長さの収縮

光速の9/10で移動する車輪。車輪の上部の速度は0.994 c であるのに対し、下部の速度は常に0です。そのため、上部は下部に対して収縮しています。このアニメーションは、車輪のスポークの弾性が円周よりもはるかに大きいという仮定に基づいて作成されています。そうでなければ、スポークまたは円周が破断する可能性があります。車輪の中心の静止系では、車輪は円形で、スポークは直線で等間隔ですが、円周は収縮しており、スポークに圧力をかけています。

長さの収縮とは、運動する物体の長さがその物体本来の長さ（その物体自身の静止系で測定された長さ）よりも短く測定される現象である。^[1]これはローレンツ収縮またはローレンツ・フィッツジェラルド収縮（ヘンドリック・ローレンツとジョージ・フランシス・フィッツジェラルドにちなんで）とも呼ばれ、通常は光速のかなり遅い速度でのみ顕著になる。長さの収縮は物体が移動している方向にのみ起こる。標準的な物体の場合、この効果は日常的な速度では無視でき、通常の目的では無視できるが、観測者に対して物体が光速に近づくと重要になる。

歴史

長さの収縮は、ジョージ・フィッツジェラルド（1889年）とヘンドリック・アントーン・ローレンツ（1892年）によって、マイケルソン・モーリーの実験の否定的な結果を説明し、静止エーテルの仮説（ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説）を救済するために提唱された。^{[2] [3]} フィッツジェラルドとローレンツはどちらも、運動する静電場が変形するという事実（1888年に電磁気理論からこの変形を導き出したオリバー・ヘビサイドにちなんで「ヘビサイド楕円体」）に言及したが、当時は分子間の力が電磁気力と同じように振舞うと仮定する十分な根拠がなかったため、それはアドホックな仮説だと考えられていた。1897年、ジョセフ・ラーモアはすべての力が電磁気起源であると考えられるモデルを開発し、長さの収縮はこのモデルの直接的な結果のように思われた。しかし、アンリ・ポアンカレ（1905）は、電磁力だけでは電子の安定性を説明できないことを示した。そこで彼は、電子の安定性を保証し、長さの収縮を力学的に説明し、静止したエーテルの運動を隠蔽する非電気的な束縛力（ポアンカレ応力）という別のアドホック仮説を導入せざるを得なかった。^[4]

ローレンツは、長さの収縮は物体を構成する原子の物理的な収縮を表すと信じていた。彼は、空間と時間の性質に根本的な変化はないと考えていた。 ^{[5] : 62–68} ローレンツは、長さの収縮が物体に圧縮ひずみをもたらし、それが測定可能な効果をもたらすと予想していた。そのような効果には、透明媒体における光学的効果、例えば旋光^[6]や複屈折の誘起^[7]、そしてエーテルに対して角度をつけて運動する荷電コンデンサーへのトルク誘起などが含まれる。

ローレンツは、トラウトン・ノーブルの実験やレイリーとブレースの実験などの理論的期待を検証できなかった実験に困惑した。 ^[5]

数学的な一貫性を保つため、ローレンツは「局所時間」と呼ばれる新しい時間変数を提案した。これは、t ′ = t − vx / c ²の関係に従い、運動する物体の位置に依存することからそのように呼ばれた。^[8]ローレンツは局所時間を「実在する」ものではなく、むしろ変数のアドホックな変化を表すものと考えた。^{[9] : 51, 80}

ローレンツの「最も独創的なアイデア」に感銘を受けたポアンカレは、局所時間に単なる数学的なトリック以上のものを見出した。それは、運動する観測者の時計が示す実際の時間を表していた。一方で、ポアンカレはこの測定された時間を、エーテル中で静止する時計が示す「真の時間」とは考えていなかった。ポアンカレは空間と時間の概念を再定義しようとはしなかった。ポアンカレにとって、ローレンツ変換は運動する観測者にとっての場の見かけ上の状態を記述するものであり、真の状態はエーテルに関して定義された状態のままであった。^[10]

アルバート・アインシュタインは、収縮仮説からアドホックな性質を取り除き、^[4]エーテルは「不必要」であると宣言し、絶対的に静止した空間の概念を排除し、1905年の特殊相対性理論の論文で長さの収縮効果について議論しました。^[11]アインシュタインは、ローレンツ変換が電磁気学と力学の両方に適用されることを提案しました。^{[12] : 17} ヘルマン・ミンコフスキーは、 4次元時空の概念を導入することで、すべての相対論的効果の幾何学的解釈を与えました。^[13]

