随伴関数

数学、特に圏論において、随伴とは2つの関手が示す関係であり、直感的には2つの関連する圏の間の弱い同値性に対応する。この関係にある2つの関手は随伴関手と呼ばれ、一方が左随伴、もう一方が右随伴である。^[1]随伴関手のペアは数学のいたるところに見られ、代数における集合上の自由群の構築や位相幾何学における位相空間のストーン・チェフ・コンパクト化の構築など、特定の問題に対する「最適解」の構築（つまり、特定の普遍的性質を持つオブジェクトの構築）から生じることが多い。

定義により、カテゴリと間の随伴は（共変であると仮定される）関数のペアである。 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}$

F:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}

そして

G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}

そして、とのすべてのオブジェクトに対して、それぞれの射集合間の一対一関係が成り立つ。 $c$ ${\mathcal {C}}$ $d$ ${\mathcal {D}}$

\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(Fd,c)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(d,Gc)

となり、この一対一の族はおよびにおいて自然となる。^[1]局所的に小さいカテゴリに対して、ここでの自然性とは、における固定されたに対する関数のペアとの間、およびにおける固定されたに対する関数のペアとの間に自然な同型が存在することを意味する。他のカテゴリに対しては、自然性とはこれを一般化したものとして定義される。^[1] $c$ $d$ ${\mathcal {C}}(F-,c):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}}$ ${\mathcal {D}}(-,Gc):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}}$ $c$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}(Fd,-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set}$ ${\mathcal {D}}(d,G-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set}$ $d$ ${\mathcal {D}}$

関数はの左随伴関数または左随伴関数と呼ばれ、はの右随伴関数または右随伴関数と呼ばれる。と書く。^[1] $F$ $G$ $G$ $F$ $F\dashv G$

圏との間の随伴は、との間の同値性の「弱い形式」にいくらか似ており、実際、すべての同値性は随伴を与えるが、同値性自体は必ずしも随伴である必要はない。^[2]多くの場合、随伴は、関係する圏と関手の適切な自然な修正によって、同値性に「アップグレード」することができる。 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}$

用語と表記

「随伴語」と「随伴語」という用語が両方とも使われており、これらは同源語です。一方はラテン語から直接、もう一方はフランス語を経由してラテン語に由来しています。マクレーンは古典的著書『現役数学者のためのカテゴリー』の中で、この2つを区別しています。^[3]ある族が

\varphi _{cd}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(Fd,c)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(d,Gc)

ホム集合の全単射の場合、との間のを随伴あるいは随伴と呼びます。^[1]^[3]がの矢印である場合、Mac Lane はの右随伴と呼びます。^[3]関数はの左随伴であり、の右随伴です。^[1]^[3]（はとはまったく異なる右随伴を持つ場合があることに注意してください。例については以下を参照してください。） $\varphi$ $F$ $G$ $f$ $\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(Fd,c)$ $\varphi f$ $f$ $F$ $G$ $G$ $F$ $G$ $F$

一般に、「は左随伴関数である」と「は右随伴関数を持つ」という表現は同義です。はの左引数に適用されるため左随伴関数と呼ばれ、はの右引数に適用されるため右随伴関数と呼ばれます。 $F$ $F$ $F$ $\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}$ $G$ $\mathrm {hom} _{\mathcal {D}}$

FがGの左随伴である場合、次のようにも書ける。

F\dashv G.

^[1]

この用語は、ヒルベルト空間における随伴作用素の概念に由来し、これは形式的には上記のホム集合間の関係に類似している。ヒルベルト空間の随伴写像との類似性は、特定の文脈においてはより明確になる。^[4] $T$ $U$ $\langle Ty,x\rangle =\langle y,Ux\rangle$

はじめにと動機

スローガンは「随伴関数はどこにでも発生する」です。

— サンダース・マクレーン『働く数学者のためのカテゴリー』

一般的な数学的構成は、多くの場合、随伴関手です。したがって、左/右随伴関手に関する一般的な定理は、多くの有用かつ自明ではない結果の詳細を符号化します。このような一般的な定理には、随伴関手の様々な定義の同値性、与えられた左随伴関手に対する右随伴関手の一意性、左/右随伴関手がそれぞれ余極限/極限を保存するという事実（これらは数学のあらゆる分野にも見られます）、そして与えられた関手が左/右随伴関手となる条件を与える一般的な随伴関手定理が含まれます。

最適化問題の解決策

ある意味では、随伴関数は、定式化された方法を介して、ある問題に対する最も効率的な解決策を与える方法です。たとえば、環理論における基本的な問題は、 rng（乗法単位元を持たない可能性のある環のようなもの）を環に変える方法です。最も効率的な方法は、rngに元「1」を随伴させ、環の公理を満たすために必要な元（たとえば、環内の各rに対してr +1 ）をすべて（そしてそれだけを）随伴させ、新しく形成された環には公理によって強制されない関係を課さないことです。さらに、この構成は、どのrngに対しても本質的に同じように機能するという意味で 定式化されています。

これは示唆的ではあるが、かなり漠然としており、圏論の用語を使えば明確に表現できる。構成は普遍性を満たす場合に最も効率的であり、関数を定義する場合に定式的である。普遍性には、始特性と終特性の2種類がある。これらは双対的な概念であるため、ここではどちらか一方についてのみ議論すればよい。

初期特性を用いる考え方は、問題を何らかの補助カテゴリEを用いて設定し、 Eの初期オブジェクトを見つけることが問題となるようにすることです。この方法の利点は、最適化（つまり、プロセスが最も効率的な解を見つけるという意味）が、上限の達成のように、厳密で認識しやすいものになるという点です。また、この構成ではカテゴリEは定式化されます。なぜなら、カテゴリEは常に、随伴関数を構築する関手の元のカテゴリだからです。

