三角法

三角法（古代ギリシャ語の τρίγωνον （trígōnon）「三角形」とμέτρον （métron）「尺度」に由来）^{[1]は、三角形の}角度と辺の長さの関係を扱う数学の一分野です。特に、三角関数は直角三角形の角度とその辺の長さの比を関連付けます。この分野は、紀元前3世紀のヘレニズム世界で幾何学を天文学の研究に応用する形で生まれました。^[2]ギリシャ人は弦の計算に重点を置き、インドの数学者は正弦などの三角比（三角関数とも呼ばれる）の値の表を作成した最初の人物です。^[3]

歴史を通じて、三角法は測地学、測量、天体力学、航海術などの分野で応用されてきました。^[4]

三角法は多くの恒等式で知られています。これらの三角関数の恒等式^{[5]は、式を簡略化したり、より有用な形式の式を見つけたり、}方程式を解いたりするために、三角関数の式を書き直す際によく用いられます。^[6]

歴史

シュメールの天文学者は、円を360度に分割して角度の測定を研究しました。^[8]彼ら、そして後のバビロニア人は、相似三角形の辺の比を研究し、それらの比のいくつかの性質を発見しましたが、それを三角形の辺と角度を求める体系的な方法へと発展させることはありませんでした。古代ヌビア人も同様の方法を用いていました。^[9]

紀元前3世紀には、ユークリッドやアルキメデスなどのヘレニズム時代の数学者が弦の性質や円周角を研究し、現代の三角法の公式に相当する定理を証明したが、彼らはそれらを代数的ではなく幾何学的に提示した。紀元前140年、ヒッパルコス（小アジアのニカイア出身）は、現代の正弦値表に類似した最初の弦表を与え、三角法と球面三角法の問題を解くのにそれを使用した。^[10]紀元後2世紀には、ギリシャ・エジプトの天文学者プトレマイオス（エジプトのアレクサンドリア出身）が、彼の著『アルマゲスト』第1巻第11章で詳細な三角法表（プトレマイオスの弦表）を作成した。^[11]プトレマイオスは弦の長さを使って三角関数を定義しましたが、これは今日私たちが使っている正弦の慣例とは若干違います。 ^[12]（私たちがsin(θ)と呼ぶ値は、プトレマイオスの表で関心のある角度の2倍（2θ）の弦の長さを調べ、その値を2で割ることで見つけることができます。）より詳細な表が作成されるまでには何世紀もかかり、プトレマイオスの論文は中世ビザンチン、イスラム、そして後に西ヨーロッパ世界で、その後1200年間、天文学における三角関数の計算に使われ続けました。

正弦の現代的な定義は、スーリヤ・シッダーンタで初めて証明され、その特性は、5世紀（西暦）にインドの数学者で天文学者のアリヤバタによってさらに文書化されました。^{[13]これらのギリシャ語とインドの作品は}中世イスラムの数学者によって翻訳され、拡張されました。西暦830年、ペルシャの数学者ハバス・アル・ハスブ・アル・マルワズィーは、最初のコタンジェント表を作成しました。^[14]^{[15]西暦10世紀までには、ペルシャの数学者}アブー・アル・ワファ・アル・ブズジャーニーの著作の中で、6つの三角関数すべてが使用されました。^[16]アブー・アル・ワファは、0.25°刻みで小数点以下8桁の精度の正弦表と、正確な正接値の表を持っていました。^[16]彼はまた、球面三角法においても重要な革新を行った^{。 [17]}^[18]^[19]ペルシャの博学者ナスィルッディーン・アルトゥースィーは、三角法をそれ自体で独立した数学的分野として創始したと言われている。^[20]^[21]^[22]彼は三角法を天文学から独立した数学的分野として扱った最初の人物であり、球面三角法を現在の形に発展させた。^[15]彼は球面三角法における直角三角形の6つの異なるケースを列挙し、著書『扇形図形について』で、平面三角形と球面三角形に対する正弦定理を述べ、球面三角形に対する接線定理を発見し、これら両法則の証明を示した。^[23]三角関数と三角法の知識は、プトレマイオスのギリシア語のアルマゲストのラテン語訳や、アル・バッターニやナスィルッディーン・アルトゥーシなどのペルシャとアラブの天文学者の著作を通じて西ヨーロッパに伝わりました。^[24]北欧の数学者による三角法に関する最も古い著作の一つは、15世紀のドイツの数学者レギオモンタヌスの『三角法について』です。レギオモンタヌスは、数年間同居していたビザンチンのギリシア学者、バシリオス・ベッサリオン枢機卿から執筆を奨励され、『アルマゲスト』のコピーを贈られました。 ^[25]同じ頃、クレタ島のゲオルギオス・ディ・トレビゾンドによって、ギリシア語からラテン語へのアルマゲストの翻訳も完成しました。^[26]16 世紀の北ヨーロッパでは三角法はまだほとんど知られていなかったため、ニコラウス・コペルニクスは『天球回転論』の 2 章をその基本概念の説明に費やしました。

