同型性

乗算のもとでの1 の 5乗根の群は、合成のもとでの正五角形の回転の群と同型です。

数学において、同型性とは、同じ型の2つの構造の間にある、構造を保持する写像または射であり、逆写像によって反転できるものです。2つの数学的構造の間に同型性が存在する場合、それらは同型であり、これはしばしば⁠ ⁠と表記されます。この言葉は、古代ギリシャ語のἴσος (isos) 「等しい」とμορφή (morphe) 「形、形状」に由来します。 $A\cong B$

同型性の興味深い点は、2つの同型オブジェクトが同じ特性（追加の構造やオブジェクトの名前などの追加情報は除く）を持つという事実にあります。したがって、同型構造は構造のみの観点からは区別できず、多くの場合同一視されます。数学用語では、2つのオブジェクトは同型性がある点において同一であると言います。同型構造を同一視できない一般的な例としては、その構造がより大きな構造の部分構造である場合が挙げられます。例えば、ベクトル空間の次元1の部分空間はすべて同型であり、同一視できません。

自己同型とは、ある構造からそれ自身への同型である。2つの構造間の同型は、 2つの構造間に同型が1つしか存在しない場合（普遍性の解の場合など）、または同型が他の同型よりも（ある意味で）はるかに自然である場合、標準同型（同型である標準写像）と呼ばれる。例えば、任意の素数 $p$ に対して、 $p$ 個の元を持つすべての体は標準同型であり、同型は一意である。同型定理は、一意ではない標準同型を与える。

同型性という用語は、主に代数構造と圏において用いられます。代数構造の場合、写像は準同型性と呼ばれ、準同型性が同型性を持つのは、それが全単射である場合のみです。

数学の様々な分野において、同型性は対象となる構造の種類に応じて専門的な名前で呼ばれています。例えば、

等長変換は距離空間の同型性です。
同相写像は位相空間の同型写像である。
微分同相写像は、微分構造（典型的には微分可能多様体）を備えた空間の同型写像です。
シンプレクティック同型写像は、シンプレクティック多様体の同型写像です。
順列は集合の自己同型です。
幾何学では、同型性と自己同型性は、しばしば変換と呼ばれます。たとえば、剛体変換、アフィン変換、射影変換などです。

カテゴリー理論は、構造間のマッピングの概念を形式化したものと考えることができ、基本的な考え方のさまざまな側面へのアプローチを統一するために使用できる言語を提供します。

例

対数と指数

を正の実数の乗法群とし、を実数の加法群とします。 $\mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb {R}$

対数関数はすべてのに対してを満たすので、群準同型です。指数関数はすべてのに対してを満たすので、これも準同型です。 $\log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\log(xy)=\log x+\log y$ $x,y\in \mathbb {R} ^{+},$ $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ $x,y\in \mathbb {R} ,$

恒等式とは、とが互いに逆であることを示しています。したがって、は互いに逆である群同型です。 $\log \exp x=x$ $\exp \log y=y$ $\log$ $\exp$ $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}\quad {\text{and}}\quad \log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$

この関数は、正の実数の乗算を実数の加算に変換する同型関数です。この機能により、定規と対数表、あるいは対数目盛り付きの計算尺を用いて実数の乗算を行うことができます。 $\log$

6を法とする整数

6を法とする加算と乗算を行う 0 から 5 までの整数の環を考えます。また、最初の要素が 2 を法とする整数で、2 番目の要素が 3 を法とする整数である順序付きペアの環を考えます。この場合、2 と 3 を法とする成分ごとの加算と乗算が行われます。 $\mathbb {Z} _{6}$ $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$

これらの環は次の写像の下で同型である。あるいは一般に ${\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}$ $(a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.$

例えば、他のシステムでは次のように翻訳されます $(1,1)+(1,0)=(0,1),$ $1+3=4.$

これは、中国剰余定理の特殊なケースであり、 ⁠ ⁠ $m$ と⁠ ⁠が $n$ 互いに素な整数である場合、 ⁠ ⁠ $mn$ を法とする整数の環は、⁠ ⁠ $m$ を法とする整数と⁠ ⁠ $n$ を法とする整数の直積に同型であると主張します。

関係保存同型性

一方のオブジェクトが二項関係Rを持つ集合Xで構成され、もう一方のオブジェクトが二項関係Sを持つ集合Yで構成されている場合、 XからYへの同型性は次のような全単射関数である：^[1] $f:X\to Y$ $\operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {R} (u,v)$

