分割八元数

数学において、分割八元数は実数上の8次元非結合代数である。標準八元数とは異なり、分割八元数は非零元を含み、それらは逆元ではない。また、それらの二次形式の符号も異なる。分割八元数は分割符号(4,4)を持つのに対し、八元数は正定符号(8,0)を持つ。

同型性を除き、八元数と分割八元数は、実数体上の唯一の2つの8次元合成代数である。また、これらは実数体上の唯一の2つの八元数代数でもある。分割八元数に類似した分割八元数代数は、任意の体上で定義できる。

意味

ケイリー・ディクソン構成

八元数と分割八元数は、ケイリー・ディクソン構成から、四元数の対の乗法を定義することで得られる。新たな虚数単位 ℓ を導入し、四元数の対( a , b ) をa + b ℓと書く。積は次式で定義される。^{[ 1 ]}

${\displaystyle (a+b\ell )(c+d\ell )=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+(da+b{\bar {c}})\ell }$

どこ

${\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}$

λを -1 に選ぶと八元数が得られます。代わりに +1 に選ぶと、分割八元数が得られます。分割四元数のケーリー・ディクソン倍加法によって分割八元数を得ることもできます。ここで、λ (±1) のどちらを選んでも、分割八元数が得られます。

掛け算表

分割された八元数の積を表す記憶法。

分割八元数の基底は集合 によって与えられます。 ${\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}$

すべての分割八元数は基底元の 線形結合として表すことができ、${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}$

実係数を持つ。 ${\displaystyle x_{a}}$

線形性により、分割八元数の乗算は次の乗算表によって完全に決定されます。

		乗数
		${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \ell}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$
被乗数	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \ell}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$
	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle -\ell i}$	${\displaystyle \ell}$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle \ell j}$
	${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle \ell}$	${\displaystyle -\ell i}$
	${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell}$
	${\displaystyle \ell}$	${\displaystyle \ell}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle -\ell}$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$
	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle -\ell}$	${\displaystyle -\ell i}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$
	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle -\ell}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle 1}$

右の図は、分割八元数の乗算表を表しており、 便利な記憶法です。この乗算表は、次のように定義される親八元数（480通りあるうちの1つ）から派生しています。

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}$

ここで、 はクロネッカーのデルタであり、は、のときに値を持つレヴィ・チヴィタ記号であり、次のとおりです。 ${\displaystyle \delta_{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}$

${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}$

スカラー要素と${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle i,j,k=1...7.}$

赤い矢印は、この掛け算表で分割八元数を作成する親の右下象限を否定することによって課される可能性のある方向反転を示しています。

共役、ノルム、逆

分割八元数xの共役は次のように与えられる。

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}$

八元数の場合と同じです。

xの二次形式は次のように与えられる。

${\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}$

この二次形式N ( x ) は、N ( x ) = 0となる非ゼロの分割八元数xが存在するため、等方性の二次形式です。 Nの場合、分割八元数はR上の 8 次元の擬似ユークリッド空間を形成し、二次形式のシグネチャを示すためにR ^4,4と表記されることもあります。

N ( x ) ≠ 0ならば、 xには（両側）逆数x ⁻¹があり、これは次のように表される。

${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}$

プロパティ

分割八元数は、八元数と同様に、非可換かつ非結合的である。また、八元数と同様に、二次形式Nが乗法的であるため、合成代数を形成する。つまり、

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}$

分割八元数はムーファン恒等式を満たすため、代替代数を形成する。したがって、アルティンの定理によれば、任意の2つの元によって生成される部分代数は結合的である。すべての可逆元（すなわち、N ( x ) ≠ 0となる元）の集合はムーファンループを形成する。

分割八元数の自己同型群は 14 次元のリー群であり、例外的な単純リー群G ₂の分割実数形式です。

ツォルンのベクトル行列代数

分割八元数は非結合的であるため、通常の行列では表現できません（行列の乗算は常に結合的です）。Zornは、行列の乗算の改良版を用いて、分割八元数をスカラーとベクトルの両方を含む「行列」として表現する方法を発見しました。^{[ 2 ]}具体的には、ベクトル行列を次の形式の2×2行列と定義します。 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}$

