一対一

全単射関数f : X → Y。ただし、集合 X は {1, 2, 3, 4}、集合 Y は {A, B, C, D} である。例えば、f (1) = D である。

数学において、全単射（じっぷたんし） 、全単射関数、あるいは一対一対応とは、 2つの集合間の関数であり、第2の集合（余域）の各要素が第1の集合（定義域）のちょうど1つの要素の像となるような関数である。同様に、全単射とは、2つの集合間の関係であり、一方の集合の各要素が他方の集合のちょうど1つの要素と対になるような関係である。

関数が全単射であるとは、逆関数の場合である。つまり、関数が全単射であるとは、関数fの逆関数が存在し、その2つの関数を合成する2つの方法のそれぞれが恒等関数を生成する場合のみである。つまり、関数 f の各 に対して、関数 f の各 に対してである。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to X,}$ ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(g(y))=y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$

たとえば、2 を掛けると、整数から偶数への一対一の処理が定義され、その逆関数として 2 で割る処理が実行されます。

関数が全単射的であるためには、それが単射的（または一対一対応）である必要がある。単射的とは、余定理の各要素が定義域の要素から最大で1つしか写像されないことを意味する。また、全射的（または上へ）である必要がある。全単射的とは、余定理の各要素が定義域の要素から少なくとも1つ写像されることを意味する。「一対一対応」という用語は、単射的であることを意味するが必ずしも全射的ではない一対一関数と混同してはならない。

数え上げという基本的な操作は、ある有限集合から最初の自然数 (1, 2, 3, ...)への、数え上げられた集合の要素の数までの一対一関係を確立します。したがって、2つの有限集合の要素数が等しいのは、それらの集合の間に一対一関係が存在する場合のみです。より一般的には、2つの集合の間に一対一関係が存在する場合、 それらの集合は基数が等しいと言われます。

集合からそれ自身への全単射関数は順列とも呼ばれ、^[1]集合のすべての順列の集合はその対称群を形成する。

さらなる性質を持ついくつかの全単射には、自己同型、同型、同相、微分同型、順列、そしてほとんどの幾何学的変換など、特別な名前が付けられています。ガロア対応は、一見すると性質が大きく異なる 数学的対象集合間の全単射です。

意味

集合Xの要素と集合Yの要素を対にする二項関係が一対一であるためには、次の 4 つの特性が満たされている必要があります。

1. Xの各要素は、少なくともYの1つの要素とペアになっている必要があります。
2. Xの要素はYの複数の要素とペアになることはできない。
3. Yの各要素は、Xの少なくとも1つの要素とペアになっている必要があり、
4. Yの要素は、Xの複数の要素とペアになることはできません。

性質(1)と(2)を満たすということは、対関数が定義域Xを持つ関数であることを意味します。性質(1)と(2)は、Xのすべての要素がYのちょうど1つの要素と対になっているという単一の文として書かれることがよくあります。性質(3)を満たす関数は「Y上への」関数とされ、全射（または射影関数）と呼ばれます。性質(4)を満たす関数は「 1対1関数」とされ、単射（または単射関数）と呼ばれます。^[2]この用語を用いると、全単射とは全射かつ単射の両方である関数、言い換えれば、「1対1」かつ「上への」関数である関数です。^[3]

例

野球チームまたはクリケットチームの打順

野球チームやクリケットチームの打順（あるいは、各選手が打順の中で特定のポジションを占める、あらゆるスポーツチームの全選手のリスト）を考えてみましょう。X集合はチームの選手（野球の場合は9人）であり、Y集合は打順（ 1番、2番、3番など）です。「ペアリング」は、どの選手がこの打順のどのポジションに所属するかによって決まります。特性（1）は、各選手がリスト内のどこかに所属するため満たされます。特性（2）は、打順の2つ以上のポジションで打席に立つ選手がいないため満たされます。特性（3）は、打順の各ポジションには、そのポジションで打席に立つ選手が必ず存在することを示し、特性（4）は、2人以上の選手がリスト内の同じポジションで打席に立つことはないことを示します。

教室の座席と生徒

教室には一定数の座席があります。一群の生徒が教室に入り、講師は彼らに着席するように指示します。講師は教室内を素早く見回した後、生徒の集合と座席の集合の間には一対一の関係があり、各生徒と座っている座席がペアになっていると宣言します。この結論に至るために講師が観察した事実は以下のとおりです。

1. 生徒全員が席に着いており（立っている生徒はいなかった）、
2. 学生は1席以上座ることはなく、
3. どの席にも誰かが座っており（空席はなかった）、
4. どの席にも 1 人以上の生徒が座っていませんでした。