航海の需要と広大な地理的領域の正確な地図への需要の高まりに押されて、三角法は数学の主要な分野に成長しました。^[27] バルトロメウス・ピティスクスが初めてこの言葉を使用し、1595年に著書『三角測量論』を出版しました。 ^[28] ジェンマ・フリシウスは、今日でも測量で使用されている三角測量の方法を初めて説明しました。複素数を三角法に完全に取り入れたのはレオンハルト・オイラーです。17世紀のスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーと18世紀のコリン・マクローリンの著作は、三角級数の発展に影響を与えました。^[29]同じく18世紀には、ブルック・テイラーが一般テイラー級数を定義しました。^[30]

三角比

三角比は直角三角形の辺の比です。これらの比は直角三角形の1つの鋭角のみに依存します。なぜなら、同じ鋭角を持つ2つの直角三角形は相似だからです。^[31]

したがって、これらの比は、この角度の関数、いわゆる三角関数を定義します。具体的には、これらは既知の角度Aの関数として以下のように定義されます。ここで、a、b、hはそれぞれ添付の図の辺の長さを表します。

以下の定義において、斜辺とは直角三角形において90度の角の反対側の辺、すなわち三角形の最長辺であり、角Aに隣接する2辺のうちの1辺を指します。隣接辺とは、角Aに隣接するもう1つの辺を指します。対辺とは、角Aの反対側の辺を指します。 「垂直」と「底辺」という用語は、それぞれ対辺と隣接辺を表すために使用されることがあります。以下の「記憶法」を参照してください。

正弦（sin と表記）は、角度の反対側の辺と斜辺の比として定義されます。

\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.

コサイン（cos と表記）は、隣接辺（角度と直角を結んでいる三角形の辺）と斜辺の比として定義されます。

\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.

接線（tan と表記）は、反対側の辺と隣接する辺の比率として定義されます。

\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.

これらの比率の逆数は、それぞれコセカント(csc)、セカント(sec)、コタンジェント(cot) と呼ばれます。

\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}},

\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}},

\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.

コサイン、コタンジェント、コセカントは、それぞれ「co-」と略される補角のサイン、タンジェント、セカントであるため、このように呼ばれています。^[32]

これらの関数を使えば、正弦定理と余弦定理を使って任意の三角形に関するほぼすべての質問に答えることができます。^[33]これらの法則は、2辺とその内角、または2つの角度と1辺、あるいは3辺がわかれば、あらゆる三角形の残りの角度と辺を計算するために使用できます。

記憶術

記憶術の一般的な用途は、三角法における事実や関係性を覚えることです。例えば、直角三角形の正弦比、余弦比、正接比は、それらとそれぞれの辺を文字列で表すことで覚えることができます。例えば、SOH-CAH-TOAという記憶術があります。^[34]

正弦波=対辺÷斜辺

余弦=隣接角÷斜辺

接線=反対方向 ÷隣接方向

文字を覚える一つの方法は、音声的に音読することです（例：/ ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə、クラカタウに似ています）。^[35]もう1つの方法は、文字を展開して文を作ることです。例えば、「S ome Old H ippie C aught A nother H ippie T rippin' O n A cid」のように。^[36]