長さの収縮と光の速度の有限性の組み合わせによって生じる数多くの紛らわしい視覚効果は、当初はほとんど理解されていませんでした。ローレンツは1922年に、それらを写真に撮ることができると誤って主張しました。ジョージ・ガモフは『不思議の国のトンプキンス氏』の挿絵で、自転車を短縮して描いただけです。動く棒の正しい外観を説明した論文が1924年に発表されましたが、広く読まれませんでした。ジェームズ・テレルとロジャー・ペンローズが、現在テレル回転と呼ばれている視覚効果について書いた1959年に初めて、困難が明らかになりました。^[14]テレルの「ローレンツ収縮の不可視性」と題された論文では、メーター棒が回転して見えること、そして有限の光速度の補正なしに写真から収縮自体を測定できることが述べられていました。

相対性理論の基礎

特殊相対性理論では、観測者は同期された時計の無限の格子に対して出来事を測定します。

まず、静止物体と運動物体の長さを測定する方法について慎重に検討する必要がある。^[15]ここで「物体」とは、常に互いに静止している、すなわち同じ慣性系内で静止している端点を持つ距離を意味する。観測者（または観測者が使用する測定機器）と観測対象物体との間の相対速度がゼロであれば、物体の正しい長さは、 測定棒を直接重ね合わせるだけで簡単に測定できる。しかし、相対速度がゼロより大きい場合は、以下のようにして測定を進めることができる。 ${\displaystyle L_{0}}$

長さの収縮：3本の青い棒がS点に静止しており、3本の赤い棒がS'点に静止している。AとDの左端がx軸上で同じ位置に達した瞬間に、棒の長さを比較する。S点では、Aの左側とCの右側の同時位置はDとFの同時位置よりも離れているが、S'点では、Dの左側とFの右側の同時位置はAとCの同時位置よりも離れている。

観測者は、a)ポアンカレ・アインシュタイン同期法に従って光信号を交換することによって同期されるか、b) 「低速時計輸送」、つまり、1つの時計が輸送速度がゼロになる極限で時計の列に沿って輸送されることによって同期される時計の列を設置する。同期プロセスが完了すると、物体は時計の列に沿って移動し、すべての時計は物体の左端または右端が通過した正確な時刻を保存する。その後、観測者は、物体の左端が通過した時刻を保存した時計Aと、物体の右端が同時に通過した時計Bの位置を見るだけでよい。距離ABは、移動する物体の長さに等しいことは明らかである。 ^{[15]この方法を用いると、}同時性の定義は、移動する物体の長さを測定する上で非常に重要になる。 ${\displaystyle L}$

もう一つの方法は、固有時刻 を示す時計を使うことです。この時計は、棒の静止系にある時計で測定された時間で、棒の一方の端からもう一方の端まで移動します。棒の長さは、移動時間と速度を掛け合わせることで計算できます。つまり、棒の静止系、あるいは時計の静止系における速度です。^[16]${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{0}=T\cdot v}$ ${\displaystyle L=T_{0}\cdot v}$

ニュートン力学では、同時性と持続時間は絶対的であるため、どちらの方法でも と は等しくなります。しかし、相対性理論では、同時性と時間の遅れの相対性と関連して、すべての慣性系における光速度の不変性がこの等しさを破ります。最初の方法では、ある慣性系にいる観測者は物体の端点を同時に測定したと主張しますが、他のすべての慣性系にいる観測者は物体の端点が同時に測定されたわけではないと主張するでしょう。2番目の方法では、時間の遅れのために時間とは等しくなく、結果として長さも異なります。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$

全ての慣性系における測定値間の偏差は、ローレンツ変換と時間の遅れの公式によって与えられます（導出を参照）。固有長は変化せず、常に物体の最大長を表します。また、同じ物体を別の慣性系で測定した場合、その長さは固有長よりも短くなります。この収縮は運動線に沿ってのみ発生し、以下の関係式で表すことができます。

${\displaystyle L={\frac {1}{\gamma (v)}}L_{0}}$

どこ

• ${\displaystyle L}$ 物体に対して運動している観測者によって観測される長さである
• ${\displaystyle L_{0}}$ 適切な長さ（静止系における物体の長さ）
• ${\displaystyle \gamma (v)}$ はローレンツ因子であり、次 のように定義される。$${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$$
  • ${\displaystyle v}$ 観測者と移動物体間の相対速度である
  • ${\displaystyle c}$ 光の速度は