例に戻りましょう。与えられた rng Rを取り、 rng 準同型 R → S をオブジェクトとするカテゴリ $E$ $を$ $作成$ します。ここで、Sは乗法単位元を持つ環です。Eにおける $R$ $\to$ $S$ $1$ と $R$ $\to$ $S$ $2$ の間の射は、形式 ( $R$ $\to$ $S$ $1$ $、$ $R$ $\to$ $S$ $2$ $、$ $S$ $1$ $\to$ $S$ $2$ )の可換三角形です。ここで、 $S$ $1$ $\to S$ $2$ は環写像です (単位元が保存されます)。 (これはまさに、ユニタリ環を rng に含めることに関するRのコンマカテゴリの定義であることに注意してください。) $R$ $\to$ $S$ $1$ と $R$ $\to$ $S$ $2$ の間に射が存在するということは、 S ₁が少なくともS ₂と同じくらい効率的な問題解決方法であることを意味します。つまり、 S _{2 は、}S ₁よりも多くの隣接要素や、公理によって課されないより多くの関係を持つことができます。したがって、オブジェクト $R$ $\to$ $R$ $* が$ Eにおいて初期値であるという主張、つまり、そこからEの他の任意の要素への射が存在するという主張は、環R * が問題に対する 最も効率的な解であることを意味します。

rngを環に変換するこの方法が最も効率的かつ定式化しやすいという2つの事実は、随伴関数を定義するという表現で同時に表すことができます。より明確には、Fは上記の恒等関数をrngに随伴させるプロセスを表すものとし、F ( R )= R ^∗とします。Gは環Sが恒等関数を持つかどうかを「忘れて」、それを単にrngとみなすプロセスを表すものとし、本質的にG ( S )= Sとします。この場合、 FはGの左随伴関数となります。

ただし、実際にはまだR ^∗を構築していないことに注意してください。このような左随伴関数 $R \to R *$ が実際に存在するということは、重要かつまったく自明ではない代数的事実です。

最適化問題の対称性

関数Fから始めて、次のような（漠然とした）質問をすることもできます。 F が最も効率的な解決策となる問題は存在するでしょうか？

FがGによって提起された問題に対する最も効率的な解決策であるという考えは、ある厳密な意味では、G がFが解決する最も難しい問題を提起しているという考えと同等です。

これは、随伴関数がペアで発生するという事実の背後にある直感を与えます。つまり、 FがGの左随伴関数である場合、GはFの右随伴関数です。

正式な定義

随伴関数には、同等の定義がいくつか存在します。

普遍射による定義は簡単に述べられ、随伴関手を構築したり、2つの関手が随伴であることを証明したりする際に最小限の検証しか必要としません。また、最適化に関する私たちの直感に最も類似しています。
hom-set による定義は対称性を最も明確にし、 adjoint という単語を使用する理由です。
共役-共役随伴による定義は、直接操作できる式を提供するため、随伴であることがわかっている関手に関する証明に便利です。

これらの定義の同値性は非常に有用です。随伴関手は数学のあらゆる分野で、あらゆる場所で現れます。これらの定義のいずれかの構造は、他の定義の構造を生じさせるため、これらの定義を切り替えることで、本来であればあらゆる分野で個別に繰り返さなければならない多くの詳細を暗黙的に利用することができます。

コンベンション

随伴理論は「左」と「右」という用語を基礎としており、検討対象となる成分の多くは、CとDの2つのカテゴリのいずれかに属します。したがって、文字を「左手」カテゴリCに属するか「右手」カテゴリDに属するかに応じてアルファベット順に選び、可能な限りこの順序で書き留めると便利です。

例えばこの記事では、文字X、F、f、 ε は一貫してカテゴリCに属するものを表し、文字Y、G、g、 η は一貫してカテゴリDに属するものを表します。そして可能な限り、そのようなものは左から右の順に参照されます（関手F : D → C は、その出力があるCにある「生きている」ものと考えることができます）。左随伴関手 F の矢印を描く場合は左向きになり、右随伴関手 G の矢印を描く場合は右向きになります。

普遍射による定義

定義により、関数手が左随伴関数手であるとは、の各オブジェクトに対してからへの普遍射が存在することを意味します。つまり、の各オブジェクトに対してのオブジェクトと射が存在し、のすべてのオブジェクトとすべての射に対してを満たす一意の射が存在することを意味します。 $F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $F$ $X$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $G(X)$ ${\mathcal {D}}$ $\varepsilon _{X}:F(G(X))\to X$ $Y$ ${\mathcal {D}}$ $f:F(Y)\to X$ $g:Y\to G(X)$ $\varepsilon _{X}\circ F(g)=f$

後者の方程式は次の交換法則によって表されます。

この状況では、のすべての射に対してとなるような一意の方法でを関数に変換できることがわかります。この場合、はの左随伴と呼ばれます。 $G$ $G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ $\varepsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \varepsilon _{X'}$ $f:X'\to X$ ${\mathcal {C}}$ $F$ $G$

同様に、右随伴関手を定義することができます。の各オブジェクトに対して、からへの普遍射が存在する場合、関手は右随伴関手と呼ばれます。具体的には、の各オブジェクトに対して、のオブジェクトと射が存在し、のあらゆるオブジェクトとあらゆる射に対して、を持つ一意の射が存在することを意味します。 $G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ $Y$ ${\mathcal {D}}$ $Y$ $G$ $Y$ ${\mathcal {D}}$ $F(Y)$ $C$ $\eta _{Y}:Y\to G(F(Y))$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $g:Y\to G(X)$ $f:F(Y)\to X$ $G(f)\circ \eta _{Y}=g$

また、これはの射に対してとなるような関数に一意に変換することができ、はの右随伴関数と呼ばれる。 $F$ $F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ $G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g$ $g:Y\to Y'$ ${\mathcal {D}}$ $G$ $F$

用語が示すように、がの左随伴である場合、かつがの右随伴である場合に限り、それは真です。 $F$ $G$ $G$ $F$

普遍射によるこれらの定義は、要求が最小限であるため、与えられた関数が左随伴関数であるか右随伴関数であるかを証明するのにしばしば有用である。また、普遍射を求めることは最適化問題を解くことに似ているという点でも、直感的に意味がある。

Hom集合による定義

ホム集合を用いると、2つのカテゴリと間の随伴は、 2つの関手とと自然同型性から成るものとして定義できる。 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}$ $F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ $G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

\Phi :\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(-,G-)

。

これは一対一の族を指定する。

\Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)

すべてのオブジェクトおよびに対して。 $X\in {\mathcal {C}}$ $Y\in {\mathcal {D}}$

この場合、はの左随伴であり、はの右随伴です。 $F$ $G$ $G$ $F$

この定義は、普遍射の定義よりも充足証明が困難であり、余単位元定義よりも直接的な含意が少ないという点で、論理的な妥協点である。明らかな対称性を持つため、他の定義間の足掛かりとして有用である。