S は、R がそうである場合に限り、反射的、非反射的、対称的、反対称的、非対称的、推移的、全的、三分的、半順序、全順序、整順序、厳密な弱順序、全前順序(弱順序)、同値関係、またはその他の特別なプロパティを持つ関係です。

たとえば、R が順序≤ で S が順序である場合、 XからYへの同型は、次を満たす全単射関数です。このような同型は、順序同型または (あまり一般的ではありませんが)同調同型と呼ばれます。 $\scriptstyle \sqsubseteq ,$ $f:X\to Y$ $f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ if and only if }}\quad u\leq v.$

ならば、これは関係保存自己同型です。 $X=Y,$

アプリケーション

代数学では、すべての代数構造に対して同型性が定義されています。より具体的に研究されているものもあり、例えば：

ベクトル空間間の線形同型。これらは可逆行列によって指定されます。
群間の群同型性、有限群の同型類の分類は未解決の問題である。
環間の環同型。
体同型は体間の環同型と同じであり、その研究、より具体的には体の自己同型の研究はガロア理論の重要な部分です。

代数構造の自己同型が群を形成するのと同様に、共通の構造を共有する2つの代数間の同型はヒープを形成します。特定の同型が2つの構造を識別できるようにすることで、このヒープは群になります。

数学的解析において、ラプラス変換は難しい微分方程式をより簡単な代数方程式に写像する同型です。

グラフ理論において、2つのグラフGとHの間の同型性は、Gの頂点からHの頂点への全単射写像fであり、Gの頂点uから頂点vへの辺が存在する場合とHの頂点uから頂点vへの辺が存在する場合に限り、その意味で「辺構造」が保持される。グラフ同型性を参照。 $f(u)$ $f(v)$

順序理論において、2つの半順序集合PとQの間の同型性は、 PからQへの全単射写像であり、Pの任意の元とに対して、 PがQより小さい場合のみ、かつQがQより小さいという意味で順序構造が保存される。例えば、is-a-factor-of関係で順序付けられた整数の集合{1,2,3,6}は、 can-donate-to関係で順序付けられた血液型の集合{ O , A , B , AB }と同型である。順序同型性を参照。 $f$ $x$ $y$ $x$ $y$ $f(x)$ $f(y)$

数学的分析において、2 つのヒルベルト空間間の同型性は、加算、スカラー乗算、および内積を保存する一対一の関係です。

論理的原子論の初期理論において、事実と真命題との間の形式的な関係は、バートランド・ラッセルとルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインによって同型であると理論化された。この考え方の例は、ラッセルの『数理哲学入門』に見ることができる。

サイバネティクスにおいて、グッド・レギュレータ定理、あるいはコナント・アシュビー定理は、「システムにおけるすべてのグッド・レギュレータは、そのシステムのモデルでなければならない」と述べられています。レギュレータが自己制御型か自己制御型かに関わらず、レギュレータとシステムの処理部分の間には同型性が必要です。

カテゴリー理論的見解

圏論では、圏 Cが与えられたとき、同型写像とは逆写像を持つ写像のことである。 $f:a\to b$ $g:b\to a,$ $fg=1_{b}$ $gf=1_{a}.$

2 つのカテゴリ $C$ と $D は$ 、互いに逆関数、つまり ( $D$ 上の恒等関数) と( $C$ 上の恒等関数)が存在する場合に同型です。 $F:C\to D$ $G:D\to C$ $FG=1_{D}$ $GF=1_{C}$

同型写像と全単射写像

位相空間のカテゴリや代数的対象のカテゴリ（群のカテゴリ、環のカテゴリ、加群のカテゴリなど）などの具体的カテゴリ（おおまかに言うと、対象が集合（追加の構造を持つ場合もある）であり、射が構造保存関数であるカテゴリ）では、同型は基礎集合上で全単射でなければなりません。代数的カテゴリ（具体的には、普遍代数の意味での多様体のカテゴリ）では、同型は基礎集合上で全単射である準同型と同じです。ただし、全単射射が必ずしも同型ではない具体的なカテゴリもあります（位相空間のカテゴリなど）。

同型性クラス

同型性の合成は同型性であり、恒等写像も同型性であり、同型性の逆写像も同型性であるため、2つの数学的対象が同型であるという関係は同値関係である。同型性によって与えられる同値類は、一般に同型類と呼ばれる。^[2]

例

同型クラスの例は数学に豊富にあります。

二つの集合が一対一であるとき、それらの集合は同型である。有限集合の同型類は、その集合に含まれる要素の数を表す非負整数で識別できる。
有限次元ベクトル空間の同型類は、その次元を表す非負の整数で識別できます。
有限単純群の分類は、すべての有限単純群の同型類を列挙します。
閉曲面の分類では、連結されたすべての閉曲面の同型類を列挙します。
順序数は、直感的には、整列集合の同型クラスに対応します (ただし、技術的な集合理論の問題が関係します)。
2 x 2実行行列M(2, R )の平面部分代数には3つの同型クラスがある。