元の式にローレンツ因子を代入すると、次の関係が得られる。

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

この式では、 と はどちらも物体の運動線に平行に測定されます。相対的に運動している観測者にとって、物体の長さは、同時に測定された物体の両端の距離を差し引くことで測定されます。より一般的な変換については、ローレンツ変換を参照してください。静止した観測者が光速に非常に近い速度で移動する物体を観測すると、運動方向における物体の長さはゼロに非常に近いものとして観測されます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{0}}$

そして、13 400 000  m/s (30 million mph, 0.0447 c ) 収縮時の長さは静止時の長さの99.9%です。42,300,000  m/s（9,500万mph、0.141 c ）でも、長さは依然として99%です。速度の大きさが光速に近づくにつれて、その効果は顕著になります。

対称

相対性原理（自然法則は慣性系を越えて不変であるという原理）によれば、長さの収縮は対称的である。すなわち、棒が慣性系 内で静止している場合、その固有長は で、長さは で収縮する。しかし、棒が 内で静止している場合、その固有長は で、長さは で収縮する。これは、対称ミンコフスキー図を用いて明瞭に示すことができる。なぜなら、ローレンツ変換は幾何学的に4次元時空における回転に対応するからである。^{[17] [18]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$

磁力

磁力は、電子が原子核に対して相対的に運動しているときに生じる相対論的収縮によって生じます。電流が流れる導線に隣接する運動電荷に働く磁力は、電子と陽子間の相対論的運動の結果です。^{[19] [20]}

1820 年、アンドレ＝マリー・アンペールは、同じ方向に電流が流れる平行導線は互いに引き合うことを証明しました。電子の座標系では、動いている導線がわずかに収縮し、反対側の導線の陽子の密度が局所的に高くなります。反対側の導線の電子も動いているため、（それほど）収縮しません。この結果、電子と陽子の間に見かけ上の局所的な不均衡が生じます。つまり、一方の導線で動いている電子は、もう一方の導線にある余分な陽子に引き寄せられます。逆の場合も考えられます。静的な陽子の座標系では、電子は動いて収縮し、同じ不均衡が生じます。電子のドリフト速度は比較的非常に遅く、時速 1 メートル程度ですが、電子と陽子の間に働く力は非常に大きいため、この非常に遅い速度でも相対論的な収縮が大きな影響を及ぼします。

この効果は、電流が電子スピンに置き換えられた、電流のない磁性粒子にも適用されます。^[要出典]

実験的検証

観測対象物体と共に移動する観測者は、物体の収縮を測定することができない。なぜなら、相対性原理（トラウトン・ランキンの実験で実証されたように）に従って、観測者自身と物体は同じ慣性系内に静止していると判断できるからである。したがって、長さの収縮は物体の静止系では測定できず、観測対象物体が運動している系でのみ測定できる。さらに、そのような非共動系であっても、長さの収縮を直接実験的に確認することは困難である。その理由は、(a)現在の技術水準では、かなり伸びた物体を相対論的な速度まで加速することはできず、(b)必要な速度で移動する物体は原子粒子だけであり、その空間的伸びが小さすぎて収縮を直接測定することができないからである。