単位円と一般的な三角関数の値

三角比は単位円を使って表すこともできます。単位円とは、平面上の原点を中心とする半径1の円です。^[37]この設定では、標準位置に置かれた角度Aの終端辺は、点(x,y)で単位円と交差します。ここで、およびです。^[37]この表現により、次の表のような一般的な三角関数の値を計算できます。^[38] $x=\cos A$ $y=\sin A$

実数または複素変数の三角関数

単位円を用いることで、三角比の定義をすべての正負の引数に拡張することができる^[39]（三角関数を参照）。

三角関数のグラフ

次の表は、6つの主要な三角関数のグラフの性質をまとめたものである。^[40]^[41]

逆三角関数

6つの主要な三角関数は周期関数であるため、単射（つまり1対1）ではなく、したがって逆関数ではありません。しかし、三角関数の定義域を制限することで、逆関数にすることができます。^[42]^{: 48ff}

逆三角関数の名前とその定義域および値域は次の表に示す: ^[42]^{: 48ff}^[43]^{: 521ff}

べき級数表現

実変数の関数として考えると、三角比はマクローリン級数で表すことができます。例えば、正弦と余弦は次のように表されます^[44]。

{\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}

これらの定義により、三角関数は複素数に対して定義することができます。^[45]実変数または複素変数の関数として拡張すると、複素指数関数に対して次の式が成り立ちます。

e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).

この複雑な指数関数は三角関数で表され、特に有用である。^[46]^[47]

三角関数の計算

三角関数は数学表の最も初期の用途の一つであった。^[48]このような表は数学の教科書に組み込まれ、生徒は値を調べ、記載された値の間を補間してより高い精度を得る方法を教えられた。^[49] 計算尺には三角関数用の特別な目盛りが付いていた。^[50]

科学電卓には、主要な三角関数（sin、cos、tan、場合によってはcisとその逆関数）を計算するためのボタンがあります。^{[51]ほとんどの電卓では、角度の測定方法（}度、ラジアン、場合によってはグラジアン）を選択できます。ほとんどのコンピュータプログラミング言語は、三角関数を含む関数ライブラリを提供しています。^[52]ほとんどのパーソナルコンピュータに使用されているマイクロプロセッサチップに組み込まれている浮動小数点ユニットハードウェアには、三角関数を計算するための命令が組み込まれています。^[53]

その他の三角関数

前述の6つの比に加えて、歴史的には重要であったものの、今日ではほとんど使われていない三角関数がいくつかあります。これには弦（ $crd(θ) = 2 sin(⁠ θ / 2 ⁠)$ )、ヴァーサイン( $versin(θ) = 1 - cos(θ) = 2 sin 2 (⁠ θ / 2 ⁠)$ ) （これは最も初期の表^[54]に登場した）、カバーサイン（ $coversin(θ) = 1 - sin(θ) = versin(⁠ π / 2 ⁠ - θ)$ )、半正弦（ $haversin(θ) = ⁠ 1 / 2 ⁠ versin(θ) = sin 2 (⁠ θ / 2 ⁠)$ )、^[55]エクスセカント( $exsec(θ) = sec(θ) - 1$ )、およびエクスコセカント( $excsc(θ) = exsec(⁠ π / 2 ⁠ - θ) = csc(θ) - 1$ )。これらの関数間の関係の詳細については、三角関数の恒等式の一覧を参照してください。

アプリケーション

天文学

何世紀にもわたり、球面三角法は太陽、月、恒星の位置を特定したり、^[56 ]日食を予測したり、惑星の軌道を記述したりするために使用されてきました。^[57]

現代では、三角測量の技術は天文学において近くの星までの距離を測定するために使われており^{[58] 、}衛星航法システムにも使われている^[19]。

歴史的に、三角法は航行中の船の緯度と経度の位置を特定したり、航路を決定したり、距離を計算したりするために使用されてきました。^[59]

三角法は、GPSや自律走行車用の人工知能などの手段を通じて、今でもナビゲーションに使用されています。^[60]

測量

土地測量では、三角法は物体の長さ、面積、相対角度の計算に使用されます。^[61]

より大きなスケールでは、三角法は地理学においてランドマーク間の距離を測定するのに使われます。^[62]