ただし、オブジェクトの同型クラスによってそのオブジェクトに関する重要な情報が隠されている場合があります。

数学的構造が与えられた場合、2つの部分構造が同じ同型類に属することはよくあることです。しかし、それらが同一視されてしまうと、全体の構造にどのように含まれるかを研究することはできません。例えば、有限次元ベクトル空間では、同じ次元の部分空間はすべて同型ですが、それらの交差や和などを考慮するには、それらを区別する必要があります。
ホモトピー理論において、点における空間の基本群は、技術的には基点への依存性を強調するために表記されるが、が経路連結である場合は単にと簡略化されて表記されることが多い。これは、2 点間に経路が存在すると、一方のループをもう一方のループと同一視できるためである。しかし、がアーベルでない限り、この同型性は一意ではない。さらに、被覆空間の分類ではの特定の部分群を厳密に参照し、特に同型だが共役な部分群を区別するため、同型類の要素を単一の特徴のないオブジェクトに併合すると、理論によって提供される詳細度が大幅に低下する。 $X$ $p$ $\pi _{1}(X,p)$ $\pi _{1}(X)$ $X$ $\pi _{1}(X,p)$ $\pi _{1}(X,p)$

平等との関係

同型オブジェクトが等しいとみなせる場合もありますが、 等価性と同型性を区別する必要があります。^[3]等価性とは、2つのオブジェクトが同じであり、一方のオブジェクトについて真であるすべてのことが他方のオブジェクトについても真である状態です。一方、同型性は何らかの構造に関連しており、2つの同型オブジェクトは、この構造に関連する特性のみを共有します。

例えば、集合は等しい。これらは単に異なる表現であるに過ぎない。最初のものは内包的表現（集合構築記法）、2番目のものは外延的表現（明示的な列挙による）であり、同じ整数の部分集合である。対照的に、集合とは、同じ要素を持たないため等しくない。これらは集合としては同型だが、それらの間の同型には多くの選択肢（実際には6つ）がある。1つの同型は $A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}$ $\{4,5,6\}$ $\{1,2,3\}$

{\text{4}}\mapsto 1,{\text{5}}\mapsto 2,{\text{6}}\mapsto 3,

一方、もう1つは

{\text{4}}\mapsto 3,{\text{5}}\mapsto 2,{\text{6}}\mapsto 1,

そして、どの同型性も本質的に他の同型性よりも優れているわけではない。^{[注 1]}

また、整数と偶数は、順序付き集合およびアーベル群（加算用）としては同型ですが、一方が他方の適切な部分集合であるため、等しい集合と見なすことはできません。

一方、集合（またはその他の数学的対象）が、その要素の性質を考慮せずに、その性質のみによって規定される場合、それらはしばしば等しいとみなされます。これは、普遍的性質の解の場合に一般的に当てはまります。例えば、多項式環⁠ ⁠ $\mathbb {Z} [X,Y]$ 、⁠ ⁠ $\mathbb {Z} [Y,X]$ 、⁠ ⁠ $(\mathbb {Z} [X])[Y]$ は同じ普遍的性質を持つため、等しいとみなされます。

例えば、有理数は整数のペアの同値類として正式に定義されますが、有理数を集合（同値類）として考える人はいません。有理数の普遍的な性質は、本質的に、有理数は整数を含み、適切な部分体を含まない体を形成するということです。これらの性質を持つ 2 つの体が与えられた場合、それらの間には一意の体同型が存在します。これにより、一方の体のすべての性質を同型を通して他方の体に転送できるため、これら 2 つの体を識別できます。整数の商として表現できる実数は、実数の最小の部分体を形成します。したがって、この実数の部分体から、同値類によって定義される有理数への一意の同型が存在します。そのため、有理数は実数のサブセットの要素と同一視できます。ただし、状況によっては、この同一視が許可されない場合があります。たとえば、コンピュータ言語や型理論では、実数と有理数は異なる表現を持ち、この同一視を型変換に置き換える必要があります。

表記

2つのオブジェクトAとBが同型であることを示す最も一般的な表記法はであり、AをBに同型に写像する場合はとも書くことができます。ただし、文脈によっては、、、 = などの記号を使用して同型性を示す場合もあります。 $A\cong B$ $f:A\to B$ $f:A{\overset {\sim }{\to }}B$ $\simeq$ $\approx$