しかし、非共動フレームではこの効果を 間接的に確認するものがあります。

• これは有名な実験の否定的な結果であり、長さの収縮の導入を必要とした:マイケルソン・モーリーの実験(後にケネディ・ソーンダイクの実験も)。特殊相対性理論では、これは次のように説明されます: 静止系では、干渉計は相対性原理に従って静止していると見なすことができるため、光の伝播時間はすべての方向で同じです。干渉計が動いている系では、横方向のビームは動かない系に対してより長い対角線の経路を通過する必要があるため移動時間は長くなりますが、縦方向のビームが順方向と逆方向の移動にそれぞれL /( c − v ) とL /( c + v ) の時間がかかることで遅延される係数はさらに大きくなります。したがって、否定的な実験結果に従って両方の移動時間の等しさを回復するために、縦方向では干渉計は収縮しているはずです。したがって、光の双方向の速度は一定に保たれ、干渉計の垂直アームに沿った往復の伝播時間は、干渉計の動きと方向に依存しません。
• 地球座標系で測定された大気の厚さを考えると、ミューオンの寿命は極めて短いため、たとえ光速であっても地表まで到達することはできないはずである。しかし、実際には地表まで到達する。しかし、地球座標系では、これは時間の遅れによってミューオンの時間が遅くなることによってのみ可能となる。しかし、ミューオンの座標系では、この効果は大気が収縮し、到達距離が短​​くなることによって説明される。^[21]
• 静止時には球形である重イオンは、光速に近い速度で移動すると「パンケーキ」または平らな円盤状になるはずである。実際、粒子衝突から得られる結果は、長さの収縮による核子密度の増加を考慮した場合にのみ説明できる。^{[22] [23] [24]}
• 相対速度の大きい荷電粒子のイオン化能力は予想以上に高い。相対論以前の物理学では、運動中のイオン化粒子が他の原子や分子の電子と相互作用できる時間が短くなるため、高速度ではイオン化能力は低下するはずである。しかし、相対論においては、予想以上に高いイオン化能力は、イオン化粒子が運動する系におけるクーロン場の長さ収縮によって説明され、その結果、運動線に垂直な方向の電場強度が増加する。^{[21] [25]}
• シンクロトロンや自由電子レーザーでは、相対論的電子をアンジュレータに注入することでシンクロトロン放射が発生します。電子の固有座標系では、アンジュレータは収縮し、放射周波数が増加します。さらに、実験室座標系で測定された周波数を知るには、相対論的ドップラー効果を適用する必要があります。したがって、長さの収縮と相対論的ドップラー効果の助けを借りてのみ、アンジュレータ放射の極めて短い波長を説明できます。^{[26] [27]}

長さ収縮の現実

アインシュタインが1911年に長さの収縮について行った思考実験のミンコフスキー図。静止長が である2本の棒が反対方向に動いており、その結果 となる。${\displaystyle A'B'=A''B''=L_{0}}$ ${\displaystyle 0.6c}$ ${\displaystyle A^{\ast }B^{\ast }<L_{0}}$

1911年、ウラジミール・ヴァリチャクは、ローレンツによれば長さの収縮は客観的に見られるが、アインシュタインによればそれは「時計の調整と長さの測定方法によって引き起こされる、見かけ上の主観的な現象にすぎない」と主張した。^{[28] [29]}アインシュタインは反論を発表した。

著者は、物理的事実に関してローレンツの見解と私の見解の相違を不当に述べている。長さの収縮が実際に存在するかどうかという問いは誤解を招く。長さの収縮は、共動観測者にとって存在しない限りにおいて「実際に」存在しない。しかし、共動観測者ではない観測者によって物理的手段によって原理的に証明できる程度には「実際に」存在する。[ ^30]

— アルバート・アインシュタイン、1911年

アインシュタインはまた、この論文の中で、長さの収縮は、単に時計の調整や長さの測定方法に関する恣意的な定義から生じるものではないと主張した。彼は次のような思考実験を提示した。A'B'とA"B"を、それぞれx'とx"で測定した同じ真長L ₀を持つ2本の棒の端点とする。これらをx*軸に沿って反対方向に、静止状態にあると仮定し、x*軸に対して同じ速度で動かすとしよう。すると、端点A'A"は点A*で交わり、B'B"は点B*で交わる。アインシュタインは、長さA*B*がA'B'やA"Bよりも短いことを指摘した。これは、棒の片方をx*軸に対して静止させることによっても証明できる。^[30]

パラドックス

縮約公式の表面的な適用により、いくつかのパラドックスが発生する可能性があります。例としては、ラダーパラドックスやベルの宇宙船パラドックスが挙げられます。しかし、これらのパラドックスは同時性の相対性を正しく適用することで解決できます。もう一つの有名なパラドックスはエーレンフェストのパラドックスです。これは、剛体の概念が相対性理論と両立しないことを証明し、ボルンの剛性の適用可能性を低下させ、共回転する観測者にとって、幾何学が実際には非ユークリッド的であることを示しています。