周期関数

関数（赤）は、振幅が異なり、周波数が調和的に関連する6つの正弦関数の和です。これらの和はフーリエ級数と呼ばれます。振幅と周波数の関係を示すフーリエ変換（青）は、6つの周波数（*奇数次高調波*）とそれらの振幅（*奇数倍*）を明らかにします。 $s(x)$ $S(f)$

{\displaystyle s(x)} — 関数（赤）は、振幅が異なり、周波数が調和的に関連する6つの正弦関数の和です。これらの和はフーリエ級数と呼ばれます。振幅と周波数の関係を示すフーリエ変換（青）は、6つの周波数（*奇数次高調波*）とそれらの振幅（*奇数倍*）を明らかにします。 $s(x)$ $S(f)$

正弦関数と余弦関数は、音波や光波を記述する周期関数^[63]の理論の基礎となる。フーリエは、あらゆる連続周期関数は三角関数の無限和として記述できることを発見した。

非周期関数であっても、フーリエ変換によって正弦と余弦の積分として表すことができます。これは量子力学^[64]や通信[ ^65]などの分野に応用されています。

光学と音響

三角法は多くの物理科学で役立っており、^[66]音響学、^[67]光学^[67 ]などが含まれる。これらの分野では、音波や光波を記述したり、境界や透過に関する問題を解いたりするのに三角法が用いられる。^[68]

その他のアプリケーション

三角法や三角関数を使用する他の分野には、音楽理論、^[69] 測地学、音声合成、^[70] 建築、^[71] 電子工学、^[69] 生物学、^[72] 医用画像（CTスキャンと超音波）、^[73] 化学、^[74] 数論（および暗号学）、^[75] 地震学、^[67] 気象学、^[76] 海洋学、^[77] 画像圧縮、^[78] 音声学、^[79] 経済学、^[80] 電気工学、機械工学、土木工学、^[69] コンピュータグラフィックス、^[81] 地図作成、^[69] 結晶学^[82]ゲーム開発などがあります。^[81]

アイデンティティ

三角法は多くの恒等式、つまりあらゆる可能な入力に対して真となる方程式を持つことで知られています。^[83]

角度のみを含む恒等式は三角恒等式として知られています。三角形の恒等式^[84]として知られる他の方程式は、与えられた三角形の辺と角度の両方を関連付けます。

三角形の恒等式

次の等式において、A、B、Cは三角形の角度であり、 a、b、cはそれぞれの角度の反対側にある三角形の辺の長さです (図に示すように)。

正弦の法則

任意の三角形に対する正弦定理（「正弦定理」とも呼ばれる）は次のように述べられている：^[85]

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},

ここで、は三角形の面積、Rは三角形の外接円の半径です。 $\Delta$

R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.

余弦定理

余弦定理（コサインの公式、または「cosの法則」として知られる）は、ピタゴラスの定理を任意の三角形に拡張したものである。^[85]

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,

または同等:

\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.

接線の法則

フランソワ・ヴィエトによって開発された接線法則は、三角形の辺の数を求める際に余弦法則の代わりとなるもので、三角関数の表を使う際の計算を簡素化します。^[86]これは次のように表されます。

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}

エリア

2辺aとb、そして2辺間の角度Cが与えられたとき、三角形の面積は2辺の長さの積の半分と2辺間の角度の正弦で与えられる。^[85]

{\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C

三角関数の恒等式

ピタゴラスの等式

以下の三角関数の恒等式はピタゴラスの定理と関連しており、任意の値に対して成り立つ。^[87]

\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\

\tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\

\cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\

2 番目と 3 番目の方程式は、それぞれ最初の方程式をとで割ることによって得られます。 $\cos ^{2}{A}$ $\sin ^{2}{A}$

オイラーの公式

オイラーの公式は、と述べており、 eと虚数単位iに関して、正弦、余弦、正接について次の解析的恒等式を導きます。 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.