を自然同型として解釈するためには、とを関数として認識する必要があります。実際、これらはどちらもから（集合の圏）への双関数です。詳細については、 hom関数に関する記事を参照してください。簡潔に言えば、の自然性とは、のすべての射とのすべての射に対して、次の図がとが可換であることを意味します。 $\Phi$ ${\text{hom}}_{\mathcal {C}}(F-,-)$ ${\text{hom}}_{\mathcal {D}}(-,G-)$ ${\mathcal {D}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}$ $\mathbf {Set}$ $\Phi$ $f:X\to X'$ ${\mathcal {C}}$ $g:Y'\to Y$ ${\mathcal {D}}$

この図の縦矢印は合成によって誘導されるものです。正式には、それぞれが相似であるとき、はによって与えられます。 ${\text{Hom}}(Fg,f):{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY',X')$ $h\mapsto f\circ h\circ Fg$ $h\in {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X).$ ${\text{Hom}}(g,Gf)$

counit-unitによる定義

2つのカテゴリと間の随伴を定義する3番目の方法は、 2つの関数と2つの自然変換から構成される。 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}$ $F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ $G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}

それぞれ共単位と随伴単位（普遍代数の用語）と呼ばれ、

F\xrightarrow {\overset {}{\;F\eta \;}} FGF\xrightarrow {\overset {}{\;\varepsilon F\,}} F

G\xrightarrow {\overset {}{\;\eta G\;}} GFG\xrightarrow {\overset {}{\;G\varepsilon \,}} G

$はそれぞれF$ と $G$ 上の恒等射とである。 $1_{F}$ $1_{G}$

このような状況では、 $Fは$ $G$ の左随伴であり 、 $G は$ $F$ の右随伴であるとされ、この関係は、または単にと書くことで示される場合があります。 $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ $F\dashv G$

方程式の形で表すと、上記の条件は共単位-単位方程式となる。 $(\varepsilon ,\eta )$

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

これは、それぞれについて $X\in {\mathcal {C}}$ $Y\in {\mathcal {D}},$

{\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}

。

はカテゴリ上の恒等写像を表し、は写像 $F$ からそれ自身への恒等写像を表し、はオブジェクト $1_{\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ $1_{F}$ $1_{FY}$ $FY.$

これらの方程式は、随伴関数に関する証明を代数的操作に還元するのに役立ちます。これらは三角形恒等式と呼ばれることもありますが、対応する弦図の出現からジグザグ方程式と呼ばれることもあります。これらを覚える方法は、まず無意味な方程式を書き、次に合成を定義する2つの簡単な方法のいずれかで $F$ または $G$ を埋めていくことです。 $1=\varepsilon \circ \eta$

注：ここでの余単位射における接頭辞「co」の使用は、極限と余極限の用語法と一致していません。余極限は開始特性を満たすのに対し、余単位射は終了特性を満たすため、これは極限と単位射の双対関係にも当てはまります。ここでの単位射という用語は、モナド理論から借用したもので、単位元 $1 を$ モノイドに挿入するようなものです。

歴史

随伴関手という概念は、1958年にダニエル・カンによって導入された^。[5] 圏論の多くの概念と同様に、これは当時計算に特化されていたホモロジー代数の必要から提案された。この主題を整理整頓し体系的に提示しようとした者は、次のような関係に気づいたであろう。

hom( F ( X ), Y ) = hom( X , G ( Y ))

アーベル群のカテゴリーにおいて、Fは関数（つまり、Aとのテンソル積をとる）、Gは関数 hom( A ,–) でした（これは現在、テンソル-hom 随伴作用として知られています）。等号の使用は表記法の乱用です。これらの 2 つの群は実際には同一ではありませんが、自然に識別する方法があります。第 1 に、これらがX × AからYへの双線型写像の 2 つの代替記述であるということから、自然であるとわかります。ただし、これはテンソル積の場合に特有のことです。カテゴリー理論では、一対一の「自然さ」は、自然同型の概念に含まれます。 $-\otimes A$

例

無料グループ

自由群の構築は、一般的かつ啓発的な例です。

F : Set → Grp を各集合YにYの元によって生成される自由群を割り当てる関手とし、G : Grp → Setを各群Xにその基礎集合を割り当てる忘却関手とする。このとき、 FはGの左随伴となる。

初期射影。: 各集合Yに対し、集合GFY はYによって生成される自由群FYの基礎集合に等しい。を「生成子の包含」によって与えられる集合写像とする。これはYからGへの初期射である。なぜなら、 Yからある群Wの基礎集合GWへの任意の集合写像は、FYからWへの唯一の群準同型を介して因数分解されるからである。これはまさにY 上の自由群の普遍性である。 $\eta _{Y}:Y\to GFY$ $\eta _{Y}:Y\to GFY$

末端射影。: 各群Xに対し、群FGXはXの元GXによって自由に生成される自由群である。FGXの生成元を、対応するXの元に写す群準同型写像をとすると、これは自由群の普遍性によって存在する。すると、それぞれはFからXへの終端写像となる。なぜなら、自由群FZからXへの任意の群準同型写像は、 ZからGXへの一意の集合写像を介して因数分解されるからである。これは、 ( F , G ) が随伴対であることを意味する。 $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ $(GX,\varepsilon _{X})$ $\varepsilon _{X}:FGX\to X$

Hom-set 付加。: 自由群FYから群Xへの群準同型写像は、集合Yから集合GXへの写像に正確に対応する。すなわち、 FYからXへの各準同型写像は、その生成元への作用によって完全に決定される。これは、自由群の普遍性を再述したものである。この対応が自然変換であること、すなわち ( F , G )のホム集合随伴であることは直接検証できる。

コユニット-ユニット付加。: ε と η が自然であることは直接検証することもできます。そして、それらが共単位-単位付加を形成することを直接検証するには、次のようにします。 $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$

最初の余単位-単位方程式

1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta

それぞれの集合 Yについて、

FY\xrightarrow {\overset {}{\;F(\eta _{Y})\;}} FGFY\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,} FY