講師は、どちらのセットも数えなくても、座席の数は生徒の数と同じであると結論付けることができました。

さらなる数学的例

自然数から整数への全単射。これは、n ≥ 0に対して、 2 n を− nに、 2 n + 1 をn+1に写像します。

• 任意の集合Xに対して、恒等関数 1 _X : X → X , 1 _X ( x ) = xは全単射である。
• 逆乗関数は、単位区間(0, 1) と半無限区間 (1, +∞)の一対一変換を与えます。
• 関数f : R → R , f ( x ) = 2 x + 1 は単射である。なぜなら、各 y に対して、f ( x ) = y となる x = ( y − 1)/2 が唯一存在するからである。より一般的には、実数上の任意の線形関数f : R → R , f ( x ) = ax + b （ただしaは非ゼロ）は単射である。各実数yは、実数x = ( y − b )/ aから得られる（またはこれと対になる） 。
• 関数f : R → (−π/2, π/2) はf ( x ) = arctan( x ) で与えられ、これは全単射である。なぜなら、各実数xは区間 (−π/2, π/2) 内のちょうど1つの角度yと対をなすため、tan( y ) = x (つまり、y = arctan( x )) が成立するからである。もし、共変域 (−π/2, π/2) が π/2 の整数倍を含むように拡大された場合、この関数はもはや全単射ではなくなる。なぜなら、この arctan 関数によって π/2 の倍数と対をなす実数は存在しないからである。
• 指数関数g : R → R , g ( x ) = e ^xは全単射ではありません。例えば、Rにはg ( x ) = −1となるようなx は存在しないため、 gは全射（全射）ではないことがわかります。しかし、余域を正の実数に制限すれば、gは全単射になります。その逆関数（下記参照）は自然対数関数 ln です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\equiv \left(0,\infty \right)}$
• 関数h : R → R ⁺ , h ( x ) = x ²は単射ではありません。例えば、h (−1) = h (1) = 1 であり、hは一対一（単射）ではないことを示しています。しかし、定義域を に限定すれば、h は単射となり、その逆関数は正の平方根関数となります。${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\equiv \left[0,\infty \right)}$
• シュレーダー・ベルンシュタインの定理によれば、任意の 2 つの集合XとY、および 2 つの単射関数f : X → Yとg : Y → Xが与えられたとき、単射関数h : X → Yが存在する。

逆数

定義域Xを持つ一対一関数f (関数記法ではf : X → Yと表記)は、 Yから始まってXに向かう(矢印を反転することによって)逆関係も定義します。任意の関数の「矢印を反転する」処理は、一般には関数を生成しませんが、一対一関数の特性 (3) と (4) は、この逆関係が定義域Yを持つ関数であることを示しています。さらに、特性 (1) と (2) は、この逆関数が全射かつ単射であることを示しています。つまり、逆関数が存在し、かつ全単射でもあります。逆関数を持つ関数は可逆であると言われています。関数が可逆であるためには、それが全単射である必要があります。

簡潔な数学的記法で述べると、関数f : X→Yが全単射となるのは、次の条件を満たす場合のみである。

Yのあらゆるyに対して、 Xにはy = f ( x )を満たす唯一のx が存在する。

野球の打順の例を続けると、定義中の関数は、選手の名前を入力として受け取り、その選手の打順における位置を出力します。この関数は単射であるため、逆関数も用意されており、打順における位置を入力として受け取り、その位置で打つ選手を出力します。

構成

単射 (X → Y) と全射 (Y → Z) で構成される全単射。

2 つの全単射と の合成は 全単射であり、その逆は で与えられます。 ${\displaystyle g\,\circ \,f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\,\circ \,f}$ ${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$

逆に、 2 つの関数の合成が全単射である場合、 fは単射であり、gは全射であることが必然的にわかります。 ${\displaystyle g\,\circ \,f}$

基数

XとYが有限集合である場合、 XとY の2つの集合の間には、XとYの要素数が等しい場合に限り、一対一の関係が存在する。実際、 公理的集合論では、これは「要素数が等しい」（同数性）の定義として扱われており、この定義を無限集合に一般化すると、無限集合の様々な大きさを区別する方法である基数の概念が導かれる。

プロパティ

• 関数f : R → Rが全単射となるのは、そのグラフがすべての水平線および垂直線と 1 回ずつ交わる場合のみです。
• Xが集合である場合、 Xからそれ自身への全単射関数は、関数合成演算 ( ) とともに、群、つまりXの対称群を形成します。これは、S( X )、S _X、またはX ! ( X の階乗)など、さまざまな形式で表されます。${\displaystyle \circ }$
• 一対一では集合の基数が保存されます。基数が | A |であるドメインの部分集合Aと、基数が | B |であるコドメインの部分集合Bの場合、次の等式が成り立ちます。

  | f ( A )| = | A | かつ | f ⁻¹ ( B )| = | B | です。

• XとYが同じ濃度の有限集合で、 f : X → Yの場合、以下は同値です。
  1. fは一対一です。
  2. fは全射です。
  3. fは注入です。
• 有限集合Sに対して、その要素の可能な全順序付けの集合とSからSへの全単射の集合との間には一対一性が存在する。つまり、Sの要素の順列の数は、その集合の全順序付けの数と同じであり、つまりn ! である。