その他の三角関数の等式

他にもよく使われる三角関数の恒等式には、半角の恒等式、角の和と差の恒等式、積和の恒等式などがあります。^[31]

参照

参考文献

^ ハーパー・ダグラス「三角法」オンライン語源辞典。 2022年3月18日閲覧。
^ R. Nagel（編）、科学百科事典、第2版、The Gale Group（2002）
^ Boyer (1991)、p. ^{[ページが必要]}。
^ チャールズ・ウィリアム・ハックリー (1853). 『平面および球面三角法に関する論文：航海と測量、航海と実用天文学と測地学への応用、対数表、三角法表、航海表付き』 G. P. パトナム.
^ メアリー・ジェーン・スターリング（2014年2月24日）『三角法入門』（ジョン・ワイリー・アンド・サンズ）185ページ。ISBN 978-1-118-82741-3。
^ ロン・ラーソン、ロバート・P・ホステラー（2006年3月10日）『三角法』Cengage Learning. p. 230. ISBN 0-618-64332-X。
^ Boyer (1991)、162ページ、「ギリシャの三角法と計測法」。
^ ピメンテル、リック、ウォール、テリー (2018). ケンブリッジIGCSEコア数学（第4版）. ハシェットUK. p. 275. ISBN 978-1-5104-2058-8。275ページの抜粋
^ オットー・ノイゲバウアー (1975)。古代の数学的天文学の歴史。 1.シュプリンガー・フェルラーク。 p. 744.ISBN 978-3-540-06995-9。
^ Thurston (1996)、235～236ページ、「付録1：ヒッパルコスの弦表」。
^ トゥーマー, G. (1998). 『プトレマイオスのアルマゲスト』 . プリンストン大学出版局. Bibcode :1998ptal.book.....T. ISBN 978-0-691-00260-6。
^ Thurston (1996)、239–243ページ、「付録3：プトレマイオスの弦表」。
^ ボイヤー（1991）、215ページ。
^ ジャック・セシアノ (2000). 「イスラム数学」.セリン, エレイン;ダンブロジオ, ウビラタン(編). 『文化を超えた数学：非西洋数学の歴史』 .シュプリンガー・サイエンス+ビジネス・メディア. p. 157. ISBN 978-1-4020-0260-1。
^ ab "trigonometry". Encyclopædia Britannica . 2008年7月21日閲覧。
^ ab Boyer 1991、p. 238を参照。
^ Moussa, Ali (2011). 「アブー・アル＝ワファの『アルマゲスト』における数学的手法とキブラの決定」.アラビア科学哲学. 21 (1).ケンブリッジ大学出版局: 1– 56. doi :10.1017/S095742391000007X. S2CID 171015175.
^ ジンゲリッチ、オーウェン「イスラム天文学」サイエンティフィック・アメリカン254.4（1986年）：74–83
^ ab Michael Willers (2018年2月13日). Armchair Algebra: Everything You Need to Know From Integers To Equations. Book Sales. p. 37. ISBN 978-0-7858-3595-0。
^ "Nasir al-Din al-Tusi". MacTutor 数学史アーカイブ. 2021年1月8日閲覧。アル＝トゥーシの最も重要な数学的貢献の一つは、三角法を天文学の応用のための道具としてではなく、それ自体が数学の分野として確立したことです。『四辺形論』において、アル＝トゥーシは平面三角法と球面三角法の体系全体を現存する最初の解説を与えました。この著作は、純粋数学の独立した分野としての三角法に関する歴史上最初の著作であり、直角球面三角形の6つのケースすべてを網羅した最初の著作でもあります。
^ Berggren, JL (2013年10月). 「イスラム数学」. ケンブリッジ科学史第2巻. ケンブリッジ大学出版局. pp. 62– 83. doi :10.1017/CHO9780511974007.004. ISBN 9780521594486。
^ "ṬUSI, NAṢIR-AL-DIN i. 伝記". Encyclopaedia Iranica . 2018年8月5日閲覧。数学における彼の主要な貢献（Nasr, 1996, pp. 208–214）は三角法にあると言われており、彼によって初めて三角法が独立した新しい分野としてまとめられました。球面三角法もまた彼の功績による発展を担っており、これには球面直角三角形を解くための6つの基本公式の概念が含まれます。
^ ベルグレン、J. レナート (2007). 「中世イスラムの数学」.エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学：資料集. プリンストン大学出版局. 518ページ. ISBN 978-0-691-11485-9。