は恒等写像であるべきである。中間群FGFYは、自由群FYの語によって自由に生成される自由群である。（これらの語は、独立生成子であることを示すために括弧で囲まれていると考えてください。）矢印は、FYからFGFYへの群準同型写像であり、 FYの各生成子y を、対応する長さ1の語 ( y ) をFGFYの生成子として写像する。矢印は、FGFYからFYへの群準同型写像であり、各生成子を対応するFYの語に写像する（つまり、この写像は「括弧を落としている」）。これらの写像の合成は、まさにFY上の恒等写像である。

F(\eta _{Y})

\varepsilon _{FY}

2番目の余単位-単位方程式

1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G

それぞれのグループXの構成は

GX\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;} GFGX\xrightarrow {\overset {}{\;G(\varepsilon _{X})\,}} GX

は恒等写像であるべきである。中間集合GFGXはFGXの基底集合に過ぎない。矢印は、集合GXから集合GFGXへの「生成元包含」写像である。矢印はGFGXからGXへの写像であり、これはFGXの各生成元を対応するXの元に写す（「括弧を落とす」）群準同型写像の基礎となっている。これらの写像の合成は、まさにGX上の恒等写像である。

\eta _{GX}

G(\varepsilon _{X})

自由構築と忘却関数

自由対象はすべて、忘却関手（forgetful function）の左随伴関数の例であり、忘却関手は代数対象にその基礎集合を割り当てる。これらの代数的自由関手は、上記の自由群の状況の詳細な説明と概ね同じ記述を持つ。

対角関数と極限

積、ファイバー積、イコライザー、核はすべて、極限の圏的概念の例です。任意の極限関手は、対応する対角関手の右随伴であり（圏が問題の極限の型を持つ場合）、随伴の余単位は極限対象（つまり、関手圏における極限上の対角関手）からの定義写像を提供します。以下に具体的な例を示します。

積Π : Grp ² → Grp を各ペア ( X ₁、X ₂ ) に積群X ₁ × X ₂を割り当てる関手とし、 Δ : Grp → Grp ²をすべての群Xに積カテゴリGrp ²のペア ( X、X )を割り当てる対角関手とします。積群の普遍特性は、 Π が Δ の右随伴であることを示しています。この随伴のコユニットは、極限を定義するX ₁ × X _{2から X}₁およびX ₂への射影マップの定義ペアであり、ユニットは群 X が X × X に対角的に含まれること( xから (x,x) への写像) です。

集合の直積、環の積、位相空間の積なども同じパターンに従います。また、 2つ以上の因子にも簡単に拡張できます。より一般的には、任意の種類の極限は対角関数の右随伴です。

核。アーベル群の準同型のカテゴリDを考えます。 f ₁ : A ₁ → B ₁とf ₂ : A ₂ → B _2がDの2つのオブジェクトである場合、 f _1からf ₂への射は、g _B f ₁ = f ₂g _Aとなる射のペア ( g _A、g _B ) です。G : D → Ab を各準同型に核を割り当てる関数とし、F : Ab → Dを群Aを準同型A → 0 に写す関数とします。するとGはFの右随伴となり、核の普遍性が表現されます。この随伴のコユニットは準同型の核を準同型のドメインに定義的に埋め込むことであり、ユニットは群Aを準同型A → 0の核と同一視する射です。

この例を適切に変形すると、ベクトル空間と加群の核関数が右随伴であることも示されます。同様に、アーベル群、ベクトル空間、加群の余核関数が左随伴であることが示せます。

余極限と対角関数

余積、ファイバー付き余積、余等化子、余核はすべて、余極限という圏論的概念の例です。任意の余極限関手は、対応する対角関手の左随伴であり（ただし、その圏が当該の余極限の型を持つ場合）、随伴の単位元が余極限オブジェクトへの定義写像を提供します。以下に具体的な例をいくつか示します。

余積。F : Ab ² → Ab がアーベル群のすべてのペア ( X ₁、X _{2 ) にそれらの}直和を割り当て、G : Ab → Ab ²がすべてのアーベル群Yにペア ( Y、Y )を割り当てる関数である場合、FはGの左随伴であり、これも直和の普遍性の結果です。この随伴ペアの単位は、X ₁およびX _{2から直和への包含写像の定義ペアであり、余単位は (}X、X )の直和からXに戻す加法写像です（直和の元 ( a、b ) をXの元a + bに渡します）。

類似の例としては、ベクトル空間と加群の直和、群の自由積、集合の非結合和が挙げられます。

その他の例

代数

rngに恒等元を付加する。 この例は上記の動機付けのセクションで説明しました。rng Rが与えられた場合、 R x Zをとり、Z双線型積を (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) と定義することで、乗法的な恒等元を付加できます。これは、基となる rng に環を渡す関手の左随伴関数を構築します。
半群に恒等元を随伴させる。同様に、半群Sが与えられた場合、素和S {1}をとり、その上に二項演算を定義してS上の演算を拡張し、1 が恒等元となるようにすることで、恒等元を随伴させてモノイドを得ることができる。この構成により、モノイドを基底半群に随伴させる関手の左随伴となる関手が得られる。 $\sqcup$
環拡大．RとS が環であり、ρ : R → Sが環準同型であるとする。このとき、S は（左）R -加群とみなすことができ、Sとのテンソル積は関数F : R - Mod → S - Modを与える。このとき、Fは忘却関数G : S - Mod → R - Modの左随伴となる。
テンソル積。Rが環でMが右R加群ならば、 Mとのテンソル積は関数F : R - Mod → Abを与える。任意のアーベル群Aに対してG ( A ) = hom_Z ( M , A )で定義される関数G : Ab → R - Modは、 Fの右随伴関数である。
モノイドと群から環へ。積分モノイド環の構築は、モノイドから環への関数を与える。この関数は、与えられた環にその基となる乗法モノイドを関連付ける関数の左随伴である。同様に、積分群環の構築は、群から環への関数を与え、これは与えられた環に単位群を割り当てる関数の左随伴である。また、体 Kから始めて、環の圏ではなくK-代数の圏を考えることで、 K上のモノイド環と群環を得ることもできる。
分数体。入射射を持つ整域の圏Dom _{mを考える。体からの忘却関手}Field → Dom _mは左随伴関数を持つ。つまり、あらゆる整域に分数体を割り当てる。
多項式環。Ring _*を単位元を持つ尖端可換環の圏とする（A が環であり、a ∈ A であり、射が区別された元を保存する場合の対 (A,a)）。忘却関手 G: Ring _* → Ring は左随伴関数を持つ。これは、すべての環 R に対 (R[x],x) を割り当てる。ここで、R[x] はR を係数とする多項式環である。
アーベル化。アーベル群の圏から群の圏への包含関手G : Ab → Grpを考える。これはアーベル化と呼ばれる左随伴関数を持ち、任意の群Gに商群G ^ab = G /[ G , G ]を割り当てる。
グロタンディーク群。K理論では、出発点は位相空間上のベクトル束のカテゴリが直和の下で可換モノイド構造を持つことを観察することです。各バンドル（または同値類）の加法的な逆を正式に追加することにより、このモノイドからアーベル群、グロタンディーク群を作成できます。あるいは、各グループに対して基礎となるモノイド（逆を無視）を取る関数が左随伴を持つことを観察できます。これは、上記の第3セクションの議論に沿った、一度限りの構成です。つまり、負の数の構成を模倣できますが、存在定理という別の選択肢があります。有限代数構造の場合、存在自体は普遍代数、またはモデル理論に関連付けることができます。当然、カテゴリ理論に適合した証明もあります。
群の表現論におけるフロベニウスの相互性：誘導表現を参照。この例は、一般理論を約半世紀も先取りしていた。