カテゴリー理論

全単射は、集合と集合関数の圏Setにおける同型です。しかし、より複雑な圏では、全単射が必ずしも同型とは限りません。例えば、群の圏Grpでは、射は群構造を保存するため準同型でなければなりません。したがって、同型は群同型であり、これは全単射準同型です。

部分関数への一般化

一対一対応の概念は部分関数に一般化され、部分関数は部分単射と呼ばれる。ただし、部分単射は単射であればよい。このように緩和される理由は、（真）部分関数はその定義域の一部において既に未定義であるため、その逆関数を全関数、すなわち定義域のどこでも定義される関数に制約する強い理由はないからである。与えられた基底集合上のすべての部分単射の集合は、対称逆半群と呼ばれる。^[4]

同じ概念を別の方法で定義すると、AからBへの部分一対一とは、 Rが一対一f : A ′ → B ′のグラフであるという性質を持つ任意の関係 R（部分関数であることが判明）であると言えます。ここで、A ′はAのサブセットであり、B ′はBのサブセットです。^[5]

部分的一対一変換が同じ集合上にある場合、それは一対一部分変換と呼ばれることもある。^[6]一例として、メビウス変換は拡張複素平面への完成ではなく、複素平面上で単純に定義される。^[7]

ギャラリー

• 
  単射非全射関数（単射であり、一対一ではない）
• 
  単射関数（全単射）
• 
  非単射な全射関数（全単射ではなく、全射）
• 
  非単射かつ非全射な関数（単射でもない）

参照

• 数学ポータル

• アックス・グロタンディークの定理
• 全単射、単射、全射
• 全単射記数法
• 全単射証明
• カテゴリー理論
• 多値関数

注記

1. ホール 1959、3ページ
2. 性質(1)と(2)にも名前が付けられています。性質(1)を満たす関係は全関係と呼ばれ、性質(2)を満たす関係は単値関係と呼ばれます。
3. “Bijection, Injection, And Surjection | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org . 2019年12月7日閲覧。
4. クリストファー・ホリングス（2014年7月16日）『鉄のカーテンを越えた数学：半群の代数理論の歴史』アメリカ数学会、251ページ。ISBN 978-1-4704-1493-1。
5. フランシス・ボルセ (1994). 圏論代数ハンドブック 第2巻 圏論と構造. ケンブリッジ大学出版局. p. 289. ISBN 978-0-521-44179-7。
6. ピエール・A・グリエ（1995年）『半群論：構造理論入門』CRCプレス、228頁。ISBN 978-0-8247-9662-4。
7. ジョン・ミーキン (2007). 「群と半群：接続と対照」. CM Campbell, MR Quick, EF Robertson, GC Smith (編). Groups St Andrews 2005 Volume 2. Cambridge University Press. p. 367. ISBN 978-0-521-69470-4。Lawson, MV (1998). "The Möbius Inverse Monoid". Journal of Algebra . 200 (2): 428– 438. doi : 10.1006/jabr.1997.7242 .を引用したプレプリント。

参考文献

このトピックは集合論の基本概念であり、集合論の入門書であればどんな教科書にも出てきます。証明の書き方を解説した教科書のほとんどには集合論のセクションが含まれているので、このトピックは以下のような教科書に出てくるかもしれません。

• ホール、マーシャル・ジュニア(1959). 『群論』マクミラン社.
• ウルフ（1998年）『証明、論理、そして推測：数学者の道具箱』フリーマン著。
• サンドストロム（2003）『数学的推論：文章と証明』プレンティス・ホール出版。
• スミス、エッゲン、セント・アンドレ (2006). 『上級数学への移行』（第6版） . トムソン（ブルックス/コール社）.
• シューマッハ（1996）『第0章 抽象数学の基本概念』アディソン・ウェスレー社。
• オリアリー（2003年）『証明の構造：論理学と集合論』プレンティス・ホール出版。
• モラッシュ著『抽象数学への架け橋』ランダムハウス
• マドックス（2002）『数学的思考とライティング』ハーコート／アカデミック・プレス。
• レイ（2001）『解析と証明入門』プレンティス・ホール。
• ギルバート、ヴァンストーン (2005). 『数学的思考入門』 ピアソン・プレンティス・ホール出版.
• フレッチャー、パティ.高等数学の基礎. PWS-ケント.
• イグレヴィッツ、ストイル著『数学的推論入門』マクミラン社。
• デブリン、キース（2004年）『集合、関数、論理：抽象数学入門』チャップマン＆ホール／CRCプレス。
• D'Angelo; West (2000). 『数学的思考：問題解決と証明』 Prentice Hall.
• クピラーリ（1989年）『証明の要点』ワズワース社、ISBN 9780534103200。
• ボンド著『抽象数学入門』ブルックス/コール社。
• バニエ、フェルドマン (2000). 『上級数学入門』 プレンティス・ホール.
• アッシュ。抽象数学入門。MAA。

外部リンク

• 「全単射」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「全単射」。MathWorld。
• 数学用語の最も古い使用法: 注入、全射、全単射の項目には、注入と関連用語の歴史が記載されています。