^ ボイヤー（1991）、237、274頁。
^ 「ヨハン・ミュラーレギオモンタヌス」MacTutor 数学史アーカイブ. 2021年1月8日閲覧。
^ NGウィルソン（1992年）『ビザンツからイタリアへ』イタリア・ルネサンスにおけるギリシャ研究、ロンドン。ISBN 0-7156-2418-0
^ グラッタン＝ギネス、アイヴァー（1997年）『数学の虹：数学史』 WWノートン、ISBN 978-0-393-32030-5。
^ ロバート・E・クレブス（2004年）『中世とルネサンスにおける画期的な科学的実験、発明、発見』グリーンウッド出版グループ、153ページ。ISBN 978-0-313-32433-8。
^ エヴァルト、ウィリアム・ブラッグ (2005年4月21日). 『カントからヒルベルトへ第1巻：数学基礎論の参考書』オックスフォード大学出版局. p. 93. ISBN 978-0-19-152309-0。
^ デンプスキー、ケリー（2002年11月）『曲線と曲面に焦点を当てる』プレミア・プレス、29ページ。ISBN 978-1-59200-007-4。
^ ジェームズ・スチュワート、ローター・レドリン、サリーム・ワトソン（2015年1月16日）『代数と三角法』Cengage Learning. p. 448. ISBN 978-1-305-53703-3。
^ ディック・ジャーディン、エイミー・シェル＝ゲラッシュ (2011). 『数学タイムカプセル：数学教室のための歴史的モジュール』 MAA. p. 182. ISBN 978-0-88385-984-1。
^ クリストル・ローズ・フォーセス、クリストファー・バーガー、ミシェル・ローズ・ギルマン、デボラ・J・ラムゼイ（2008年）。『Pre-Calculus For Dummies』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、218ページ。ISBN 978-0-470-16984-1。
^ ワイスタイン、エリック・W.「SOHCAHTOA」。マスワールド。
^ ハンブル、クリス (2001). 『Key Maths: GCSE, Higher』フィオナ・マギル著. チェルトナム: スタンレー・ソーンズ出版社. p. 51. ISBN 0-7487-3396-5. OCLC 47985033。
^ 高校でより適切な例文は「『古い馬が私たちの馬場を跳ねながらやって来た』」です。Foster , Jonathan K. ( 2008). Memory: A Very Short Introduction . Oxford. p. 128. ISBN 978-0-19-280675-8。
^ ab David Cohen、Lee B. Theodore、David Sklar (2009年7月17日). Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition. Cengage Learning. ISBN 978-1-4390-4460-5。
^ W. Michael Kelley (2002). 『微積分完全入門』 Alpha Books. p. 45. ISBN 978-0-02-864365-6。
^ ジェニー・オリーブ（2003年9月18日）『数学：学生のためのサバイバルガイド：理工系学生のためのセルフヘルプワークブック』ケンブリッジ大学出版局、175ページ。ISBN 978-0-521-01707-7。
^ メアリー・P・アッテンボロー（2003年6月30日）『電気工学とコンピューティングのための数学』エルゼビア、418頁。ISBN 978-0-08-047340-6。
^ ロン・ラーソン、ブルース・H・エドワーズ（2008年11月10日）『一変数微積分』Cengage Learning. p. 21. ISBN 978-0-547-20998-2。
^ ab エリザベス・G・ブレミガン、ラルフ・J・ブレミガン、ジョン・D・ローチ (2011). 『中等学校教師のための数学』 MAA. ISBN 978-0-88385-773-1。
^ Martin Brokate、Pammy Manchanda、Abul Hasan Siddiqi（2019年8月3日）『科学者とエンジニアのための微積分』Springer、ISBN 9789811384646。
^ セルジュ・ラング（2013年3月14日）複素解析、シュプリンガー、p.63、ISBN 978-3-642-59273-7。
^ シルビア・マリア・アレッシオ（2015年12月9日）『科学者のためのデジタル信号処理とスペクトル解析：概念と応用』シュプリンガー、339ページ。ISBN 978-3-319-25468-5。
^ K.ラジャ・ラジェスワリ; B. ヴィシュヴェスバラ・ラオ (2014 年 3 月 24 日)。信号とシステム。 PHI ラーニング。 p. 263.ISBN 978-81-203-4941-4。
