超複素数

数学において、超複素数は、実数体上の有限次元単位代数の元を表す伝統的な用語である。19世紀後半の超複素数の研究は、現代の群表現論の基礎を形成している。

歴史

いくつかの超複素数系の格子と、それに対応する基底元によって生成される群の格子

19世紀には、四元数、テッサリン、コ四元数、双四元数、八元数と呼ばれる数体系が数学文献において確立された概念となり、実数と複素数を拡張しました。超複素数の概念はこれらすべてを包含し、それらを説明・分類するための学問分野を必要としました。

カタログ作成プロジェクトは、ベンジャミン・パースが初めて線型結合代数を発表した1872年に始まりました。そして、それは彼の息子チャールズ・サンダース・パースによって引き継がれました。^[1] 最も重要なことは、彼らが冪等元とべき等元を分類に有用な超複素数として特定したことです。ケーリー・ディクソン構成は、反転を使用して実数系から複素数、四元数、八元数を生成します。フルヴィッツとフロベニウスは超複雑性に制限を課す定理を証明しました。フルヴィッツの定理によれば、有限次元の実合成代数は実数、複素数、四元数、八元数であり、フロベニウスの定理によれば、唯一の実結合除算代数は、、、およびです。 1958年にJ.フランク・アダムスはH空間上のホップ不変量に関するさらなる一般化を発表しましたが、これによっても次元は1、2、4、または8に制限されます。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

超複素数システムを利用したのは行列代数でした。たとえば、2 x 2 の実行行列は余四元数と同型であることが分かりました。すぐに行列パラダイムは、行列とその演算によって表現される他のいくつかのシステムを説明し始めました。1907 年にジョセフ・ウェダーバーンは結合的超複素数を正方行列、つまり正方行列の代数の直積で表現できることを示しました。^{[3] [4]その日以来、}超複素数システムの好ましい用語は結合代数となり、これはウェダーバーンのエディンバラ大学での学位論文の題名に見られるように。ただし、八元数や双曲四元数のような非結合的なシステムは 別のタイプの超複素数を表すことに注意してください。

トーマス・ホーキンス^[5]が説明するように、超複素数はリー群と群の表現論を学ぶための足がかりとなる。例えば、1929年にはエミー・ネーターが「超複素量と表現論」について著述した。^[6] 1973年にはカンターとソロドヴニコフが超複素数に関する教科書を出版し、1989年に翻訳された。^{[7] [8]}

カレン・パーシャルは超複素数の全盛期について詳細な解説を著しており^{[9] 、その中には}テオドール・モリエン^[10]やエドゥアルト・スタディ^[11]といった数学者の役割も含まれています。現代代数学への移行については、バーテル・ファン・デル・ワールデンが代数学の歴史の中で30ページを割いて超複素数について論じています^[12]。

意味

カンターとソロドフニコフ（1989）は、超複素数の定義を、実数上の単位有限次元代数（ただし必ずしも結合性や可換性があるわけではない）の元として与えている。元は、基底の実数係数で生成される。可能な場合は、 となるように基底を選択するのが慣例となっている。超複素数への技術的なアプローチは、まず2次元の超複素数に注目することから始まる。 ${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}$ ${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$

2次元実代数

定理: ^{[7] : 14, 15  [13] [14]}同型性を除いて、実数上の2次元単位代数は正確に3つ存在する。すなわち、通常の複素数、分割複素数、双対数である。特に、実数上のすべての2次元単位代数は結合的かつ可換的である。

証明: 代数は2次元なので、基底{1, u }をとることができます。代数は平方閉環なので、非実数基底元uは 1 とuの線形結合に平方されます。

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}$

_{いくつかの}実数に対して0と1_です。

₁ uを引いて平方完成させ、2乗補数aを加えるという一般的な方法を用いると、²
₁ / 4を両辺に加えると

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

上式の左半分を と書き直し、新しい要素ũを代入すると、次式が得られる。 ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}}$ ${\textstyle {\tilde {u}}=u-{\frac {1}{2}}a_{1}}$