トポロジー

左随伴関数と右随伴関数を持つ関数。Gを位相空間から集合への関数とし、任意の位相空間にその基底集合を関連付ける（位相は考慮しない）。Gは左随伴関数Fを持ち、集合Y上の離散空間を形成し、右随伴関数Hを持ち、 Y上の自明な位相を形成します。
サスペンションとループ空間。位相空間 XとY が与えられたとき、 XのサスペンションSXからYへの写像のホモトピー類の空間 [ SX , Y ]は、 Xから Yのループ空間Ω Yへの写像のホモトピー類の空間 [ X , Ω Y ] と自然に同型である。したがって、サスペンション関手はホモトピー圏においてループ空間関手の左随伴であり、これはホモトピー理論における重要な事実である。
ストーン＝チェフのコンパクト化。KHausをコンパクト・ハウスドルフ空間の圏とし、G : KHaus → Topを位相空間の圏への包含関手とする。すると、Gは左随伴関数F : Top → KHaus、すなわちストーン＝チェフのコンパクト化を持つ。この随伴対の単位元は、任意の位相空間Xからそのストーン＝チェフのコンパクト化への連続写像を与える。
層の順像と逆像。位相空間間の連続写像 f : X → Yはすべて、 X上の（集合、アーベル群、環などの）層の圏からY上の対応する層の圏への関数f _∗（順像関数）を誘導します。また、Y上のアーベル群の層の圏からX上のアーベル群の層の圏への関数f ⁻¹（逆像関数）も誘導します。f ⁻¹はf _∗の左随伴関数です。ここでより微妙な点は、連接層の左随伴関数は、（集合の）層の左随伴関数とは異なるということです。
ソバー化。ストーン双対性に関する記事では、位相空間の圏とソバー空間の圏の間の随伴、すなわちソバー化について説明しています。注目すべきことに、この記事には、無意味位相幾何学で利用される、ソバー空間と空間的場所の有名な双対性につながる別の随伴についても詳細な説明が含まれています。

ポセット

あらゆる半順序集合は、圏として見ることができます（この場合、半順序集合の元は圏の対象となり、x ≤ yの場合にのみ、xからyへの単一の射が存在します）。2つの半順序集合間の随伴関数のペアは、ガロア接続（または、反変の場合は反トーン・ガロア接続）と呼ばれます。いくつかの例については、その記事を参照してください。もちろん、ガロア理論の例は代表的な例です。任意のガロア接続は、対応する閉元間の閉包演算子と、逆順序保存一対一写像を生み出します。

ガロア群の場合と同様に、真の関心はしばしば双対性（すなわち反音位数同型）への対応を洗練させることにある。カプランスキーによるこの方向でのガロア理論の扱いは、ここでの一般構造の認識に影響を与えた。

半順序の場合には、付加定義がかなり顕著に崩れますが、いくつかのテーマを提供できます。

付加は双対性や同型性ではないかもしれないが、その地位に昇格する候補である。
閉包演算子は、対応するモナドとして、付加物の存在を示すことができる（クラトフスキー閉包公理を参照）。
ウィリアム・ローヴェア^[6]の非常に一般的なコメントは、統語論と意味論は随伴であるというものである。Cをすべての論理理論（公理化）の集合とし、Dをすべての数学的構造の集合の冪集合とする。Cの理論Tについて、公理Tを満たすすべての構造の集合をG ( T )とする。数学的構造の集合Sについて、Sの最小の公理化をF ( S )とする。すると、 F ( S )が論理的にTを含意する場合に限り、SはG ( T )のサブセットであると言える。つまり、「意味関数」Gは「統語関数」Fに右随伴である。
除算は（一般的には）乗算の逆を行う試みですが、これが不可能な状況では、代わりに随伴を構築しようとすることがよくあります。イデアル商は環イデアルによる乗算に随伴し、命題論理における含意は論理積に随伴します。

カテゴリー理論

同値性．F : D → Cが圏の同値性ならば，逆同値性G : C → Dが存在し，二つの関手FとGは随伴対を形成する．この場合，単位元と余単位元は自然同型である．η : id → GFと ε : GF → id が自然同型ならば， (η, ε') と (η', ε) がFとGの余単位元対となるような一意の自然同型 ε' : GF → id と η' : id → GF が存在する．これらは
$\varepsilon '=\varepsilon \circ (F\eta ^{-1}G)\circ (FG\varepsilon ^{-1})$

$\eta '=(GF\eta ^{-1})\circ (G\varepsilon ^{-1}F)\circ \eta$
一連の随伴関係。あるカテゴリにその連結成分の集合を割り当てる関手π ₀は、ある集合にその集合上の離散カテゴリを割り当てる関手Dの左随伴関係にある。さらに、 Dは各カテゴリにそのオブジェクトの集合を割り当てるオブジェクト関手Uの左随伴関係にあり、最後にUは各集合にその集合上の非離散カテゴリ^{[7]を割り当てる}Aの左随伴関係にある。
指数関数的対象。直積閉圏において、 -× Aで与えられる自己関数C → Cは右随伴関数 - ^Aを持つ。この対はしばしばカリー化および非カリー化と呼ばれる。多くの特殊な場合において、これらは連続であり、同相写像を形成する。