^ ジョン・スティルウェル（2010年7月23日）『数学とその歴史』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、313ページ。ISBN 978-1-4419-6053-5。
^ マーティン・キャンベル＝ケリー、メアリー・クロアーケン、レイモンド・フラッド、エレノア・ロブソン（2003年10月2日）『数学表の歴史：シュメールからスプレッドシートまで』オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850841-0。
^ George S. Donovan; Beverly Beyreuther Gimmestad (1980). 三角法と計算機. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 978-0-87150-284-1。
^ ロス・レイモンド・ミドルミス (1945). ポスト三角法とマンハイム三角法の計算尺の説明書. フレデリック・ポスト社.
^ 「電卓のキーの機能」『ポピュラーサイエンス』、ボニエ社、1974年4月、125ページ。
^ Steven S. Skiena; Miguel A. Revilla (2006年4月18日). 『プログラミングチャレンジ：プログラミングコンテストトレーニングマニュアル』 Springer Science & Business Media. p. 302. ISBN 978-0-387-22081-9。
^ Intel® 64 および IA-32 アーキテクチャーソフトウェア開発者マニュアル統合巻: 1、2A、2B、2C、3A、3B、3C (PDF) . Intel. 2013.
^ ボイヤー（1991）、pp.xxiii-xxiv。
^ ニールセン (1966)、pp. xxii–xxiv。
^ オリンサス・グレゴリー (1816). 『平面および球面三角法の要素：高さと距離への応用、球面投影、測地線、天文学、方程式の解法、測地線演算』ボールドウィン、クラドック、ジョイ.
^ Neugebauer, Otto (1948). 「古代天文学における数学的手法」.アメリカ数学会報. 54 (11): 1013–1041 . doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09089-9 .
^ マイケル・シーズ、ダナ・バックマン（2009年1月5日）『天文学：太陽系とその先』Cengage Learning. 254ページ. ISBN 978-0-495-56203-0。
^ ジョン・サビン (1800). 『実用数学者』（対数、幾何学、三角法、測量、代数学、航海術、球面論、自然哲学などを含む）p. 1.
^ モルデカイ・ベン・アリ;フランチェスコ・モンダダ（2018）。ロボット工学の要素。スプリンガー。 p. 16.ISBN 978-3-319-62533-1。
^ ジョージ・ロバーツ・パーキンス (1853). 『平面三角法とその測量および土地測量への応用：必要な対数表および三角関数表をすべて付属』 D. アップルトン社.
^ チャールズ・WJ・ウィザーズ、ヘイデン・ロリマー（2015年12月14日）『地理学者：人文文献研究』A&Cブラック、6頁。ISBN 978-1-4411-0785-5。
^ HG テル・モルシェ; JC ヴァンデンベルク。 EM ヴァン・デ・フリー (2003 年 8 月 7 日)。フーリエ変換とラプラス変換。ケンブリッジ大学出版局。 p. 61.ISBN 978-0-521-53441-3。
^ ベルント・タラー（2007年5月8日）『ビジュアル量子力学：量子力学的現象のコンピュータ生成アニメーションによる厳選トピック』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、15ページ。ISBN 978-0-387-22770-2。
^ M. Rahman (2011). 一般化関数へのフーリエ変換の応用. WIT Press. ISBN 978-1-84564-564-9。
^ ローレンス・ボーンスタイン著、Basic Systems, Inc. (1966). 『物理科学のための三角法』、アップルトン・センチュリー・クロフト社。
^ abc ジョン・J・シラー;マリー A. ワースター (1988)。大学の代数と三角法: 微積分以前の基礎。スコット、フォアマン。ISBN 978-0-673-18393-4。
^ ダドリー・H・タウン（2014年5月5日）『波動現象』ドーバー出版ISBN 978-0-486-14515-0。
^ abcd E. Richard Heineman; J. Dalton Tarwater (1992年11月1日). 『平面三角法』McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028187-5。
^ マーク・カース、カールハインツ・ブランデンブルク（2006年4月18日）『デジタル信号処理のオーディオと音響への応用』Springer Science & Business Media、p. 404、ISBN 978-0-306-47042-4。