視覚効果

オランダ、ライデンの壁に書かれた数式。ローレンツはライデン大学（1877～1910年）の理論物理学教授を務めた。

長さの収縮とは、座標系に基づいて同時に行われる位置測定を指します。これは、高速で移動する物体の写真を撮ると、物体が移動方向に収縮したように見えることを示唆しています。しかし、このような視覚効果は全く異なる測定です。なぜなら、写真は遠くから撮影されるのに対し、長さの収縮は物体の端点の正確な位置でしか直接測定できないからです。ロジャー・ペンローズやジェームズ・テレルといった複数の研究者によって、移動物体は一般的に写真上で長さが収縮して見えないことが示されました。^[31]この結果は、ヴィクター・ワイスコフによってPhysics Todayの記事で広く知られるようになりました。^[32]例えば、小さな角度直径の場合、移動する球体は円形状のまま回転します。^[33]このような視覚的な回転効果は、ペンローズ・テレル回転と呼ばれます。^[34]

導出

長さの収縮はいくつかの方法で導き出すことができます。

既知の移動距離

慣性系Sにおいて、運動する物体の端点をと で表す。この系では、物体の長さは、上記の慣例に従い、 における端点の同時位置を決定することによって測定される。一方、静止系S'で測定されたこの物体の固有長は、ローレンツ変換を用いて計算できる。時間座標をSからS'に変換すると異なる時間になるが、物体はS'では静止しており、端点がいつ測定されるかは問題ではないため、これは問題にならない。したがって、空間座標の変換だけで十分であり、以下の式が得られる。^[15]${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

${\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{and}}\quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .}$

なので、およびと設定することにより、S'における適切な長さは次のように与えられる。 ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ ${\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}$ ${\displaystyle L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}}$

したがって、フレーム S で測定された物体の長さは、次の係数で収縮します。 ${\displaystyle \gamma }$

同様に、相対性原理によれば、S 内で静止している物体は S' 内でも収縮する。上記の符号とプライムを対称的に交換すると、次の式が成り立つ。

したがって、S方向に静止している物体をS'方向に測定すると、収縮した長さとなる。

既知の適切な長さ

逆に、物体がS座標系に静止し、その固有長が既知である場合、物体はS座標系において常に位置を変化させるため、物体の両端における測定の同時性は別の座標系S'において考慮する必要がある。したがって、空間座標と時間座標の両方を変換する必要がある。^[35]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2}^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}}$

長さ間隔を計算し、同時に時間測定を仮定し、適切な長さを代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle \Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }}$ ${\displaystyle \Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0}$ ${\displaystyle L_{0}=x_{2}-x_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{aligned}}}$

式（２）は

${\displaystyle \Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}}$

これを（1）に代入すると、 が収縮した長さ になることが分かります。 ${\displaystyle \Delta x'}$ ${\displaystyle L'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$ 。

同様に、同じ方法は、S' で静止している物体に対しても対称的な結果をもたらします。

${\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }$ 。

時間の遅れを利用する

長さの収縮は時間の遅れからも導かれる。^[36]これによれば、1つの「動いている」時計（固有時刻 を示す）の速度は、2つの同期した「静止している」時計（固有時刻を示す）に比べて遅い。時間の遅れは実験的に複数回確認されており、以下の関係式で表される。 ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=T_{0}\cdot \gamma }$

静止している適切な長さの棒と、静止している時計が速度 で互いに動いていると仮定します。相対性原理によれば、相対速度の大きさはどちらの基準系でも同じなので、棒の両端間の時計の移動時間はそれぞれ では 、 では で与えられます。したがって、 と です。時間の遅れの公式を代入すると、これらの長さの比は次のようになります。 ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T=L_{0}/v}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T'_{0}=L'/v}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle L_{0}=Tv}$ ${\displaystyle L'=T'_{0}v}$

${\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma }$ 。

したがって、長さは次のように表される。 ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }$

したがって、時計が棒を横切る時間は ではよりも長い（ では時間の遅れ）ため、棒の長さもでは よりも長くなります（ では長さの収縮）。同様に、時計が で静止し、棒が で静止している場合、上記の手順により ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }$

幾何学的な考慮

ユークリッド時空とミンコフスキー時空における直方体

幾何学的な考察を加えると、長さの収縮は三角関数の現象とみなすことができ、E ³における回転前後の直方体の平行断面に類似していることがわかります（右図の左半分を参照）。これは、E ^1,2における直方体のブースティングのユークリッド的類似です。ただし、後者の場合、ブースティングされた直方体は、移動するプレートの世界板として解釈できます。

画像：左：3次元ユークリッド空間E ^{3における}回転直方体。回転方向の断面は、回転前よりも長くなっています。右：ミンコフスキー時空（1つの空間次元を抑制） E ^1,2における運動する薄板の世界板。これはブーストされた直方体です。ブースト方向の断面は、ブースト前よりも薄くなっています。どちらの場合も、横断方向は影響を受けず、直方体の各角で交わる3つの平面は互いに直交しています（右はE ^1,2の意味で、左はE ³の意味で）。