カテゴリカルロジック

量化。が何らかの性質を表す単項述語である場合、十分に強い集合論は、その性質を満たす項の集合の存在を証明できる。真部分集合とそれに関連するの注入は、より厳密に制限された性質を表す述語によって特徴付けられる。 $\phi _{Y}$ $Y=\{y\mid \phi _{Y}(y)\}$ $T\subset Y$ $T$ $Y$ $\phi _{T}(y)=\phi _{Y}(y)\land \varphi (y)$

述語論理における量指定子の役割は、命題を形成することと、場合によってはより多くの変数で閉じた式によって複雑な述語を表現することである。例えば、ソートとという2つの開いた変数を持つ述語を考えてみよう。量指定子を用いて閉じた式を用いることで、以下の集合を形成することができる。

\psi _{f}

X

Y

X

\{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}

のすべての要素のうち、それと-関連し、それ自体が性質によって特徴付けられる要素が存在するもの。集合論における2つの集合の積のような演算は、述語の連言に直接対応する。トポス理論のサブフィールドである圏論的論理では、量化子は引き戻し関手の随伴関数と同一視される。このような実現は、集合論を用いた命題論理の議論と類似しているが、一般的な定義はより豊かな論理の範囲をもたらす。

y

Y

x

\psi _{f}

\phi _{S}

\cap

\land

そこで、プルバックを持つ圏の対象を考えてみましょう。任意の射は関手を誘導します

Y

f:X\to Y

f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\longrightarrow {\text{Sub}}(X)

部分オブジェクトの前置順序であるカテゴリ上の。これはの部分オブジェクト（技術的にはの単射クラス）をプルバックに写像する。この関数が左または右の随伴関数を持つ場合、それらはそれぞれおよびと呼ばれる。^[8]どちらもからへ写像する。非常に大まかに言えば、を介して表現される関係を量化する定義域が与えられると、関数/量化子はに閉じ、それによって指定されたの部分集合を返す。

T

Y

T\to Y

X\times _{Y}T

\exists _{f}

\forall _{f}

{\text{Sub}}(X)

{\text{Sub}}(Y)

S\subset X

f

X

X\times _{Y}T

Y

例：集合と関数の圏において、標準的な部分対象は部分集合（あるいは、その標準的な射影）である。に沿った部分集合の射影のへの引き戻しは、についてすべてを知っている最大の集合とへのの射影として特徴付けられる。したがって、は（と一対一に）逆像となる。

\operatorname {Set}

f^{*}T=X\times _{Y}T

T

Y

f

f

T

Y

f^{-1}[T]\subseteq X

について、左随伴関数を計算してみましょう。これは次のように定義されます。

S\subseteq X

{\operatorname {Hom} }(\exists _{f}S,T)\cong {\operatorname {Hom} }(S,f^{*}T),

ここで言うのは

\exists _{f}S\subseteq T\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]

。

を考えてみましょう。わかります。逆に、に対しても成り立つなら、明らかにです。ですからが成り立ちます。逆像関数の左随伴関数は、直接像によって与えられると結論づけられます。この結果の特徴づけは、より論理的な解釈に合致しています。の像は、が空でないの完全な集合です。これは、の補集合に含まれるものを正確に無視するため有効です。ですから

f[S]\subseteq T

S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]

x\in S

x\in f^{-1}[T]

f(x)\in T

S\subseteq f^{-1}[T]

f[S]\subseteq T

f^{*}

S

\exists _{f}

y

f^{-1}[\{y\}]\cap S

y\in Y

f[S]

\exists _{f}S=\{y\in Y\mid \exists (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}=f[S].

これを私たちの動機に例えてみましょう。

\{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}

逆像関数の右随伴関数は（ここでは計算せずに）次のように与えられる。

\forall _{f}S=\{y\in Y\mid \forall (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}.

の部分集合は、の逆像がに完全に含まれるという性質を持つの完全な集合として特徴付けられます。集合を決定する述語は、がに置き換えられていることを除いて、上記と同じです。

\forall _{f}S

Y

y

\{y\}

f

S

\exists

\forall

powersetも参照してください。

確率

確率における 2 つの事実は、付加物として理解することができます。つまり、期待値はアフィン変換と交換可能であり、期待値は、ある意味では、実数上の分布の実数値近似値を見つける問題に対する最善の解であるということです。

に基づくカテゴリを定義する。ここで、オブジェクトは実数、射は「点において評価されるアフィン関数」である。つまり、任意のアフィン関数と任意の実数に対して、射を定義する。 $\mathbb {R}$ $f(x)=ax+b$ $r$ $(r,f):r\to f(r)$

に基づくカテゴリ、すなわち有限期待値を持つにおける確率分布の集合を定義する。における射を「分布において評価されるアフィン関数」と定義する。つまり、任意のアフィン関数と任意のに対して、射を定義する。 $M(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $M(\mathbb {R} )$ $f(x)=ax+b$ $\mu \in M(\mathbb {R} )$ $(\mu ,f):\mu \to \mu \circ f^{-1}$

すると、ディラックのデルタ測度は関数を定義し、期待値は別の関数を定義し、それらは随伴となります。(やや当惑させるかもしれませんが、は「忘却性」があり「自由」であるにもかかわらず、は左随伴です。) $\delta :x\mapsto \delta _{x}$ $\mathbb {E} :\mu \mapsto \mathbb {E} [\mu ]$ $\mathbb {E} \dashv \delta$ $\mathbb {E}$ $\mathbb {E}$ $\delta$

完全な補助

したがって、すべての随伴作用素には多数の関手と自然変換が関連付けられており、残りを決定するにはほんの一部だけで十分です。

カテゴリーCとDの間の付加は、

左随伴関数と呼ばれる関数F : D → C
右随伴関数と呼ばれる関数G : C → D
自然同型Φ : hom _C ( F –,–) → hom _D (–, G –)
自然変換ε : FG → 1 _Cはコユニットと呼ばれる
自然変換η:1D _→ GFは単位と呼ばれる