${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

次の 3 つのケースはこの実数値に依存します。

• 4 a ₀ = − a ₁ ²とすると、上の式はũ ² = 0となる。したがって、ũ は双対数の基底の冪零元と直接同一視できる。${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \{1,~\varepsilon \}}$
• 4 a ₀ > − a ₁ ²の場合、上式はũ ² > 0となる。これは、で正規化された基底を持つ分割複素数となる。 ũからjを得るには、 をũと同じ平方を持つ正の実数で割る必要がある。${\displaystyle \{1,~j\}}$ ${\displaystyle j^{2}=+1}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$
• 4 a ₀ < − a ₁ ²の場合、上式はũ ² < 0となる。これはで正規化された基底を持つ複素数となる。 ũからiを得るには、後者をũ ²の負の2乗となる正の実数で割る必要がある。${\displaystyle \{1,~i\}}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {-(a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2})}}}$

複素数は、体である唯一の二次代数です。1の非実数根を含む分割複素数などの分割代数は、冪等元と零因子も含むため、そのような代数は除算代数にはなり得ません。しかし、これらの性質は、例えば光円錐を零円錐で表現する場合など、 非常に意味を持つことがあります。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ ${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$

2004年版の『数学マガジン』では、2次元実代数は「一般化複素数」と称されている。^{[15] 4つの複素数の}複素比の考え方は、2次元実代数にも拡張できる。^[16]

高次元の例（複数の非実軸）

クリフォード代数

クリフォード代数は、二次形式を備えた基礎ベクトル空間上に生成される単位結合代数である。実数上では、これは対称スカラー積u ⋅ v = ⁠を定義できることと同値である。1/2⁠ ( uv + vu )は二次形式を直交化するために使用でき、次のような基底{ e ₁ , ..., e _k }を与えます。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}}$$

乗算による閉包を課すと、2 ^k個の要素 {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., e ₁ e ₂ , ..., e ₁ e ₂ e ₃ , ...} の基底によって張られる多重ベクトル空間が生成されます。これらは超複素数系の基底として解釈できます。基底 { e ₁ , ..., e _k } とは異なり、残りの基底要素は、2つの要素を交換するために何回の単純な交換を実行する必要があるかに応じて、必ずしも交換可能である必要はありません。したがって、 e ₁ e ₂ = − e ₂ e ₁ですが、e ₁ ( e ₂ e ₃ ) = +( e ₂ e ₃ ) e _{1 となります}。

e _i ² = 0となるような元e _iを含む基底（すなわち、二次形式が退化していた元の空間の方向）を除いて、残りのクリフォード代数はラベル Cl _{p , q} ( ) で識別することができ、代数はe _i ² = +1、qとなりe _i ² = −1となるp個の単純基底元から構築されることを示します。また、 はこれが実数上のクリフォード代数であることを示します。すなわち、代数の元の係数は実数になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

これらの代数は幾何代数と呼ばれ、体系的な集合を形成し、回転、位相、スピンを含む物理学の問題、特に古典力学、量子力学、電磁気学、相対性理論で非常に役立ちます。

例としては、複素数Cl _0,1 ( )、分割複素数Cl _1,0 ( )、四元数Cl _0,2 ( )、分割双四元数Cl _0,3 ( )、分割四元数Cl _1,1 ( ) ≈ Cl _2,0 ( ) (2 次元空間の自然代数)、Cl _3,0 ( ) (3 次元空間の自然代数、パウリ行列の代数)、および時空代数Cl _1,3 ( ) などがあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

代数Cl _{p , q} ( )の元は偶数部分代数Clを形成する。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ^[0]
_{q +1, p}代数 Cl _{q +1, p} ( ) の( ) は、より大きな代数における回転をパラメータ化するために使用できます。したがって、2次元空間における複素数と回転、3次元空間における四元数と回転、1+1次元空間における分割複素数と（双曲的）回転（ローレンツ変換）など、密接な関係があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

8 次元以上の Cayley-Dickson 代数と分割複素数構造は乗算に関して結合性がありませんが、Clifford 代数は任意の次元数で結合性を保持します。

1995年、イアン・R・ポーテウスはクリフォード代数に関する著書の中で「部分代数の認識」について論じた。彼の命題11.4は超複素数の場合を要約している。^[17]