ここで、aとbは実数、vとwはR ³のベクトルである。これらの行列の乗法を次の規則で定義する。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}}$

ここで、· と × は通常の3次元ベクトルの内積と外積です。加法とスカラー乗算を通常通りに定義すると、このような行列全体の集合は、実数上の非結合的な単位8次元代数を形成し、ゾルンのベクトル行列代数と呼ばれます。

ベクトル行列の 「行列式」を次の規則で定義する。

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$ 。

この行列式は、合成規則を満たすツォルン代数の二次形式である。

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}$

ツォルンのベクトル行列代数は、実際には分割八元数の代数と同型である。八元数を次の形で 書くと、${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}$

ここで、 と は実数であり、vとw はR ³のベクトルとして扱われる純虚数四元数である。分割八元数からゾルン代数への同型性は次のように与えられる。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.}$

この同型性は、 以来、ノルムを保存します。 ${\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}$

アプリケーション

分割八元数は物理法則の記述に用いられます。例えば：

• 物理学におけるディラック方程式（自由スピン1/2粒子、例えば電子や陽子の運動方程式）は、ネイティブ分割八元数演算で表現することができます。^{[ 7 ]}
• 超対称量子力学はオクトニオン拡張を持っています。^{[ 8 ]}
• ゾルンに基づく分割八元数代数は、局所ゲージ対称SU(3)量子色力学のモデル化に使用できる。^{[ 9 ]}
• 半径の3倍のボールの上を滑らずに転がるボールの問題は、分割八元数を使って記述できるため、例外群G2の分割実数形を_その対称群として持ちます。 ^{[ 10 ]}

参考文献

1. Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras、158ページ、Universitext、Springer ISBN 0-387-95447-3MR  2014924
2. Max Zorn (1931) 「Alternativekörper undquadratische Systeme」、ハンブルク大学数学セミナー Abhandlungen aus dem Mathematischen 9(3/4): 395–402
3. Nathan Jacobson (1962) Lie Algebras、142ページ、Interscience Publishers。
4. シェーファー、リチャード・D. (1966). 『非結合代数入門』アカデミック・プレスpp.  52–6 . ISBN 0-486-68813-5。
5. ローウェル・J・ペイジ (1963)「ジョーダン代数」、AAアルバート編『現代代数研究』 144～186ページ、アメリカ数学協会 ：ゾルンのベクトル行列代数は180ページ
6. Arthur A. Sagle & Ralph E. Walde (1973)『リー群とリー代数入門』、199ページ、Academic Press
7. M. Gogberashvili (2006)「八元電気力学」、 Journal of Physics A 39: 7099-7104. doi : 10.1088/0305-4470/39/22/020
8. V. Dzhunushaliev (2008)「非結合性、超対称性、隠れた変数」、 Journal of Mathematical Physics 49: 042108 doi : 10.1063/1.2907868 ; arXiv : 0712.1647
9. B. Wolk, Adv. Appl. Clifford Algebras 27(4), 3225 (2017).
10. J. BaezとJ. Huerta、「G ₂と転がるボール」、Trans. Amer. Math. Soc. 366、5257-5293 (2014); arXiv : 1205.2447。

さらに読む

• R. Foot & GC Joshi (1990)「時空、超弦、そして分割合成代数の非標準的特徴」、Letters in Mathematical Physics 19: 65–71
• ハーヴェイ、F. リース (1990).スピノルとキャリブレーション. サンディエゴ: アカデミック・プレス. ISBN 0-12-329650-1。
• ナッシュ、パトリック・L（1990）「分割八元数代数の構造について」、Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi : 10.1007/BF02723550
• TA州スプリンガー。 FD フェルドカンプ (2000)。オクトニオン、ジョルダン代数、および例外群。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-66337-1。