特殊相対論において、ポアンカレ変換はアフィン変換の一種であり、ミンコフスキー時空上の異なる慣性運動状態（および異なる原点の選択）に対応する異なる直交座標チャート間の変換として特徴付けられる。ローレンツ変換はポアンカレ変換であり、線型変換（原点を保存）である。ローレンツ変換はミンコフスキー幾何学において、ユークリッド幾何学における回転が果たす役割と同じ役割を果たす（ローレンツ群は時空の自己等長変換の等方性群を形成する）。実際、特殊相対論は、以下の表が示唆するように、ミンコフスキー時空における 一種の非ユークリッド三角法の研究に帰着する。

参考文献

1. ダラーソン, ミルヤナ; ダラーソン, ニルス (2015). テンソル, 相対性理論, 宇宙論 (第2版). アカデミック・プレス. pp.  106– 108. ISBN 978-0-12-803401-9。106ページの抜粋
2. フィッツジェラルド、ジョージ・フランシス（1889）、「エーテルと地球の大気」 、サイエンス、13（328）：390、Bibcode：1889Sci....13..390F、doi：10.1126/science.ns-13.328.390、PMID：  17819387、S2CID  ：43610293
3. Lorentz、Hendrik Antoon (1892)、「地球とエーテルの相対運動」 、Zittingsverlag Akad。 V. ウェット。、1：74～ 79
4. ペイス、アブラハム（1982）、微妙な主：アルバート・アインシュタインの科学と生涯、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-520438-7
5. ミラー、アーサー・I. (1998).アルバート・アインシュタインの特殊相対性理論：出現（1905年）と初期の解釈（1905-1911年） . ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-94870-6。
6. Lorentz, HA (1902). 「移動媒体における偏光面の回転」(PDF) .ホイヘンス研究所 – オランダ王立芸術科学アカデミー. 4 : 669– 678.書誌コード:1901KNAB....4..669L . 2018年11月15日閲覧。
7. Lorentz, HA (1904). 「光速未満の速度で運動する系における電磁気現象」(PDF) .ホイヘンス研究所 – オランダ王立芸術科学アカデミー. 6 : 809–831 .書誌コード:1903KNAB....6..809L . 2018年11月15日閲覧。
8. ヘンドリック、ローレンツ (1895)。 「振動するイオンによって励起される振動の研究」。移動物体における電気的および光学的現象の理論の試み (Ver such einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern)。ライデン: EJ ブリル。 (第 31 条)。
9. バーンスタイン、ジェレミー (2006). 『Secrets of the Old One: Einstein, 1905』. コペルニクス・ブックス (Springer Science + Business Media の出版物). ISBN 978-0387-26005-1。
10. Darrigol, Olivier (2005). 「相対性理論の起源」(PDF) .ポアンカレセミナー. 1 : 1– 22. Bibcode :2006eins.book....1D . 2018年11月15日閲覧。
11. アインシュタイン、アルバート (1905a)、「Zur Elektrodynamik bewegter Körper」(PDF)、Annalen der Physik、322 (10): 891– 921、Bibcode :1905AnP...322..891E、doi : 10.1002/andp.19053221004. 英語翻訳も参照してください。
12. ワインバーグ、スティーブン（1972年）『重力と宇宙論』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 9780471925675。。
13. ミンコフスキー、ヘルマン (1909)、「Raum und Zeit」 、Physikalische Zeitschrift、10 : 75–88