Aを単位元1を持つ実結合代数とする。 すると

• 1は（実数の代数）を生成する。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Aの元e ₀によって生成される任意の2次元部分代数で、e ₀ ² = −1が（複素数代数）と同型であるもの、${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Aの元e ₀によって生成される任意の2次元部分代数で、e 0 ₂ ⁼ 1が²（成分ごとの積を持つ実数のペア、分割複素数代数と同型）と同型であるもの、${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Aの互いに反可換な元の集合 { e ₀ , e ₁ } によって生成される任意の4次元部分代数で、(四元数代数)と同型であるもの、${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Aの互いに反可換な元の集合 { e ₀ , e ₁ } によって生成される任意の4次元部分代数で、M ₂ ( ) (2 × 2実行行列、コクォータニオン) と同型であるもの、${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Aの互いに反可換な元の集合 { e ₀ , e ₁ , e ₂ } によって生成される任意の8次元部分代数で、²と同型（分割双四元数）であるもの、${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Aの互いに反可換な元の集合 { e ₀ , e ₁ , e ₂ } によって生成される任意の8次元部分代数で、M ₂ ( ) （2 × 2複素行列、双四元数、パウリ代数）と同型であるもの。${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ケイリー・ディクソン構成

四元数の乗算を表すケーリーQ8グラフ。i（赤）、j（緑）、k（青）の乗算の循環を示しています。SVGファイルでは、パスにマウスポインターを合わせるかクリックするとハイライト表示されます。

実数、複素数、四元数以外のすべてのクリフォード代数 Cl _{p , q} ( ) には、平方すると +1 になる非実数元が含まれるため、除算代数にはなり得ません。複素数を拡張する別のアプローチとして、ケーリー・ディクソン構成が採用されています。これにより、 を基数とする 2 ⁿ , n = 2, 3, 4, ...次元の数体系が生成されます。ここで、すべての非実数基底元は反交換であり、 を満たします。8 次元以上 ( n ≥ 3 ) では、これらの代数は非結合的です。16 次元以上 ( n ≥ 4 ) では、これらの代数は零因子も持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}}$ ${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$

この数列の最初の代数には、4次元四元数、8次元八元数、16次元十元数が含まれる。次元が増加するごとに代数的対称性は失われる。すなわち、四元数の乗算は可換ではなく、八元数の乗算は非結合的であり、十元数のノルムは乗法的ではない。十元数の次には、32次元三元数多元数（または32-ニオン）、64次元六元数多元数多元数（または64-ニオン）、128次元百元数多元数多元数（または128-ニオン）、256次元百元数多元数多元数多元数（または256-ニオン）、そして以下に示す表のように無限に続く^{。 [18]}

ケーリー・ディクソン構成は、いくつかの段階で追加の符号を挿入することで修正できる。これにより、合成代数の集合において、除算代数の代わりに「分割代数」が生成される。

を満たす基底を持つ分割複素数、${\displaystyle \{1,\,i_{1}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$

を満たす基底を持つ分割四元数、および${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$

を満たす基底を持つ分割八元数、${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.}$

複素数とは異なり、分割複素数は代数的に閉じておらず、さらに非自明な零因子と非自明なべき等元を含みます。四元数と同様に、分割四元数は可換ではありませんが、さらに冪零元を含み、2次元の正方行列と同型です。分割八元数は非結合的で、冪零元を含みます。

テンソル積

任意の 2 つの代数のテンソル積は別の代数であり、これを使用して超複素数系の例をさらに多く生成できます。

特に、複素数（実数上の代数として考えられます）とのテンソル積をとると、4 次元の双複素数 （テッサラインと同型）、8 次元の双四元数、および 16 次元の複素八元数が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$

もう一つの例は、２つの四元数代数（クリフォード代数と実数行列に同型）のテンソル積であり、相対論的物理学への応用につながる。^{[19] [20]}${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$ ${\displaystyle Cl_{3,1}\mathbb {(R)} }$ ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle M(4,\mathbb {R} )}$

より一般的には、（およびその部分代数）を「超四元数代数」と定義する。特に、 は四元数行列とその偶部分代数（ディラック代数）を与える。^{[21] [22]}${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes m}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 3}=M(4,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

その他の例

• 双複素数: 実数上の 4 次元ベクトル空間、複素数上の 2 次元、テッサラインと同型。
• 多重複素数：実数上の2 ⁿ次元ベクトル空間、複素数上の2 ^{n −1次元ベクトル空間}
• 合成代数：積と合成される二次形式を持つ代数

参照

• トーマス・カークマン
• ゲオルク・シェファーズ
• リチャード・ブラウアー
• 超複素解析

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

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• Study, E., 複素数系とその変換群理論への応用について(PDF)（英語訳）
• フロベニウス、G.、超複素量の理論(PDF)（英語訳）