、 Rには有限個の非ゼロの要素があり、次のように与えられる。 ${\displaystyle c_{e}}$ ${\displaystyle \delta_{e}}$

${\displaystyle \delta_{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}}$

（これはクロネッカーのデルタの変種である）。上記は、の部分集合が の基底であることを意味する。写像はEとこの基底との間の一対一写像である。この一対一写像を通して、は基底Eを持つ自由加群となる。 ${\displaystyle \{\delta _{e}\mid e\in E\}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$ ${\displaystyle e\mapsto \delta _{e}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$

普遍的な財産

上記で定義した包含写像は、以下の意味で普遍的である。集合Eから左R -加群Nへの任意の写像が与えられたとき、を満たす唯一の加群準同型が存在する。すなわち、は次式で定義される。 ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$ ${\displaystyle f:E\to N}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$ ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

は線型性による拡張によって得られると言われている。この一意性とは、各R線型写像がEへの制約によって一意に決定されることを意味する。 ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R^{(E)}\to N}$

普遍性の場合と同様に、これは標準同型を除いてR(E)を定義する。また、各^{集合Eに対する} の形成は、関手を決定する。${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$ 、

集合の圏から左R加群の圏への変換。これは自由関手と呼ばれ、自然な関係を満たす。すなわち、任意の集合Eと左加群Nに対して、

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

ここでは忘却関数であり、は忘却関数 の 左随伴関数であることを意味します。${\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle R^{(-)}}$

一般化

自由加群について成り立つ多くの命題は、より大規模な加群のクラスにも拡張されます。射影加群は自由加群の直和元です。 平坦加群は、それらとのテンソル化によって正確な列が保存されるという性質によって定義されます。 捩れのない加群はさらに広いクラスを形成します。PID（例えばZ）上の有限生成加群の場合、自由、射影、平坦、捩れのないという性質は同値です。

局所環、完全環、デデキント環を参照してください。

参照

• 自由オブジェクト
• 無料プレゼンテーション
• 自由解像度
• キレン・ススリン定理
• 安定的に無料のモジュール
• ジェネリックフリーネス

注記

1. Keown (1975). 群表現理論入門. p. 24.
2. Hazewinkel (1989). 数学百科事典, 第4巻. p. 110.
3. 証明： が基底 を持つ自由であるとする。 に対して、は とに関する唯一の線型結合を持つ必要があるが、これは正しくない。したがって、 であるので、非零因子となる基底元は1つだけである。逆は明らかである。${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{x_{j}|j\}}$ ${\displaystyle j\neq k}$ ${\displaystyle x_{j}x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle I\neq 0}$ ${\displaystyle \square}$
4. 松村 1986、定理7.10。

参考文献

この記事には、 Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMath上のセット上のフリーベクトル空間からの資料が組み込まれています。

• アダムソン、イアン・T. (1972). 『初等環と加群』 大学数学テキスト. オリバー＆ボイド. pp.  65– 66. ISBN 0-05-002192-3. MR  0345993。
• Keown, R. (1975).群表現論入門. 科学と工学における数学. 第116巻. アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-404250-6. MR  0387387。
• Govorov, VE (2001) [1994], 「自由モジュール」,数学百科事典, EMS Press。
• 松村秀之(1986). 可換環論. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第8巻. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. MR  0879273. Zbl  0603.13001.