X がCの任意のオブジェクトを表し、Y がDの任意のオブジェクトを表す同等の定式化は次のとおりです。

すべてのC射f : FY → Xに対して、以下の図が可換となる唯一のD射 Φ _{Y , X} ( f ) = g : Y → GXが存在し、すべてのD射g : Y → GXに対して、以下の図が可換となる唯一のC射 Φ ⁻¹_{Y , X} ( g ) = f : FY → XがCに存在します。

この主張から次のことが分かります。

変換ε、η、Φは次の式で関係付けられる。

{\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}

変換 ε 、 η は、単位間の方程式を満たします。

{\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}

各対（GX、εX _）はCにおけるFからXへの終端射である。
各ペア（FY、 η _Y）は、DにおけるYからGへの初期射である。

特に、上記の式は、Φ、ε、η を3つのうちのいずれか1つを用いて定義することを可能にする。しかし、随伴関数FとGだけでは、一般に随伴関係を決定するのに十分ではない。これらの状況の同値性は以下に示す。

普遍射はホム集合の随伴を誘導する

右随伴関数G : C → D ; が与えられた場合、初期射の意味で、次の手順を実行することで誘導ホムセット随伴を構築できます。

関数F : D → Cと自然変換ηを構築します。
- Dの各オブジェクトYについて、 YからGへの初期射 ( F ( Y ), η _Y )をη _Y : Y → G ( F ( Y ) )となるように選ぶ。F のオブジェクトへの写像と射の族ηが得られる。
- 各f : Y ₀ → Y ₁に対し、 ( F ( Y ₀ ), η _{Y ₀} ) が初期射であるので、η _{Y ₁} ∘ Fをη _{Y ₀}で因数分解し、 F ( f ) : F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ )を得る。これはFの射への写像である。
- その因数分解の可換図は自然変換の可換図を意味するので、η : 1 _D → G ∘ Fは自然変換です。
- その因数分解の一意性とGが関数であることは、射に対するFの写像が合成と同一性を保存することを意味します。
自然同型Φ:homC ₍ F − ,−)→homD ₍ −, G− )を構築する。
- Cの各オブジェクトX 、 Dの各オブジェクトYについて、 ( F ( Y )、η _Y ) が初期射である場合、 Φ _Y_、_Xは一対一であり、ここで Φ _Y_、_X ( f : F ( Y ) → X ) = G ( F ) ∘ η _Yです。
- ηが自然変換で、Gが関数者の場合、 Cの任意のオブジェクトX ₀、X _{1 、}Dの任意のオブジェクトY ₀、Y ₁、任意のx : X ₀ → X ₁、任意のy : Y ₁ → Y ₀について、 Φ _Y_₁_、_X_₁ ( x ∘ f ∘ F ( y )) = G( x ) ∘ G ( f ) ∘ G ( f ( y )) ∘ η _Y_₁ = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ η _Y_₀ ∘ y = G ( x ) ∘ Φ _Y_₀_、_X_₀ (∘) ∘ yが成り立ち、両方の議論において Φ は自然です。

同様の議論により、終端射から左随伴関数へのホム集合随伴を構築することができます。（多くの随伴対における右随伴は自明に定義された包含関数または忘却関数であるため、右随伴から始まる構成の方がやや一般的です。）

コユニット-ユニット付加はホムセット付加を誘導する

関数F : D → C、G : C → D、およびコユニット-ユニット随伴 (ε, η) : F ⊣ Gが与えられている場合、次の手順で自然変換 Φ : hom _C ( F −,−) → hom _D (−, G −) を見つけることで、hom セット随伴を構築できます。

各f : FY → Xと各g : Y → GXについて、定義する。

{\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}

η と ε が自然であるため、変換 Φ と Ψ は自然です。

Fが関数であること、εが自然であること、そして余単位元方程式1 _FY = ε _FY ∘ F (η _Y )を用いて、次式を得る。

{\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}

したがってΨΦは恒等変換です。

双対的に、Gが関数であること、ηが自然であること、そして余単位元方程式1 _GX = G (ε _X ) ∘ η _GXを用いて、次式を得る。

{\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}

したがって、ΦΨは恒等変換である。したがって、Φは逆変換Φ ⁻¹ = Ψと自然同型である。

ホムセット付加は上記のすべてを誘発する

関数F : D → C、G : C → D、およびhom集合随伴Φ:homC ₍ F − ,−)→homD ₍ −, G− )が与えられれば、コユニット-ユニット随伴を構築できる。

(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G

、

これは、以下の手順で、始端射と終端射の族を定義します。

C内の各Xについて、が恒等射であるとします。 $\varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)$ $1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)$
D内の各Yについて、が恒等写像であるとします。 $\eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)$ $1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)$
Φ の全単射性と自然性は、各 ( GX、 ε _X )がCにおけるFからXへの終端射であり、各 ( FY、η _Y ) がDにおけるYからGへの初期射であることを意味します。
Φ の自然性は ε とηの自然性を意味し、2つの式

{\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}

各f : FY → Xおよびg : Y → GX (これにより Φ が完全に決定されます)。

2番目の式でXにFY、gにηY = ΦY _、_FY₍ 1 _FY )を代入すると_、最初のコユニット-ユニット方程式が得られる。

1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})

、

最初の式でYにGX 、 fにε _X = Φ ⁻¹_{GX, X} (1 _GX )を代入すると、 2番目の余単位-単位方程式が得られる。

1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}

。

プロパティ

存在

すべての関手G : C → Dが左随伴を持つわけではない。Cが完備圏である場合、左随伴を持つ関手はピーター・J・フレイドの随伴関手定理によって特徴付けられる。Gが左随伴を持つための必要十分条件は、それが連続であり、かつある小ささの条件が満たされることである。すなわち、 Dの任意の対象Yに対して、射の族が存在する。

f _i : Y → G ( X _i )

ここで添え字iは、真クラスではなく集合 $I$ から来ており、すべての射

h : Y → G ( X )

次のように書くことができる

h = G ( t ) f _i

\circ

I内の $i$ と射影に対して

t : Xi → X∈C 。

同様のステートメントは、右随伴関数を持つ関数を特徴付けます。

重要な特殊ケースとして、局所的に提示可能なカテゴリがあります。が局所的に提示可能なカテゴリ間の関手である場合、 $F:C\to D$

Fが右随伴関数を持つ場合、かつその場合のみ、Fは小さな余極限を保存する。
Fが左随伴関数を持つ場合、かつFが小さな極限を保存し、アクセス可能な関数である場合に限る。