^ キム・ウィリアムズ、マイケル・J・オストワルド（2015年2月9日）『古代から未来への建築と数学：第1巻：古代から1500年代まで』ビルクハウザー社、260頁。ISBN 978-3-319-00137-1。
^ ダン・ファウルダー（2019年7月15日）『GCSE生物学のための必須スキル』ホッダー・エデュケーション、p.78、ISBN 978-1-5104-6003-4。
^ ルチアーノ・ベオルキ、マイケル・H・クーン (1995). 『医用画像：マルチモダリティ2D/3D画像の解析』IOS Press. p. 122. ISBN 978-90-5199-210-6。
^ マーカス・フレデリック・チャールズ・ラッド（2014年）『結晶と分子の対称性』オックスフォード大学出版局、13ページ。ISBN 978-0-19-967088-8。
^ ゲンナジー・I・アルヒポフ;ウラジミール・N・チュバリコフ。アナトリー・A・カラツバ（2008年8月22日）。数の理論と解析における三角関数の和。ウォルター・デ・グルイテル。ISBN 978-3-11-019798-3。
^ 気象数学コースの学習ガイド：最新改訂版、1943年2月1日。1943年。
^ メアリー・シアーズ、ダニエル・メリマン、ウッズホール海洋研究所（1980年）『海洋学の過去』シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90497-9。
^ 「JPEG規格（JPEG ISO/IEC 10918-1 ITU-T勧告T.81）」（PDF）国際電気通信連合（ITU）1993年。2019年4月6日閲覧。
^ キルステン・マルムキアー（2009年12月4日）『ラウトレッジ言語学百科事典』ラウトレッジ、p.1、ISBN 978-1-134-10371-3。
^ Kamran Dadkhah (2011年1月11日). 『数理経済学と計算経済学の基礎』 Springer Science & Business Media. p. 46. ISBN 978-3-642-13748-8。
^ クリストファー・グリフィス著（2012年11月12日）『リアルワールドFlashゲーム開発：ベストプラクティスに従いながら正気を保つ方法』CRC Press、153ページ。ISBN 978-1-136-13702-0。
^ ジョン・ジョセフ・グリフィン (1841). 『結晶学の体系とその鉱物学への応用』 R. グリフィン. p. 119.
^ ドゥゴポルスキ (2002 年 7 月)。三角関数 I/E 補足アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-201-78666-8。
^ V&S編集委員会（2015年1月6日）. 簡潔な数学辞典. V&S出版社. p. 288. ISBN 978-93-5057-414-0。
^ abc Cynthia Y. Young (2010年1月19日). Precalculus. John Wiley & Sons. p. 435. ISBN 978-0-471-75684-2。
^ ロン・ラーソン（2010年1月29日）『三角法』Cengage Learning. p. 331. ISBN 978-1-4390-4907-5。
^ ピーターソン、ジョン・C. (2004). 『テクニカル数学と微積分』（イラスト入り）. Cengage Learning. p. 856. ISBN 978-0-7668-6189-3。856ページの抜粋

参考文献

ボイヤー、カール・B. (1991). 『数学史』（第2版）. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8。
ニールセン、カイ・L. (1966).対数表と三角関数表（5桁まで）（第2版）. ニューヨーク：バーンズ・アンド・ノーブル. LCCN 61-9103.
サーストン、ヒュー（1996年）『初期天文学』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、ISBN 978-0-387-94822-5。

さらに読む

「三角関数」.数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
リントン、クリストファー・M. (2004). 『エウドクソスからアインシュタインへ：数理天文学の歴史』ケンブリッジ大学出版局.
ワイスタイン、エリック W.「三角関数の加算公式」。マスワールド。

外部リンク

三角法に関する図書館資料

ライブラリ内のリソース

カーンアカデミー：三角法、無料オンラインマイクロ講義
アルフレッド・モンロー・ケニヨンとルイス・インゴールド著『三角法』（マクミラン社、1914年）。画像と全文を掲載。
ベンジャミン・バネカーの三角法パズル（収束点）
クラーク大学のデイビッド・ジョイスによるデイブの三角法短期講座
三角法、マイケル・コラル著、初等三角法をカバー、GNUフリードキュメンテーションライセンスに基づいて配布