    • ウィキソースの様々な英語翻訳：空間と時間

14. Appell, David (2019-08-01). 「長さ収縮の不可視性」. Physics World . 32 (8). IOP Publishing: 41– 45. doi :10.1088/2058-7058/32/8/35. ISSN  0953-8585.
15. ボルン、マックス（1964）、アインシュタインの相対性理論、ドーバー出版、ISBN 0-486-60769-0
16. エドウィン・F・テイラー、ジョン・アーチボルド・ウィーラー (1992). 時空物理学：特殊相対論入門. ニューヨーク: WHフリーマン. ISBN 0-7167-2327-1。
17. アルバート・シャドーイッツ (1988).特殊相対性理論(1968年版の再版). クーリエ・ドーバー出版. pp. 20–22. ISBN 0-486-65743-4。
18. レオ・サルトリ (1996). 『相対性理論を理解する：アインシュタインの理論への簡略化されたアプローチ』 カリフォルニア大学出版局. pp. 151ff. ISBN 0-520-20029-2。
19. 「ファインマン物理学講義第2巻第13章：静磁気学」www.feynmanlectures.caltech.edu .
20. EM Lifshitz, LD Landau (1980). 場の古典理論.理論物理学講座. 第2巻（第4版）. オックスフォード大学: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9。
21. Sexl、ローマ字; Schmidt、Herbert K. (1979)、Raum-Zeit-Relativität、Braunschweig: Vieweg、Bibcode :1979raum.book....S、ISBN 3-528-17236-3
22. ブルックヘブン国立研究所. 「RHICの物理学」 . 2013年1月1日閲覧。
23. マヌエル・カルデロン・デ・ラ・バルカ・サンチェス。 「相対論的重イオン衝突」。2013 年 1 月 1 日に取得。
24. ハンズ、サイモン (2001). 「QCDの相図」. Contemporary Physics . 42 (4): 209– 225. arXiv : physics/0105022 . Bibcode :2001ConPh..42..209H. doi :10.1080/00107510110063843. S2CID  16835076.
25. ウィリアムズ, EJ (1931)、「β粒子によるエネルギー損失と異なる種類の衝突におけるその分布」、ロンドン王立協会紀要、シリーズA、130 (813): 328– 346、Bibcode :1931RSPSA.130..328W、doi : 10.1098/rspa.1931.0008
26. DESY光子科学。「SRとは何か、どのように生成されるのか、そしてその特性は何か？」。2016年6月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年1月1日閲覧。
27. DESY光子科学. 「FLASH ハンブルクの自由電子レーザー (PDF 7.8 MB)」(PDF) . 2013年1月1日閲覧。
28. ヴァリチャク、ウラジミール。エーレンフェストのパラドックスについて – ウィキソース経由。
29. ミラー, AI (1981)、「ヴァリチャクとアインシュタイン」、アルバート・アインシュタインの特殊相対性理論。出現（1905年）と初期の解釈（1905-1911年）、アディソン・ウェスレー社、249-253頁、ISBN 0-201-04679-2
30. 、アインシュタイン (1911)。 「Zum Ehrenfestschen Paradoxon. Eine Bemerkung zu V. Variĉaks Aufsatz」。物理的ツァイツシュリフト。12 : 509–510 .;原文: Der Verfasser hat mit Unrecht einen Unterschied der Lorentz schen Auffassung von der meinigen mit Bezug auf die physikalischen Tatsachen statuiert。 Die Frage, ob die Lorentz -Verkürzung wirklich besteht oder nicht, ist irreführend. Sie besteht nämlich nicht "wirklich", insofern sie für einen mitbewegten Beobachter nicht presentiert; sie besteht aber "wirklich", dh in solcher Weise, daß sie prinzipiell durch physikalische Mittel nachgewiesen werden könnte, für einen nicht mitbewegten Beobachter。
31. Kraus, U. (2000). 「高速移動物体の輝度と色：大型球体の視覚的外観の再考」(PDF) . American Journal of Physics . 68 (1): 56– 60. Bibcode :2000AmJPh..68...56K. doi :10.1119/1.19373.
32. Weisskopf, Victor F. (1960). 「急速に移動する物体の視覚的外観」. Physics Today . 13 (9): 24– 27. Bibcode :1960PhT....13i..24W. doi :10.1063/1.3057105. S2CID  36707809.
33. ペンローズ、ロジャー（2005年）『現実への道』ロンドン：ヴィンテージ・ブックス、pp.  430– 431. ISBN 978-0-09-944068-0。
34. 「ローレンツ・フィッツジェラルド収縮が見えるでしょうか？」math.ucr.edu。
35. ウォルター・グライナー (2006). 古典力学：点粒子と相対性理論. シュプリンガー. ISBN 9780387218519。; 式31.4 – 31.6
36. David Halliday、Robert Resnick、Jearl Walker (2010)、物理学の基礎、第33-37章、John Wiley & Son、pp. 1032f、ISBN 978-0470547946

外部リンク

• 物理学FAQ：ローレンツ・フィッツジェラルド収縮は見えますか？ あるいは：ペンローズ・テレル回転、納屋とポール