ユニークさ

関数F : D → C が2つの右随伴関数GとG ′を持つ場合、GとG ′は自然に同型となる。左随伴関数についても同様である。

逆に、FがGの左随伴であり、GがG ′と自然に同型であるならば、FもG ′の左随伴である。より一般に、〈F , G , ε, η 〉が随伴（余単位元 (ε,η) を持つ）であり、

σ : F → F ′

τ : G → G ′

が自然同型ならば、〈F ′ , G ′ , ε ′ , η ′〉は随伴関係となり、

{\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}

ここでは自然変換の垂直方向の合成を表し、は水平方向の合成を表します。 $\circ$ $\ast$

構成

随伴関係は自然に合成できる。具体的には、〈F , G , ε , η〉がCとDの間の随伴関係であり、〈F ′ , G ′ , ε ′ , η ′ 〉がDとEの間の随伴関係である場合、関手

F\circ F':E\rightarrow C

左付随

G'\circ G:C\to E.

より正確には、 FF′とG′ Gの間には、それぞれ合成によって与えられる単位と余単位を持つ付加関係がある。

{\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}

この新しい付加は、与えられた 2 つの付加の 合成と呼ばれます。

カテゴリCとそれ自体の間に恒等随伴を定義する自然な方法もあるため、オブジェクトがすべて小さなカテゴリであり、その射が随伴であるカテゴリを形成できます。

制限保存

随伴関数の最も重要な特性はその連続性です。左随伴関数を持つすべての関数（したがって右随伴関数）は連続です（つまり、カテゴリ理論的な意味での極限と交換します）。右随伴関数を持つすべての関数（したがって左随伴関数）は共連続です（つまり、余極限と交換します）。

数学においてよく使われる構成の多くは極限または余極限であるため、これは豊富な情報を提供します。例えば：

右随伴関数をオブジェクトの積に適用すると、画像の積が生成されます。
オブジェクトの余積に左随伴関数を適用すると、画像の余積が生成されます。
2 つのアーベルカテゴリ間のすべての右随伴関数は左正確である。
2 つのアーベルカテゴリ間のすべての左随伴関数は右正確です。

加法性

CとDが前加法カテゴリであり、F : D → Cが右随伴関数G : C → Dを持つ加法関数である場合、Gも加法関数であり、ホム集合一対一写像

\Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)

は、実際にはアーベル群の同型です。双対的に、G が左随伴群Fと加法的である場合、Fも加法的です。

さらに、CとDの両方が加法カテゴリ（つまり、すべての有限の二重積を持つ前加法カテゴリ）である場合、それらの間の任意の随伴関数のペアは自動的に加法になります。

人間関係

普遍的な構造

前述のように、圏CとDの間の随伴は、 Cの各オブジェクトとDの各オブジェクトに対して1つずつ、普遍射の族を生じます。逆に、 Dのすべてのオブジェクトから関手G : C → Dへの普遍射が存在する場合、G は左随伴を持ちます。

ただし、ユニバーサル構成は随伴関数よりも一般的です。ユニバーサル構成は最適化問題に似ています。この問題がDのすべてのオブジェクト(つまり、Cのすべてのオブジェクト)に対して解を持つ場合にのみ、随伴ペアが生成されます。

カテゴリーの同値性

関数F : D → Cがカテゴリの同値の半分である場合、それはカテゴリの随伴同値における左随伴、つまり、単位元と余単位元が同型である随伴です。

あらゆる随伴〈F , G , ε, η 〉は、特定のサブカテゴリの同値性を拡張する。C 1 を、C のオブジェクト X のうち ε X が同型となるものからなる C の完全なサブカテゴリと定義し、_D1を、Dの_{オブジェクト}Y のうち η Y が同型となるものからなる D の完全なサブカテゴリと定義する。すると、_FとGはD ₁とC 1に制限され、これらの_{サブカテゴリ}の逆_同値性が得られる。

つまり、ある意味では、随伴関数は「一般化された」逆関数と言える。ただし、Fの右逆関数（すなわち、 FGが 1 _Dと自然に同型となるような関数G ）は、必ずしもFの右（または左）随伴関数である必要はないことに注意されたい。随伴関数は、両側逆関数を一般化する。

モナド

あらゆる随伴作用〈F , G , ε, η 〉は、圏Dにおける関連するモナド〈T , η, μ 〉を生み出す。関手

T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}

はT = GFで与えられる。モナドの単位

\eta :1_{\mathcal {D}}\to T

は、単に付加と乗算変換の単位ηである。

\mu :T^{2}\to T\,

はμ = G ε Fで与えられます。二重に、トリプル < FG , ε, F η G > はCのコモナドを定義します。

あらゆるモナドは、上記のように、何らかの随伴関係から、実際には典型的には多数の随伴関係から生じます。アイレンバーグ・ムーア代数の圏とクライスリ圏と呼ばれる2つの構成は、与えられたモナドを生み出す随伴関係を構成する問題に対する2つの極端解です。

注記

^ abcdefg Leinster, Tom (2025-08-26)、「2 Adjoints」、Basic Category Theory、arXiv : 1612.09375 、 2025年9月2日取得
^ Leinster, Tom (2025-08-26)、「注釈 2.2.8」、Basic Category Theory、arXiv : 1612.09375 、 2025年9月2日閲覧
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^ Lawvere, F. William、「Adjointness in foundations」、Dialectica、1969年。現在では表記法が異なります。これらの講義ノートにはPeter Smithによるより簡単な紹介があり、この概念も引用された論文に由来するとされています。
^ 「非離散カテゴリ」nLab。
^ Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992) Sheaves in Geometry and Logic , Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 58ページ参照

参考文献

アダメク、イジー。ヘルリッヒ、ホルスト。ストレッカー、ジョージ E. (1990)。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ。猫の喜び(PDF)。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001。
ボルセウ、フランシス（1994年）『圏論代数ハンドブック：基礎圏論』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-44178-0。
マック・レーン、サンダース(1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 .大学院数学テキスト. 第5巻 (第2版). シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001。

外部リンク

YouTubeの Adjunctions プレイリスト– The Catsters のEugenia Chengによる Adjunctions に関する 7 つの短い講義
WildCatsはMathematica用の圏論パッケージです。オブジェクト、射、圏、関手、自然変換、普遍特性の操作と可視化が可能です。