実数上の恒等関数のグラフ

数学において、恒等関数（恒等関係、恒等写像、恒等変換とも呼ばれる）は、引数として使用された値を常に変更せずに返す関数です。つまり、fが恒等関数である場合、等式f ( x ) = xは、 fを適用できる すべてのxの値に対して真です。

定義

正式には、 Xが集合である場合、X上の恒等関数fは、 Xを定義域と余定義域とし、以下を満たす 関数として定義されます。

X内の   すべての要素xに対してf ( x ) = x。 [1]

言い換えれば、余域Xにおける関数値f ( x )は、常に定義域Xの入力元xと同じです。X上の恒等関数は明らかに単射関数であると同時に単射関数でもあります（その余域はその値域でもあります）。したがって、単射です。[2]

X上の恒等関数fは、しばしばid Xと表記されます。

集合論では、関数が特定の種類の二項関係として定義され、恒等関数は恒等関係、つまりXの対角線によって与えられます。[3]

代数的性質

f  : X → Yが任意の関数である場合、 f ∘ id X = f = id Y ∘ fとなります。ここで、「∘」は関数合成を表します。[4]特に、id X は、 XからXまでのすべての関数のモノイドの恒等元です（関数合成の下で）。

モノイドの単位元は一意であるため、[5] M上の単位元関数をこの単位元として定義することもできます。このような定義は、圏論における単位射の概念に一般化され、Mの自己準同型は関数である必要はありません。

性質

参照

参考文献

  1. ^ Knapp, Anthony W. (2006). Basic algebra . Springer. ISBN 978-0-8176-3248-9。
  2. ^ Mapa, Sadhan Kumar (2014年4月7日). Higher Algebra Abstract and Linear (11th ed.). Sarat Book House. p. 36. ISBN 978-93-80663-24-1。
  3. ^ Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society. 1974. p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3 …すると、M によって決定される対角集合は恒等関係である…
  4. ^ Nel, Louis (2016). Continuity Theory. Cham: Springer. p. 21. doi :10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3。
  5. ^ Rosales, JC; García-Sánchez, PA (1999). Finitely Generated Commutative Monoids. Nova Publishers. p. 1. ISBN 978-1-56072-670-8 元0は通常、単位元と呼ばれ、存在する場合は一意です。
  6. ^ Anton, Howard (2005)、『初等線形代数（応用版）』（第9版）、Wiley International
  7. ^ TS Shores (2007). 『応用線形代数と行列解析』。『学部数学テキスト』。Springer。ISBN   978-038-733-195-9。
  8. ^ D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). 『探究による数論』。『アメリカ数学協会教科書』。アメリカ数学協会。ISBN   978-0883857519。
  9. ^ アンダーソン、ジェームズ・W. (2007).双曲幾何学. シュプリンガー学部数学シリーズ (第2版、訂正印刷版). ロンドン: シュプリンガー. ISBN 978-1-85233-934-0。
  10. ^ Conover, Robert A. (2014-05-21). A First Course in Topology: An Introduction to Mathematical Thinking. Courier Corporation. p. 65. ISBN 978-0-486-78001-6。
  11. ^ Conferences, University of Michigan Engineering Summer (1968). Foundations of Information Systems Engineering.半群の単位元はべき等であることが分かります。